2.1第九章應(yīng)力和應(yīng)變分析和強度理論

第九章應(yīng)力和應(yīng)變分析和強度理論二主平面和主應(yīng)力主平面:單元體上無剪應(yīng)力作用的方向面.主應(yīng)力:主平面上的正應(yīng)力.約定σ1≧σ2≧σ3主方向:主平面外法線方向.或平行于主應(yīng)力的方向.三應(yīng)力狀態(tài)分類按主應(yīng)力不為零個數(shù)劃分為:簡單應(yīng)力狀態(tài):單向應(yīng)力狀態(tài)—1個主應(yīng)力不為零.復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài):二向應(yīng)力狀態(tài)—2個主應(yīng)力不為零.三向應(yīng)力狀態(tài)—3個主應(yīng)力不為零.σ2σ3σ1

§9-1應(yīng)力狀態(tài)概念一一點的應(yīng)力狀態(tài)1一點的應(yīng)力狀態(tài)概念點的概念:指明是哪點的應(yīng)力.面的概念:過一點哪個方向面上的的應(yīng)力.一點的應(yīng)力狀態(tài):一個點各個方向面上的應(yīng)力情況.2一點的應(yīng)力狀態(tài)的表示方法(1)空間應(yīng)力狀態(tài):9個分量6個獨立.(2)平面應(yīng)力狀態(tài):4個分量3個獨立.(3)單向應(yīng)力狀態(tài):1個分量.σxσyσzτxyτxzτyxτyzτzyτzx第九章應(yīng)力和應(yīng)變分析強度理論σxσyτxyτyx§9-2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)實例圓形薄壁容器(t<<D/20)其內(nèi)壓為p,筒底總壓力pDtσ′p為二向應(yīng)力狀態(tài)σ"=σ1σ′=σ2σ"σ′pσ"σ"pyxσ"σ"dφφL§9-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析—解析法1斜截面上的應(yīng)力ασxτxyσyτyxατyxσyσxτxyσαταntΣN=0σαdA+τxydAcosαsinα-σxdAcosαcosα+τyxdAsinαcosα-σydAsinαsinα=0ΣT=0ταdA-τxydAcosαcosα-σxdAcosαsinα+τyxdAsinαsinα+σydAsinαcosα=0τxy=τyxσxσyτxyτyxααdAdAsinαdAcosα2主平面和主應(yīng)力直接判定法:把單元體對稱分為四個象限,剪應(yīng)力箭頭所指交線象限內(nèi)的主方位角對應(yīng)的主應(yīng)力為極大值,另一個為極小值.ττ′σcττ′σtττ′取主方位角α0和α0+π/2代入斜截面公式,求得主應(yīng)力令主方位角和主應(yīng)力的對應(yīng)關(guān)系的判定方法—直接判定法3極大極小剪應(yīng)力及其所在平面4討論(1)(2)(3)σ1，2+σ2，3=σx+σy=σα+σα+π/2取極大極小剪應(yīng)力所在平面方位角α1和α1+π/2代入斜截面公式,求得極大極小剪應(yīng)力和令§9.4二向應(yīng)力狀態(tài)分析—圖解法1應(yīng)力圓(莫爾圓)(3),(2)二式平方稱為應(yīng)力圓方程,也稱為莫爾圓.其中σα,τα為變量.相加得(1)(2)(3)為圓心,半徑的圓方程.2應(yīng)力圓的畫法所在位置D按比例量取OA=σx,AD=τxy,確定D點.(2)確定y平面及其應(yīng)力大小所在位置D′按比例量取OB=σy,BD′=τyx,確定D′點.(3)確定圓心位置,畫應(yīng)力圓連接DD′交σ軸于C,以為CD半徑畫應(yīng)力圓.σxσyτxyτyxστD(σxτxy)D′(σyτyx)CABOE(σατσ)F圓心座標(biāo)半徑σ1σ2τmaxσxσyτxyτyxσxσyτxyτyx知:σx=80MPa,σy=-40MPa,τxy=-60MPa,τyx=60MPa.求:(1)畫出單元體;(2)主應(yīng)力;(3)主方向.解:(1)畫出單元體(2)解析法α0=22.50或者112.50,主單元體圖示(3)圖解法作應(yīng)力圓圖示量得σ1=105MPa,σ3=-65MPa,α0=22.50或者112.50στD′(-4060)COD(80-60)σ1σ3σ1σ322.5˙112.5˙σxσyτxyτyx§9.5三向應(yīng)力狀態(tài)一應(yīng)力圓方程xσ1σ2σ3yzpxpyztσ1σ2σ3yxzσnτnn設(shè)斜面法線n的三個方向余弦為l,m,n且l2+m2+n2=1(1)ΣX=0,pxdA-σ1ldA=0ΣY=0,pydA–σ2mdA=0ΣZ=0,pzdA–σ3ndA=0px=σ1lpy=σ2mpz=σ3n又有p=σn2+τn2σn=pxl+pym+pzn=σ1l2+σ2m2+σ3n2(2)τn2=p2-σn2=σ12l2+σ22m2σ32n2-σn2(3)σ2yσ1σ3xz總應(yīng)力p§9.5三向應(yīng)力狀態(tài)一應(yīng)力圓方程xσ1σ2σ3yzpxpypztσ1σ2σ3yxzσnτnnσ2yσ1σ3xz應(yīng)力圓方程{二應(yīng)力圓D(σατα)σσ1σ2σ30ττ12τ13τ231三個圓周交于一點,交點座標(biāo)就是斜截面上的應(yīng)力.2三個應(yīng)力圓的區(qū)域(1)l2(σ1-σ2)(σ1-σ3)≧0第一個應(yīng)力圓方程半徑大于和它同心的圓周(綠色).(2)m2(σ2-σ3)(σ2-σ1)≦0第二個應(yīng)力圓方程半徑小于和它同心的圓周(黃色).(3)n2(σ3-σ1)(σ3-σ2)≧0第三個應(yīng)力圓方程半徑大于和它同心的圓周(粉紅色).三個圓周圍成的區(qū)域中任一點D表示任意斜截面上的應(yīng)力.3最大最小正應(yīng)力σmax=σ1σmin=σ34主剪應(yīng)力§9.6平面應(yīng)變狀態(tài)分析一平面應(yīng)變狀態(tài)分析ααyxx′y′在xoy座標(biāo)下應(yīng)變?yōu)棣舩εyγxy旋轉(zhuǎn)α角度在x′oy′座標(biāo)下應(yīng)變?yōu)棣纽?§9.6平面應(yīng)變狀態(tài)分析一平面應(yīng)變狀態(tài)分析比較轉(zhuǎn)軸公式比較斜截面應(yīng)力公式三套公式類似ααyxx′y′在xoy座標(biāo)下應(yīng)變?yōu)棣舩εyγxy旋轉(zhuǎn)α角度在x′oy′座標(biāo)下應(yīng)變?yōu)棣纽?二主應(yīng)變和主應(yīng)變方向主應(yīng)變?nèi)龖?yīng)變的實測實測中γxy不易測定,可先測定三個選定方向的線應(yīng)變計算聯(lián)立解出εxεyγxy實測中常用的有直角應(yīng)變花和等應(yīng)變花60°60°60°ε60°ε120°ε0°xy45°45°ε0°ε45°ε90°εmaxεmin}=§9.7廣義胡克定律1廣義胡克定律σyσxσzτxyτxzτyxτyzτzyτzxτxyσxσyτyxσzτyzτzyτzxτxz+=ab棱邊改變形狀改變ΔaΔacΔc角度改變—剪應(yīng)變以上六式稱為廣義胡克定律棱邊改變—線應(yīng)變σ1σ3σ2σxσyτxyτyx3平面問題{2主應(yīng)變{或{其中4體積應(yīng)變變形前體積V=dxdydz變形后體積V1=(1+ε1)(1+ε2)(1+ε3)dxdydz=(1+ε1+ε2+ε3)dxdydzσ1σ2σ3dxdyε1dxdzε2dyε3dz單位體積改變稱為體積應(yīng)變令--體積彈性模量--平均應(yīng)力簡單應(yīng)力狀態(tài)比能三向應(yīng)力狀態(tài)比能σ1σ2σ3σmσmσmσ1-σmσ2-σmσ3-σm=+體積改變形狀改變體積改變比能§9.8復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的變形比能形狀改變比能例導(dǎo)出各向同性線性材料常數(shù)E,G,μ之間的關(guān)系.解:純剪切時σ1=τσ2=0σ3=-τ變形比能三向應(yīng)力狀態(tài)比能兩式相等(1)(2)7.10強度理論概述一材料的破壞形式(1)塑性屈服(2)脆性斷裂二應(yīng)力狀態(tài)對材料破壞形的影響(1)拉伸帶切口的低碳鋼發(fā)生脆性斷裂的原因:切口尖端材料處于三向拉應(yīng)力狀態(tài).(2)壓縮加圍壓的大理石發(fā)生塑性屈服的原因:材料處于三向壓應(yīng)力狀態(tài).σ1σ2=σ3σ3σ3σ2=σ1=pσ1ppP應(yīng)力狀態(tài)的改變會影響會影響同一種材料的破壞形式.如:拉伸低碳鋼,壓縮鑄鐵.如:拉伸鑄鐵,扭轉(zhuǎn)鑄鐵.極限應(yīng)力σu和τu是直接由實驗測得,而建立的強度條件.不考慮材料破壞的原因.2復(fù)雜應(yīng)力條件下的強度條件(1)提出假說例如:常用的四個強度理論就基于如下假說a材料的某一破壞是由某一特定因素引起的.b無論是簡單應(yīng)力狀態(tài)還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下,某種類型的破壞是由同一因素引起的.于是可以用簡單應(yīng)力狀態(tài)下的結(jié)果建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件.(2)建立強度準(zhǔn)則(3)實踐檢驗三強度條件的建立1簡單應(yīng)力條件下的強度條件§9.9常用的四個強度理論實用范圍:脆性材料,如鑄鐵,陶瓷,工具鋼等.實用范圍:脆性材料,如合金,鑄鐵,石料等.脆性材料在二向壓縮和二向拉伸情況下此理論誤差較大.1最大拉應(yīng)力理論(第一強度理論)引起材料破壞的主要原因:σmax=σb=σu強度條件2最大伸長線應(yīng)變理論(第二強度理論)引起材料破壞的主要原因:εmax=ε1=εu簡單應(yīng)力狀態(tài)下復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強度條件實用范圍:塑性A3材料,如A3,45鋼,銅,鋁等.實用范圍:塑性A3材料,如A3,45鋼,銅,鋁等.引起材料破壞的主要原因:簡單應(yīng)力狀態(tài)下復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強度條件3最大剪應(yīng)力理論(第三強度理論)4形狀改變比能理論(第四強度理論)引起材料破壞的主要原因:簡單應(yīng)力狀態(tài)下σ1=σsσ2=0σ3=0復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強度條件5相當(dāng)應(yīng)力{其中i=1、2、3、4σ1σ2σ3=安全程度σr≤[σ]σ1σ2σ3試按強度理論建立純剪切應(yīng)力狀態(tài)的強度條件,并尋求許用剪應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之間的關(guān)系