高中數(shù)學(xué)人教A版3第二章隨機(jī)變量及其分布 第2章學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)8

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．設(shè)隨機(jī)變量ξ～N(2,2)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))＝()A．1 B．2\f(1,2) D．4【解析】∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2.∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))＝eq\f(1,22)D(ξ)＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).【答案】C2．下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是()A．f(x)＝eq\f(1,\r(2σπ))e，μ，σ(σ>0)都是實(shí)數(shù)B．f(x)＝eq\f(\r(2π),2π)e－C．f(x)＝eq\f(1,2\r(2π))e－D．f(x)＝eq\f(1,\r(2π))eeq\f(x2,2)【解析】對(duì)于A，函數(shù)的系數(shù)部分的二次根式包含σ，而且指數(shù)部分的符號(hào)是正的，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，符合正態(tài)密度函數(shù)的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B正確；對(duì)于C，從系數(shù)部分看σ＝2，可是從指數(shù)部分看σ＝eq\r(2)，故C不正確；對(duì)于D，指數(shù)部分缺少一個(gè)負(fù)號(hào)，故D不正確．【答案】B3．(2023·湖北高考)設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)如圖2-4-6所示，下列結(jié)論中正確的是()圖2-4-6A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)D．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)【解析】由圖象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2)＝eq\f(1,2)，P(Y≥μ1)＞eq\f(1,2)，故P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A錯(cuò)；因?yàn)棣?＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B錯(cuò)；對(duì)任意正數(shù)t，P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C錯(cuò)；對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正確的，故選 D.【答案】D4．某廠生產(chǎn)的零件外直徑X～N,5)，單位：mm，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個(gè)，測(cè)得其外直徑分別為mm和mm，則可認(rèn)為()A．上、下午生產(chǎn)情況均為正常B．上、下午生產(chǎn)情況均為異常C．上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常D．上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常【解析】根據(jù)3σ原則，在(8－3×,8＋3×]即,]之外時(shí)為異常．結(jié)合已知可知上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常．【答案】C5．(2023·山東高考)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝%.)A．%B．%C．%D．%【解析】由正態(tài)分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝6，P(－6＜ξ＜6)＝4，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P－6＜ξ＜6－P－3＜ξ＜3,2)＝eq\f4－6,2)＝9＝%，故選 B.【答案】B二、填空題6．已知正態(tài)分布落在區(qū)間，＋∞)內(nèi)的概率為，那么相應(yīng)的正態(tài)曲線(xiàn)f(x)在x＝________時(shí)達(dá)到最高點(diǎn).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97270054】【解析】由正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)且在x＝μ處達(dá)到峰值和其落在區(qū)間，＋∞)內(nèi)的概率為，得μ＝.【答案】7．已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間(－3，－1)里的概率和落在區(qū)間(3,5)里的概率相等，那么這個(gè)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)_______．【解析】正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在這兩個(gè)區(qū)間的概率相等說(shuō)明在這兩個(gè)區(qū)間上位于正態(tài)曲線(xiàn)下方的面積相等，另外，因?yàn)閰^(qū)間(－3，－1)和區(qū)間(3,5)的長(zhǎng)度相等，說(shuō)明正態(tài)曲線(xiàn)在這兩個(gè)區(qū)間上是對(duì)稱(chēng)的，我們需要找出對(duì)稱(chēng)軸．由于正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)，μ的概率意義是期望，因?yàn)閰^(qū)間(－3，－1)和區(qū)間(3,5)關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)(－1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是3，－3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是5)，所以數(shù)學(xué)期望為1.【答案】18．已知正態(tài)分布N(μ，σ2)的密度曲線(xiàn)是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈R.給出以下四個(gè)命題：①對(duì)任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果隨機(jī)變量X服從N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函數(shù)；③如果隨機(jī)變量X服從N(108,100)，那么X的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是100；④隨機(jī)變量X服從N(μ，σ2)，P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，則P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命題的序號(hào)是________．(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))【解析】畫(huà)出正態(tài)分布N(μ，σ2)的密度曲線(xiàn)如下圖：由圖可得：①圖象關(guān)于x＝μ對(duì)稱(chēng)，故①正確；②隨著x的增加，F(xiàn)(x)＝P(ξ<x)也隨著增加，故②正確；③如果隨機(jī)變量ξ服從N(108,100)，那么ξ的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是10；④由圖象的對(duì)稱(chēng)性，可得④正確．故填①②④.【答案】①②④三、解答題9．在一次測(cè)試中，測(cè)量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2]內(nèi)取值的概率為，求：(1)X在(0,4]內(nèi)取值的概率；(2)P(X>4)．【解】(1)由于X～N(2，σ2)，對(duì)稱(chēng)軸x＝2，畫(huà)出示意圖如圖．因?yàn)镻(0<X≤2)＝P(2<X≤4)，所以P(0<X≤4)＝2P(0<X≤2)＝2×＝.(2)P(X>4)＝eq\f(1,2)[1－P(0<X≤4)]＝eq\f(1,2)(1－＝.10．一建筑工地所需要的鋼筋的長(zhǎng)度X～N(8,22)，質(zhì)檢員在檢查一大批鋼筋的質(zhì)量時(shí)，發(fā)現(xiàn)有的鋼筋長(zhǎng)度小于2米，這時(shí)，他是讓鋼筋工繼續(xù)用切割機(jī)截鋼筋呢，還是停下來(lái)檢修切割機(jī)？【解】由于X～N(8,22)，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知，正態(tài)分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率僅為%，長(zhǎng)度小于2米的鋼筋不在(2,14)內(nèi)，所以質(zhì)檢員應(yīng)讓鋼筋工馬上停止切割，并對(duì)切割機(jī)進(jìn)行檢修．[能力提升]1．(2023·湖南高考)圖2-4-7在如圖2-4-7所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線(xiàn)C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線(xiàn))的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()A．2386B．2718C．3413D．4772附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝4.【解析】由P(－1<X≤1)＝6，得P(0<X≤1)＝3，則陰影部分的面積為3，故估計(jì)落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10000×eq\f3,1×1)＝3413，故選C.【答案】C2．已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績(jī)X～N(110，52)，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)()A．(90,110]B．(95,125]C．(100,120]D．(105,115]【解析】由eq\f(57,60)＝，符合P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，所以在(100,120]內(nèi)．故選C.【答案】C3．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號(hào))①P(|ξ|<a)＝P(ξ<a)＋P(ξ>－a)(a>0)；②P(|ξ|<a)＝2P(ξ<a)－1(a>0)；③P(|ξ|<a)＝1－2P(ξ<a)(a>0)；④P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)．【解析】因?yàn)镻(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)，所以①不正確；因?yàn)镻(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)＝P(ξ<a)－P(ξ<－a)＝P(ξ<a)－P(ξ>a)＝P(ξ<a)－(1－P(ξ<a))＝2P(ξ<a)－1，所以②正確，③不正確；因?yàn)镻(|ξ|<a)＋P(|ξ|>a)＝1，所以P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)，所以④正確．【答案】②④4．(2023·全國(guó)卷Ⅰ)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：圖2-4-8(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P<Z<；②某用戶(hù)從該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間,的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X)．附：eq\r(150)≈.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝4.【解】(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2分別為eq\o(x,\s\up6(－