高二物理競賽Bloch定理課件

§1、

Bloch定理一、周期場模型考慮一理想完整晶體，

所有的原子實都周期性地靜止排列在其平衡位置上，

每一個電子都處在除其自身外其他電子的平均勢場和原子實的周期場中運動，這樣的模型稱為周期場模型。二、

Bloch定理（1928年）在周期場中，描述電子運動的Schr?dinger方程為

2

U

r

y

r

Ey

r

對于k’＝k±Gn

：

l

eik

aa

eik

aa

e

iGn

aa

eik

aa

la

a＝1,

2,

3

波矢量k和k’＝

k±Gn所描述的電子在晶體中的運動狀態(tài)相同。與討論晶格振動的情況相似，通常將k取在由各個倒格矢的垂直平分面所圍成的包含原點在內(nèi)的最小封閉體積，

即簡約區(qū)或第一布里淵區(qū)中。a'如果兩個波矢量k和k’相差一個倒格矢Gn

，這兩個波矢所對應的平移算符本征值相同。al

eik

aa對于k：1

231

2

3v簡約波矢：k限制在簡約區(qū)中取值；v廣延波矢：k在整個k空間中取值。

每一個量子態(tài)k在k空間中所占的體積:

1

1

1

1

2

31

2

3在k空間中，波矢k的分布密度：r

k

N

N

N

Nk

b

b

bN

N

N

Nb

b

b

ba

bV

Nva

h1

h2

h3 v

8p

3在簡約區(qū)中，波矢k的取值總數(shù)為r

k

b

N

晶體的原胞數(shù)2.

Bloch函數(shù)的性質(zhì)Bloch函數(shù):

y

k

r

eik

ruk

r

v行進波因子

eik

r

表明電子可以在整個晶體中運動的，稱為共有化電子，

它的運動具有類似行進平面波的形式。v

周期函數(shù)

uk

r

的作用則是對這個波的振幅進行

調(diào)制，使它從一個原胞到下一個原胞作周期性振蕩，但這并不影響態(tài)函數(shù)具有行進波的特性。在晶體中運動電子的波函數(shù)介于自由電子與孤立原子之間，

是兩者的組合。l

如果晶體中電子的運動完全自由，

uk

r

A

const.l若電子完全被束縛在某個原子周圍，eik

r

C

const.由于晶體中的電子既不是完全自由的，

也不是完全被束縛在某個原子周圍，因此，其波函數(shù)就具有eik

r

uk

r

的形式。周期函數(shù)

uk

r

反映了電子與晶格相互作用的yk

r

eik

r

uk

r

yk

r

Aeik

ry

r

Cu

r

晶體中電子：自由電子：

孤立原子：A

const.C

const.強弱。Bloch函數(shù)中，行進波因子

eik

r

描述晶體中電子的共有化運動，即電子可以在整個晶體中運動；而周期函數(shù)因子

uk

r

則描述電子的原子內(nèi)運動，取決于原子內(nèi)電子的勢場。v如果電子只有原子內(nèi)運動（孤立原子情況），

電子的能量取分立的能級；v若電子只有共有化運動（自由電子情況），

電子的能量連續(xù)取值（嚴格講電子能量應是準連續(xù)的）

。v晶體中的電子既有共有化運動也有原子內(nèi)運動，因此，電子的能量取值就表現(xiàn)為由能量的允帶和禁帶相間組成的能帶結(jié)構(gòu)。需要指出的是，在固體物理中，能帶論是從周期性勢場中推導出來的。但是，周期性勢場并不是電子具有能帶結(jié)構(gòu)的必要條件，在非晶固體中，電子同樣有能帶結(jié)構(gòu)。電子能帶的形成是由于當原子與原子結(jié)合成固體時，

原子之間存在相互作用的結(jié)果，而并不取決于原子聚集在一起是晶態(tài)還是非晶態(tài)，即原子的排列是否具有平移對稱性并不是形成能帶的必要條件。一維周期場中電子運動的近自由電子近似一、近自由電子模型在周期場中，若電子的勢能隨位置的變化（起伏）比較小，而電子的平均動能比其勢能的絕對值大得多，

這樣，電子的運動幾乎是自由的。因此，我們可以把自由電子看成是它的零級近似，而將周期場的影響看成小的微擾。二、

運動方程與微擾計算Schr?dinger方程：

U

x

y

x

Ey

x

周期性勢場：

U

x

U

x

a

a

：晶格常數(shù)Fourier展開：

U

x

U0

n0Un

exp

i

U0

0

U

x

dx

——

勢能平均值

L

Na

Un

0

U

x

exp

i

dx根據(jù)近自由電子模型，

Un為微小量。電子勢能為實數(shù)，

U*(x)=U(x)

Un*=U-nLLL1.

非簡并微擾Hyk

E

k

y

kH

U

x

U0

n0

Un

exp

i

H0H

H0

U0

——

零級近似H

Un

exp

i

n

0n

0n

0——

微擾項分別對電子能量E(k)和波函數(shù)y(k)展開E

k

E

0

)

E

1)

E

2)

(

0)

(

1)

(2)將以上各展開式代入Schr?dinger方程中，得H0y

0

)

E

0

)y

0)H0y

1)

H

y

0

)

E

0

)y

1)

E

1)y

0)H0y

2

)

H

y

1)

E

)y

2

)

E

1)y

1)

E

2

)y

k(0)k(k(k(k(k(0k(k(k(k(k(k(k(k(k(k(k(k(k(k(能量本征值：

E

0)

U0

k(y

k

y

k

y

k

y

k

H0y

0

)

E

0

)y

0)k(k(k(零級近似方程：令U0

0正交歸一性：

k

k

0

y

y

0)dx

dk

k

一級微擾方程：

H0y

1)

H

y

0

)

E

0

)y

1)

E

1)y

0)令：

y1)

a

)y

a

1)E

0

)y

0

)

H

y

0

)

E

0

)

a

1)y

0

)

E

1)y

0)l

l兩邊同左乘

y

并積分得a

E

Hk

k

E

0

)

a

E

1)dk

kk(k(k(k(l(l(k(k(l(l(l(l(0)l(1k(k(k(k(k(k(k(LLk((0)

1

ikxy

k

e相應歸一化波函數(shù)：lE

1)

Hkk

k

H

k

0

y

0

)

H

y

0)dx

0

e

ikx

Un

exp

i

eikxdx

0a

)

1k(LLLLLLLLLLLLLLLLLLLn0n0n0n0LLLk(k(k(由于一級微擾能量Ek(1)＝0

，所以還需用二級微擾方程來求出二級微擾能量，方法同上。y

2

)

a

2

)y

0)l(l(k(代入二級微擾方程vk

’

=

kvk’

1

k令lHk

k

k

H

k

0

y

)

H

y

0)dx

0

e

ik

x

Un

exp

i

eikxdx

0

Un

exp

i

k

k

x

dx

Un

,

k

k2pn/aLLLLLLLLLLLLLLLLLLn

0n

0n

0n

0LLLLLLLLLLLLLLLLLLn

0n

0n

0n

0LLLk(

0k(2E

E2)2)2)2)k

kk

kk