第四章 平面勢流(4.1~4.4)

《高等流體力學(xué)》電子課件上海電力學(xué)院能源與環(huán)境工程學(xué)院工程熱物理學(xué)科平面流動：即二維流動。流體的速度都平行于某個平面，且各物理量在此平面的垂直方向上沒有變化。第四章平面勢流數(shù)學(xué)表達的特點：平面勢流與三維勢流相比，數(shù)學(xué)上又得到了簡化，無需求解偏微分方程，可通過運用復(fù)變函數(shù)方法的方法求解。一、速度勢函數(shù)1、速度勢存在的條件2、速度勢與速度的關(guān)系§4.1速度勢函數(shù)與流函數(shù)或速度勢函數(shù)允許相差一個任意常數(shù)，不影響對流場的描述。3、速度勢的性質(zhì)§4.1速度勢函數(shù)與流函數(shù)一、速度勢函數(shù)的曲線是等勢線，等勢線的法向與速度矢量的方向重合。沿一曲線的速度環(huán)量等于曲線終點與起點的速度勢之差。平面流動的速度勢滿足拉普拉斯方程。二、流函數(shù)1、流函數(shù)存在的條件理想不可壓平面流動的連續(xù)方程2、流函數(shù)與速度的關(guān)系所有的平面流動都存在流函數(shù)?！?.1速度勢函數(shù)與流函數(shù)二、流函數(shù)3、流函數(shù)的性質(zhì)流函數(shù)允許相差一個任意常數(shù)，不影響對流場的描述。的曲線是流線。的曲線上或§4.1速度勢函數(shù)與流函數(shù)二、流函數(shù)3、流函數(shù)的性質(zhì)兩條流線上的流函數(shù)之差等于兩條流線間單位厚度通過的體積流量。B通過dl的體積流量§4.1速度勢函數(shù)與流函數(shù)二、流函數(shù)3、流函數(shù)的性質(zhì)方程平面流動時，只存在z方向的渦量分量有旋流動時：或無旋流動時：（滿足拉普拉斯方程）§4.1速度勢函數(shù)與流函數(shù)二、流函數(shù)3、流函數(shù)的性質(zhì)流線與等勢線相互垂直?？臻g任意兩點間的勢函數(shù)變化為：一條等勢線上任意兩點間的勢函數(shù)變化為：等勢線的斜率是：同理，流線的斜率是：故，流線和等勢線相互正交，并構(gòu)成流網(wǎng)。§4.1速度勢函數(shù)與流函數(shù)一、柯西-黎曼條件§4.2復(fù)位勢和復(fù)速度平面勢流流動，即存在勢函數(shù)，又存在流函數(shù)上式稱柯西-黎曼條件。流函數(shù)和速度勢函數(shù)中有一個已知，另一個即可以由上式求出。

二、復(fù)位勢§4.2復(fù)位勢和復(fù)速度當(dāng)

滿足柯西－黎曼條件，根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，可以用它們構(gòu)造是解析函數(shù)F(ｚ)。F(ｚ)的實數(shù)部分是速度勢函數(shù)，虛數(shù)部分是流函數(shù)F(ｚ)為復(fù)位勢，它也可以用來描述平面勢流流動。三、復(fù)速度§4.2復(fù)位勢和復(fù)速度因F(z)是解析函數(shù)，所以其導(dǎo)數(shù)的值與求導(dǎo)方向無關(guān)，只是平面上點的函數(shù)。構(gòu)造出F(z)復(fù)位勢函數(shù)來描寫勢流流動時，其導(dǎo)數(shù)是另一個比較重要的物理量。三、復(fù)速度§4.2復(fù)位勢和復(fù)速度復(fù)速度：共軛復(fù)速度：復(fù)速度與共軛復(fù)速度的乘積等于速度矢量模的平方。四、柱坐標(biāo)下的復(fù)速度§4.2復(fù)位勢和復(fù)速度平面內(nèi)的速度可分解為u,v，也可分解為或復(fù)速度：§4.2復(fù)位勢和復(fù)速度柱坐標(biāo)下的復(fù)速度

：四、柱坐標(biāo)下的復(fù)速度§4.2復(fù)位勢和復(fù)速度復(fù)位勢允許相差一個任意常數(shù)，而不影響其所代表的對流場。五、復(fù)位勢的性質(zhì)復(fù)位勢等于常數(shù)等價于勢函數(shù)等于常數(shù)和流函數(shù)等于常數(shù)，它們分別代表流場中的等勢線和流線，等勢線和流線相交。復(fù)位勢沿封閉曲線的積分，實部等于繞該封閉曲線的環(huán)量，虛部表示穿過該封閉曲線流出的體積流量?！?.2復(fù)位勢和復(fù)速度任何一個平面無旋流動都對應(yīng)一個復(fù)位勢。六、有關(guān)復(fù)位勢的討論由此，不可壓縮平面勢流的問題歸結(jié)為尋找相應(yīng)的復(fù)位勢。給定一個解析函數(shù)F(z)，其實數(shù)和虛數(shù)部分可分別看作一個平面無旋運動的速度勢函數(shù)和流函數(shù)。（但并非所有的Φ和Ψ都可以作出有物理意義的解釋）由于復(fù)位勢由勢函數(shù)和流函數(shù)構(gòu)成，勢函數(shù)和流函數(shù)分別滿足拉氏方程，解具有可加性，所以復(fù)雜流動的復(fù)位勢可由簡單流動的復(fù)位勢迭加而成。§4.3基本流動一、均勻流勢函數(shù)

：復(fù)位勢函數(shù)

速度：

流函數(shù)

：§4.3基本流動一、均勻流勢函數(shù)

：復(fù)速度：

某一復(fù)變線性函數(shù)：

流函數(shù)

：流體速度：

代入復(fù)位勢：

§4.3基本流動二、點源（匯）勢函數(shù)

：復(fù)速度：

某一復(fù)變對數(shù)函數(shù)：

流函數(shù)

：流體速度：

§4.3基本流動二、點源（匯）圍繞作徑向速度的積分：代入復(fù)位勢：

點源在時：

點匯時：

§4.3基本流動三、點渦某一復(fù)變對數(shù)函數(shù)：

勢函數(shù)

：復(fù)速度：

流函數(shù)

：流體速度：

§4.3基本流動圍繞的速度環(huán)量：代入復(fù)位勢：

點渦在時：

漩渦順時針方向時：

三、點渦§4.3基本流動四、繞角流動某一復(fù)變冪次函數(shù)：

勢函數(shù)

：零流線：

流函數(shù)

：§4.3基本流動四、繞角流動復(fù)速度：

流體速度：

§4.3基本流動四、繞角流動n=2n=1n=?n小于?

時得到大于2π的區(qū)域，這顯然沒有物理意義。因此n應(yīng)大于?

?！?.3基本流動四、繞角流動§4.3基本流動五、偶極子偶極子：一對無限接近的強度相等的點源和點匯的迭加。§4.3基本流動五、偶極子表示偶極子的強度。方向：從匯指向源§4.3基本流動五、偶極子流函數(shù)：令

等于常數(shù)，流線是圓心在y軸且通過原點的圓族?！?.3基本流動五、偶極子復(fù)速度：流體速度：強度為μ，位于點的偶極子的復(fù)位勢：§4.4圓柱繞流勢函數(shù)和流函數(shù)滿足的控制方程是線性的，因此它們的解具有可疊加性。依據(jù)這一原理，上面給出的基本流動的復(fù)位勢函數(shù)可以疊加起來給出較為復(fù)雜的流動問題的解。疊加原理§4.4圓柱繞流一、無環(huán)量圓柱繞流水平均勻流與偶極子疊加復(fù)位勢：

某一圓的方程:該圓上的復(fù)位勢:該圓上的流函數(shù):§4.4圓柱繞流一、無環(huán)量圓柱繞流當(dāng)偶極子的強度選為時，即：圓成為零流線。圓把流場分為兩部分。由于流體不可能穿越一條流線流動，所以偶極子流動被包圍在圓內(nèi)，而均勻來流則被排斥在圓外。偶極子向上游的流動由于受到均勻來流作用，折轉(zhuǎn)方向流向下游；均勻來流流線則發(fā)生彎曲，圍繞圓從圓外流過。無環(huán)量圓柱繞流的復(fù)位勢：§4.4圓柱繞流一、無環(huán)量圓柱繞流總結(jié)：用一個半徑為a的圓柱狀薄金屬殼垂直于均勻流插入流場并與圓R＝a的流線相重合，將不會對圓內(nèi)的偶極子流動和圓外的均勻來流形成干擾。移去金屬殼內(nèi)的偶極子流體，填充以固體材料形成一個固體圓柱，圓外的流動將保持不變。也就是說速度為U的均勻來流和強度為的偶極子流動疊加后在R>a

的區(qū)域形成的流場即是速度為U的均勻來流繞流R=a的圓柱流動?！?.4圓柱繞流一、無環(huán)量圓柱繞流前者是和實際情況符合的，而后者則與實際不符，這就是著名的達朗貝爾佯謬。這主要是由于沒有考慮粘性對流動的影響。在粘性流動中圓柱將承受由于存在壁面切應(yīng)力所產(chǎn)生的摩擦阻力和由于邊界層分離所產(chǎn)生的壓差阻力。盡管如此圓柱無環(huán)量繞流問題仍具有重要的理論意義。達朗貝爾佯謬均勻來流繞流圓柱的速度場對x軸和y軸都是對稱的，因此壓強分布對x軸和y軸也是對稱的，于是圓柱所受流體作用力的合力為零，即圓柱不但不承受與氣流垂直的升力，也不承受沿流動方向的阻力?！?.4圓柱繞流二、有環(huán)量圓柱繞流無環(huán)量圓柱繞流和順時針旋轉(zhuǎn)的點渦疊加。復(fù)位勢：

點渦的流線是同心圓，圓柱表面是一條流線不會因在原點增加點渦而改變。選擇合適的復(fù)常數(shù)c，使得無環(huán)流繞流時的圓周上的Ψ=0，即該圓周是一條流線。1.復(fù)位勢§4.4圓柱繞流二、有環(huán)量圓柱繞流當(dāng)時，

則在圓柱面Ψ＝0

。于是，繞半徑為a的圓柱體的有環(huán)量繞流的復(fù)位勢為：此時，均勻來流的速度為U，偶極子強度為，點渦環(huán)量的強度為§4.4圓柱繞流二、有環(huán)量圓柱繞流2.速度場在圓柱面上（R=a）正是理想流體繞流圓柱時在圓柱表面應(yīng)滿足的邊界條件?！?.4圓柱繞流二、有環(huán)量圓柱繞流3.駐點在圓柱面上速度為0的點。無環(huán)量流動，有環(huán)量流動，§4.4圓柱繞流二、有環(huán)量圓柱繞流3.駐點有環(huán)量流動，有兩個駐點，分別位于3，4象限，且關(guān)于y軸對稱。順時針點渦流場與無環(huán)量繞流圓柱流場疊加時，在1，2象限速度增加；在3，4象限速度減少，于是分別在3，4象限的某個點處速度為零。相當(dāng)于把θ＝0和π的兩個駐點分別移動至3，4象限。一個駐點，。當(dāng)Γ增大到一定值時，位于3，4象限的兩個駐點相互靠近最終匯合在圓柱面的最低點。§4.4圓柱繞流二、有環(huán)量圓柱繞流3.駐點有環(huán)量流動，駐點就不再保持在圓柱面上，而是進入流體中駐點方程§4.4圓柱繞流二、有環(huán)量圓柱繞流3.駐點駐點方程由（1）因為在方向點渦和圓柱繞流流場速度方向相同，合速度不可能為零。取