高中數(shù)學(xué)北師大版1第三章圓錐曲線與方程 學(xué)業(yè)分層測評18

學(xué)業(yè)分層測評(十八)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．若點(diǎn)P(2,0)到雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線的距離為eq\r(2)，則雙曲線的離心率為()\r(2) B．eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)【解析】雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，點(diǎn)P(2,0)到漸近線的距離為eq\f(|2b|,\r(a2＋b2))＝eq\r(2)，所以a2＝b2，所以雙曲線的離心率為eq\r(2)，故選A.【答案】A2．(2023·四川高考)過雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝()\f(4\r(3),3) B．2eq\r(3)C．6 D．4eq\r(3)【解析】設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x，yA)，(x，yB)，將x＝c＝2代入漸近線方程y＝±eq\r(3)x得到y(tǒng)A，yB，進(jìn)而求|AB|.由題意知，雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，將x＝c＝2代入得y＝±2eq\r(3)，即A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,2eq\r(3))，(2，－2eq\r(3))，所以|AB|＝4eq\r(3).【答案】D3．(2023·安徽高考)下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y＝±2x的是()A．x2－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－y2＝1\f(y2,4)－x2＝1 D．y2－eq\f(x2,4)＝1【解析】由雙曲線的性質(zhì)利用排除法求解．由雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，排除選項A、B，選項C中雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，故選C.【答案】C4．(2023·湖北高考)將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b(a≠b)同時增加m(m＞0)個單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則()A．對任意的a，b，e1＞e2B．當(dāng)a＞b時，e1＞e2；當(dāng)a＜b時，e1＜e2C．對任意的a，b，e1＜e2D．當(dāng)a＞b時，e1＜e2；當(dāng)a＜b時，e1＞e2【解析】分別表示出e1和e2，利用作差法比較大?。深}意e1＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)；雙曲線C2的實半軸長為a＋m，虛半軸長為b＋m，離心率e2＝eq\r(\f(a＋m2＋b＋m2,a＋m2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋m,a＋m)))2).因為eq\f(b＋m,a＋m)－eq\f(b,a)＝eq\f(ma－b,aa＋m)，且a＞0，b＞0，m＞0，a≠b，所以當(dāng)a＞b時，eq\f(ma－b,aa＋m)＞0，即eq\f(b＋m,a＋m)＞eq\f(b,a).又eq\f(b＋m,a＋m)＞0，eq\f(b,a)＞0，所以由不等式的性質(zhì)依次可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋m,a＋m)))2＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2,1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋m,a＋m)))2＞1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2，所以eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋m,a＋m)))2)＞eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，即e2＞e1；同理，當(dāng)a＜b時，eq\f(ma－b,aa＋m)＜0，可推得e2＜e1.綜上，當(dāng)a＞b時，e1＜e2；當(dāng)a＜b時，e1＞e2.【答案】D5．設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為F，虛軸的一個端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()\r(2) B．eq\r(3)\f(\r(3)＋1,2) D．eq\f(\r(5)＋1,2)【解析】設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，不妨設(shè)一個焦點(diǎn)為F(c,0)，虛軸端點(diǎn)為B(0，b)，則kFB＝－eq\f(b,c).又漸近線的斜率為±eq\f(b,a)，所以由直線垂直關(guān)系得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,c)))·eq\f(b,a)＝－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)顯然不符合))，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，兩邊同除以a2，整理得e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(\r(5)＋1,2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．【答案】D二、填空題6．過雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1的左焦點(diǎn)F1的直線交雙曲線的左支于M，N兩點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn)，則|MF2|＋|NF2|－|MN|的值為________．【解析】|MF2|＋|NF2|－|MN|＝|MF2|＋|NF2|－(|MF1|＋|NF1|)＝(|MF2|－|MF1|)＋(|NF2|－|NF1|)＝2a＋2a＝4a＝8.【答案】87．(2023·湖南高考)設(shè)F是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一個焦點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)P,使線段PF的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個端點(diǎn)，則C的離心率為__________．【解析】根據(jù)題意建立a，c間的聯(lián)系，再利用離心率公式計算．不妨設(shè)F(－c,0)，PF的中點(diǎn)為(0，b)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知P(c,2b)．又點(diǎn)P在雙曲線上，則eq\f(c2,a2)－eq\f(4b2,b2)＝1，故eq\f(c2,a2)＝5，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).【答案】eq\r(5)8．若雙曲線x2－y2＝1右支上一點(diǎn)P(a，b)到直線y＝x的距離為eq\r(3)，則a＋b＝________.【導(dǎo)學(xué)號：32550089】【解析】由于點(diǎn)P(a，b)在右支上，所以a－b>0.又∵eq\f(|a－b|,\r(2))＝eq\r(3)，∴a－b＝eq\r(6)，又∵a2－b2＝1，∴a＋b＝eq\f(a2－b2,a－b)＝eq\f(1,\r(6))＝eq\f(\r(6),6).【答案】eq\f(\r(6),6)三、解答題9．已知雙曲線的方程是16x2－9y2＝144.(1)求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；(2)設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．【解】(1)由16x2－9y2＝144得eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，所以a＝3，b＝4，c＝5，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，離心率e＝eq\f(5,3)，漸近線方程為y＝±eq\f(4,3)x.(2)由雙曲線的定義可知||PF1|－|PF2||＝6，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(36＋64－100,64)＝0，∴∠F1PF2＝90°.10．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(diǎn)P(4，－eq\r(10))．(1)求雙曲線方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝0；(3)在(2)的條件下，求△F1MF2的面積．【解】(1)∵e＝eq\r(2)，∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)．∵過點(diǎn)(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴雙曲線方程為x2－y2＝6.(2)證明：法一：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3).∵點(diǎn)(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝0.法二：∵eq\o(MF1,\s\up12(→))＝(－3－2eq\r(3)，－m)，eq\o(MF2,\s\up12(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)，∴eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2.∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3)，△F1MF2的高h(yuǎn)＝|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝6.[能力提升]1．(2023·大連雙基考試)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且C上的點(diǎn)P滿足eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))＝0，|eq\o(PF1,\s\up12(→))|＝3，|eq\o(PF2,\s\up12(→))|＝4，則雙曲線C的離心率為()\f(\r(10),2) B．eq\r(5)\f(5,2) D．5【解析】由雙曲線的定義可得2a＝||eq\o(PF2,\s\up12(→))|－|eq\o(PF1,\s\up12(→))||＝1，所以a＝eq\f(1,2)；因為eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))＝0，所以eq\o(PF1,\s\up12(→))⊥eq\o(PF2,\s\up12(→))，所以(2c)2＝|eq\o(PF1,\s\up12(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up12(→))|2＝25，解得c＝eq\f(5,2).所以此雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝5.故D正確．【答案】D2．(2023·天津高考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線過點(diǎn)(2，eq\r(3))，且雙曲線的一個焦點(diǎn)在拋物線y2＝4eq\r(7)x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()\f(x2,21)－eq\f(y2,28)＝1 B．eq\f(x2,28)－eq\f(y2,21)＝1\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1【解析】利用漸近線過已知點(diǎn)以及雙曲線的一個焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，列出方程組求解．由雙曲線的漸近線y＝eq\f(b,a)x過點(diǎn)(2，eq\r(3))，可得eq\r(3)＝eq\f(b,a)×2.①由雙曲線的焦點(diǎn)(－eq\r(a2＋b2)，0)在拋物線y2＝4eq\r(7)x的準(zhǔn)線x＝－eq\r(7)上，可得eq\r(a2＋b2)＝eq\r(7).②由①②解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.【答案】D3．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，eq\f(y2,b2)－eq\f(x2,a2)＝1的離心率分別為e1，e2，則e1＋e2的最小值為________．【解析】由已知得e1＝eq\f(\r(a2＋b2),a)，e2＝eq\f(\r(a2＋b2),b)，則e1＋e2＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＋eq\f(\r(a2＋b2),b)＝(eq\r(a2＋b2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥eq\r(2ab)·2eq\r(\f(1,ab))＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)4．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(10),5)，\f(3\r(10),5)))在雙曲線的右支上，且|PF1|＝3|PF2|，eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))＝0，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解】∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝3|PF2|，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.又eq\o(PF1,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c－\f(4\r(10),5)，－\f(3\r(10),5)))，eq\o(PF2,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(4\r(10),5)，－\f(3\r(10),5)))，∵eq\o(PF1,\s\up1