高中數(shù)學(xué)北師大版1第一章直線多邊形圓 優(yōu)秀

學(xué)業(yè)分層測評(七)切割線定理(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.如圖1-2-91所示，線段AB和⊙O交于C，D，AC＝BD，AE，BF分別切⊙O于E，F(xiàn).那么AE與BF的關(guān)系為()圖1-2-91＝2BF ＝eq\f(1,3)BF>BF ＝BF【解析】∵AE2＝AC(AC＋CD)，BF2＝BD(BD＋CD).又∵AC＝BD，CD＝CD，∴AE2＝BF2，∴AE＝BF.【答案】D2.如圖1-2-92，PAB，PCD是⊙O的兩條割線，PC＝AB，PA＝20，CD＝11，則AB的長為()圖1-2-92 【解析】設(shè)PC＝AB＝x，則x(x＋11)＝20×(20＋x)，所以x＝25.所以AB的長為25.【答案】B3.如圖1-2-93所示，已知PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PC與⊙O相交于B，C兩點(diǎn)，PB＝2cm，BC＝8cm，則PA的長等于()圖1-2-93cmcmcm\r(5)cm【解析】∵PB＝2，BC＝8，∴PC＝10.∵PA是⊙O的切線，PC是⊙O的割線，∴PA2＝PB·PC＝2×10，∴PA＝2eq\r(5)(cm).【答案】D4.如圖1-2-94，已知圓O的半徑為3，從圓O外一點(diǎn)A引切線AD和割線ABC，圓心O到直線AC的距離為2eq\r(2)，AB＝3，則AD的長為()圖1-2-94\r(7) \r(13)\r(15) \r(6)【解析】∵圓O的半徑為3，圓心O到AC的距離為2eq\r(2).∴BC＝2eq\r(32－2\r(2)2)＝2.又∵AB＝3，∴AC＝5.又∵AD為⊙O的切線，由切割線定理得AD2＝AB·AC＝3×5＝15，∴AD＝eq\r(15).【答案】C5.如圖1-2-95，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E，則()圖1-2-95·CB＝AD·DB·CB＝AD·AB·AB＝CD2·EB＝CD2【解析】在直角三角形ABC中，根據(jù)直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根據(jù)切割線定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.【答案】A二、填空題6.如圖1-2-96，自圓O外一點(diǎn)P引切線與圓切于點(diǎn)A，M為PA中點(diǎn)，過M引割線交圓于B，C兩點(diǎn).求證：∠MCP＝∠MPB.圖1-2-96【證明】∵PA與圓相切于A，∴MA2＝MB·MC.∵M(jìn)為PA中點(diǎn)，∴PM＝MA，∴PM2＝MB·MC，∴eq\f(PM,MC)＝eq\f(MB,PM).∵∠BMP＝∠PMC，∴△BMP∽△PMC，∴∠MCP＝∠MPB.7.如圖1-2-97，PT是⊙O的切線，切點(diǎn)為T，直線PA與⊙O交于A，B兩點(diǎn)，∠TPA的平分線分別交直線TA，TB于D，E兩點(diǎn)，已知PT＝2，PB＝eq\r(3)，則PA＝__________，eq\f(TE,AD)＝__________.圖1-2-97【解析】由切割線定理得PT2＝PB·PA，∴PA＝eq\f(4,\r(3))＝eq\f(4,3)eq\r(3).由弦切角定理得∠PTB＝∠TAB，又DP平分∠TPA，∴∠TPE＝∠DPA.∵∠TED＝∠PTB＋∠TPE，∠TDE＝∠TAB＋∠DPA，∴∠TED＝∠TDE.∴TD＝TE.由角平分線性質(zhì)得eq\f(TD,AD)＝eq\f(PT,PA)＝eq\f(2,\f(4,3)\r(3))＝eq\f(\r(3),2).∴eq\f(TE,AD)＝eq\f(\r(3),2).【答案】eq\f(4,3)eq\r(3)eq\f(\r(3),2)8.如圖1-2-98，直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分線AC交⊙O于點(diǎn)C，連接CB，并延長與PQ相交于Q點(diǎn)，若AQ＝6，AC＝5，則弦AB的長是________.【導(dǎo)學(xué)號：96990032】圖1-2-98【解析】∵PQ為切線，∴∠PAC＝∠ABC.∵AC是∠PAB的平分線，∴∠BAC＝∠PAC.∴∠ABC＝∠BAC，∴AC＝BC＝5，由切割線定理，可得AQ2＝QB·QC，∴62＝QB·(QB＋5)，解得QB＝4.∵∠QAB＝∠QCA，∴△QAB∽△QCA，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(QA,QC)，∴eq\f(AB,5)＝eq\f(6,4＋5)，解得AB＝eq\f(10,3).【答案】eq\f(10,3)三、解答題9.已知如圖1-2-99所示，AD為⊙O的直徑，AB為⊙O的切線，割線BMN交AD的延長線于點(diǎn)C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2，求：圖1-2-99(1)BC的長；(2)⊙O的半徑r.【解】(1)不妨設(shè)BM＝MN＝NC＝x.根據(jù)切割線定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x).解得x＝eq\r(2)，∴BC＝3x＝3eq\r(2).(2)在Rt△ABC中，AC＝eq\r(BC2－AB2)＝eq\r(14)，由割線定理，得CD·AC＝CN·CM，∴CD＝eq\f(CN·CM,AC)＝eq\f(2\r(14),7)，∴r＝eq\f(1,2)(AC－CD)＝eq\f(1,2)(eq\r(14)－eq\f(2\r(14),7))＝eq\f(5\r(14),14).10.如圖1-2-100，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD，⊙O是以AB為直徑的圓，DC的延長線與AB的延長線交于點(diǎn)E.圖1-2-100(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若EB＝6，EC＝6eq\r(2)，求BC的長.【解】(1)證明∵AB是⊙O的直徑，∠ACB＝90°，∴點(diǎn)C在⊙O上.連接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD.又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC.∵OC為半徑，∴DC是⊙O的切線.(2)∵DC是⊙O的切線，∴EC2＝EB·EA.又∵EB＝6，EC＝6eq\r(2)，∴EA＝12，AB＝6.又∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(EC,EA)＝eq\f(\r(2),2)，即AC＝eq\r(2)BC.又∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝2eq\r(3).能力提升]1.如圖1-2-101所示，在⊙O中，AB是直徑，AD是弦，過B點(diǎn)的切線與AD的延長線交于點(diǎn)C，且AD＝DC，則sin∠ACO＝()圖1-2-101\f(\r(10),10) \f(\r(2),10)\f(\r(5),5) \f(\r(2),4)【解析】如圖所示，連接BD、DO，過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E.∵AB是直徑，∴BD⊥AC.又∵BC是⊙O的切線，∴∠ABC＝90°.又∵AD＝CD，∴△ACB是等腰直角三角形.設(shè)AE＝x，∵OE⊥AC，BD⊥AC，O是AB的中點(diǎn)，∴E是AD的中點(diǎn)，∴AD＝2x.又∵CD＝AD，∴CE＝3x.又OE＝AE＝x，∴CO＝eq\r(10)x，∴sin∠ACO＝sin∠ECO＝eq\f(x,\r(10)x)＝eq\f(\r(10),10).【答案】A2.如圖1-2-102，已知圓O的割線PAB交圓O于A、B兩點(diǎn)，割線PCD經(jīng)過圓心，若PA＝eq\f(7,2)，AB＝eq\f(5,2)，PO＝5，則圓O的半徑為()圖1-2-102 【解析】設(shè)圓的半徑為r，則PC＝5－r，PD＝5＋＝PA＋AB＝eq\f(7,2)＋eq\f(5,2)＝6，由切割線定理得：PC·PD＝PA·PB.所以，(5－r)(5＋r)＝eq\f(7,2)·6，解得：r＝2.【答案】A3.如圖1-2-103，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PD為⊙O的切線，D為切點(diǎn)，割線PEF經(jīng)過圓心O，若PF＝12，PD＝4eq\r(3)，則圓O的半徑長為__________，∠EFD的度數(shù)為__________.圖1-2-103【解析】由切割線定理得，PD2＝PE·PF，∴PE＝eq\f(PD2,PF)＝eq\f(4\r(3)2,12)＝4，EF＝8，OD＝4.∵OD⊥PD，OD＝eq\f(1,2)PO，∴∠P＝30°，∠POD＝60°，∴∠EFD＝30°.【答案】430°點(diǎn)在圓周上，BC與圓切于M，AB，AC分別