高中數(shù)學(xué)北師大版第一章立體幾何初步 第一章章末測試

第一章章末測試班級____姓名____考號____分?jǐn)?shù)____本試卷滿分100分，考試時間90分鐘．一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．若a?α，b?β，α∩β＝c，a∩b＝M，則()A．M∈cB．M?cC．M?cD．M?c答案：A解析：注意點、線、面關(guān)系的符號表示，結(jié)合平面的公理3可知，M∈c.2．從長方體的一個頂點引出的三條棱的長度分別是2,3,3，則長方體的外接球的表面積為()A．20πB．22πC．24πD．26π答案：B解析：設(shè)球的半徑為r，則4r2＝22＋32＋32＝22，球的表面積為4πr2＝22π.3．一個幾何體的三視圖中的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖均是大小形狀完全相同的圖形，那么這個幾何體可能是()A．圓柱B．圓錐C．圓臺D．球答案：D解析：因為球的三視圖都是半徑相等的圓，則其他的三個均不可能滿足條件．4．圓錐的高伸長為原來的2倍，底面半徑縮小為原來的eq\f(1,2)，則它的體積是原來體積的()\f(1,2)\f(2,3)\f(3,4)\f(6,5)答案：A解析：設(shè)原圓錐高為h，底面面積為S，則V＝eq\f(1,3)hS，新圓錐的高為2h，底面面積為eq\f(S,4)，∴V′＝eq\f(1,3)×2h×eq\f(S,4)＝eq\f(1,2)V.5．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，E是DD1的中點，F(xiàn)是BB1的中點，設(shè)過點C1，E，F(xiàn)三點的平面為α，則正方體被平面α所截的截面的形狀為()A．菱形B．矩形C．梯形D．五邊形答案：A解析：設(shè)正方體棱長為a，連接AE，C1F易發(fā)現(xiàn)AE∥C1F，所以平面α經(jīng)過點A，所以截面是四邊形AEC1F，根據(jù)勾股定理易求得AE＝EC1＝C1F＝AF＝eq\f(\r(5),2)a，所以截面為菱形．6．平面α與平面β平行的條件可以是()A．α內(nèi)有無數(shù)條直線都與平面β平行B．α內(nèi)的任何直線都與平面β平行C．直線a?α，直線b?β且a∥β，b∥αD．直線a∥α，a∥β答案：B7．底面是正三角形，側(cè)棱垂直底面水平放置的三棱柱的所有棱長均為2，當(dāng)其正(主)視圖有最大面積時，其側(cè)(左)視圖的面積為()A．2\r(3)C．2eq\r(3)D．6eq\r(3)答案：C解析：S＝eq\r(3)×2＝2eq\r(3).8．設(shè)α、β是兩個不同的平面，a、b是兩條不同的直線，給出下列四個命題，其中正確的命題是()A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，則α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，則α⊥βD．若a、b在平面α內(nèi)的射影互相垂直，則a⊥b答案：C解析：與同一平面平行的兩條直線不一定平行，所以A錯誤；與兩條平行直線分別平行的兩個平面未必平行，所以B錯誤；如圖所示，直線a，b在平面α內(nèi)的射影分別為m、n，顯然m⊥n，但a、b不垂直，所以D錯誤，故選C.9．三條直線a、b、c兩兩平行且不共面，這三條直線可以確定m個平面，這m個平面把空間分成n個部分，則()A．m＝2，n＝2B．m＝2，n＝6C．m＝3，n＝7D．m＝3，n＝8答案：C解析：本題主要考查空間想象能力，三條不共面的平行線可以確定三個平面，而這三個平面把空間分成7部分．10．平行六面體的相交于一頂點的三條棱長分別是a、b、c，三條棱中每兩條的夾角都是60°，則它的體積是()A．a(chǎn)bc\f(abc,3)\r(2)abc\f(\r(2),2)abc答案：D解析：如圖所示，設(shè)AA1＝c，AB＝a，AD＝b，A1在底面射影O.在∠DAB的平分線上，作OE⊥AB于E，連結(jié)A1E，則A1E⊥AB，在Rt△A1AE中，∠A1AE＝60°，AE＝eq\f(c,2)，在Rt△AEO中，∠OAE＝30°，AO＝eq\f(\r(3),3)c，高A1O＝eq\r(\f(2,3))c.∴V＝S四邊形ABCD·A1O＝eq\f(\r(2),2)abc.二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分．把答案填在題中橫線上．11．正方體的內(nèi)切球與外接球的體積之比等于________．答案：1：3eq\r(3)解析：設(shè)正方體的棱長為a，則內(nèi)切球半徑為r＝eq\f(a,2)，外接球半徑R＝eq\f(\r(3),2)a.12．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是________cm3.答案：18解析：根據(jù)幾何體的三視圖，可知該幾何體是由兩個相同的長方體(3×3×1)組合而成的幾何體，故其體積為18.13．如圖所示，下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是______．(寫出所有符合要求的圖形的序號)答案：①③解析：如圖①所示，因為MN∥AD，NP∥AC，所以平面MNP∥平面AB.故AB∥平面MNP.如下圖②所示，AB與平面MNP不平行(反證法)，連結(jié)CD、再連結(jié)BE，分別交CD、MP于R、Q，連結(jié)NQ，若AB∥平面MNP，則AB∥NQ.又由N為AE的中點，R為BE的中點，得AB∥NR.在平面ABE中過點N有兩條相交的直線平行于AB，與平行公理矛盾，所以AB與平面MNP不平行．如圖③所示，連結(jié)CD，因為AD平行且等于BC，所以四邊形ABCD為平行四邊形．所以AB∥CD.又因為MP∥CD，所以AB∥MP.所以AB∥平面MNP.對于④，AB與平面MNP不平行(反證法)，如上圖④所示，連接DM，ME.若AB∥平面MNP，因為MN∥DP，所以DM?平面MNP，又DM?平面ABMD，所以AB∥DM.又由AD平行且等于BC，得四邊形ABCD是平行四邊形，故AB∥CD.在平面ABCD中過點D有兩條相交直線平行于AB，與平行公理矛盾．于是AB與平面MNP不平行．三、解答題：本大題共5小題，共48分，其中第14小題8分，第15～18小題各10分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．14．四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分別為CD、PB的中點，求證：EF⊥面PAB.證明：如圖，連結(jié)EP.∵PD⊥面ABCD，DE在面ABCD內(nèi)，∴PD⊥DE，又CE＝ED，PD＝AD＝BC.∴Rt△BCE≌Rt△PDE.∴PE＝BE.∵F為PB的中點，∴EF⊥PB，∵PD⊥ABCDAB?ABCD∴PD⊥AB又∵AB⊥AD∴AB⊥平面PAD∴PA⊥AB∴在Rt△PAB中，PF＝AF，又PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA，∴EF⊥FA.又PB，F(xiàn)A為平面PAB內(nèi)相交直線∴EF⊥面PAB.15.如圖所示，在正三角形ABC中，E、F分別是AB、AC的中點，AD⊥BC，EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，D、H、G為垂足，若將正△ABC繞AD旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐體積為V，求由陰影部分所產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)體的體積與V的比值．解：如圖所示，設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，則圓柱的高為eq\f(h,2)，底半徑為eq\f(r,2)，則eq\f(V－V柱,V)＝1－eq\f(V柱,V)＝1－eq\f(π\(zhòng)f(r,2)2·\f(h,2),\f(1,3)πr2h)＝1－eq\f(3,8)＝eq\f(5,8).16．如圖所示，在側(cè)棱垂直于底面ABC的三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F(xiàn)是B1C1的中點．求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥平面ADE.證明：(1)因為CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.又因為AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因為A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以A1F⊥B1C1.因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因為CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE.17．如圖所示，AB是圓柱的母線，O′是上底面的圓心，△BCD是下底面圓的內(nèi)接三角形，且BD是下底面圓的直徑，E是CD的中點．求證：(1)O′E∥平面ABC；(2)平面O′CD⊥平面ABC.解：(1)取BC中點為F，連結(jié)EF，O′A，則EF是△BCD的中位線，∴EF綊eq\f(1,2)BD.設(shè)下底面圓心為O，連結(jié)OO′，∵AB是母線，∴AB綊OO′，∴AO′綊EF，∴AF∥O′E且AF?平面ABC，O′E?平面ABC，∴O′E∥平面ABC.(2)在圓柱中，AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD∵BC⊥CD，AB∩BC＝B∴CD⊥平面ABC∵CD?平面O′CD∴平面O′CD⊥平面ABC.18．如圖所示，在側(cè)面均垂直于底面ABC的三棱柱ABC－A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝eq\r(2)，AA′＝1，點M，N分別為A′B和B′C′的中點．(1)證明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱錐A′－MNC的體積．解：(1)(法一)連接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′為直三棱柱，所以M為AB′中點．又因為N為B′C′的中點，所以MN∥AC′.又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.(法二)取A′B′中點P，連接MP，NP，則M，N分別為AB′與B′C′的中點，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN?平面