差分方程及求解

差分方程及求解第一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日差分方程初步第五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)差分方程的基本概念一、差分的概念定義1

設(shè)函數(shù)yt=f(t)在t=…,-2,-1,0,1,2,…處有定義,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為…,y-2,y-1,y0,y1,y2,…,則函數(shù)yt=f(t)在時(shí)間t的一階差分定義為Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)．依此定義類(lèi)推,有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1),Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2),………………第六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日一階差分的性質(zhì)(1)若yt=C(C為常數(shù)),則Dyt=0;(2)對(duì)于任意常數(shù)k,D(kyt)=kDyt;(3)D(yt+zt)=Dyt+Dzt．第七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日定義2

函數(shù)yt=f(t)在時(shí)刻t的二階差分定義為一階差分的差分,即

D2yt=D(Dyt)=Dyt+1-Dyt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定義類(lèi)推,有D2yt+1=Dyt+2-Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1,D2yt+2=Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2,………………類(lèi)推,計(jì)算兩個(gè)相繼的二階差分之差,便得到三階差分D3yt=D2yt+1-D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt,D3yt+1=D2yt+2-D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1,………………

第八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日一般地,k階差分(k為正整數(shù))定義為

這里

第九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日二、差分方程定義3

含有未知函數(shù)yt=f(t)以及yt的差分yt,2yt,…的函數(shù)方程,稱(chēng)為常差分方程(簡(jiǎn)稱(chēng)差分方程);出現(xiàn)在差分方程中的差分的最高階數(shù),稱(chēng)為差分方程的階.

n階差分方程的一般形式為F(t,yt,yt,…,nyt)=0,其中F是t,yt,yt,…,nyt的已知函數(shù),且nyt一定要在方程中出現(xiàn)．

第十頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日定義3′

含有兩個(gè)或兩個(gè)以上函數(shù)值yt,yt+1,…的函數(shù)方程,稱(chēng)為(常)差分方程,出現(xiàn)在差分方程中未知函數(shù)下標(biāo)的最大差,稱(chēng)為差分方程的階．

n階差分方程的一般形式為F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,其中F為t,yt,yt+1,…，yt+n的已知函數(shù),且yt和yt+n一定要在差分方程中出現(xiàn).第十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日三、差分方程的解定義4

如果將已知函數(shù)yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,使其對(duì)t=…,-2,-1,0,1,2,…成為恒等式,則稱(chēng)yt=j(t)為方程的解.含有n個(gè)任意(獨(dú)立)常數(shù)C1,C2,…,Cn的解yt=(t,C1,C2,…,Cn)稱(chēng)為n階差分方程的通解.在通解中給任意常數(shù)C1,C2,…,Cn以確定的值所得的解,稱(chēng)為n階差分方程的特解.第十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日

例如,函數(shù)yt=at+C(a為已知常數(shù),C為任意常數(shù))是差分方程yt+1-yt=a的通解.而函數(shù)yt=at,yt=at-1,…均是這個(gè)差分方程的特解.

由差分方程的通解來(lái)確定它的特解,需要給出確定特解的定解條件.n階差分方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0常見(jiàn)的定解條件為初始條件.y0=a0,y1=a1，…,yn-1=an-1，這里a0,a1,a2,…，an-1均為已知常數(shù)．第十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日

只要保持差分方程中的時(shí)間滯后結(jié)構(gòu)不變,無(wú)論對(duì)t提前或推后一個(gè)相同的等間隔值,所得新方程與原方程是等價(jià)的,即二者有相同的解.例如,方程ayt+1-byt=0與方程ayt+2-byt+1=0都是相互等價(jià)的．

第十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日四、線性差分方程及其基本定理

形如yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)的差分方程,稱(chēng)為n階非齊次線性差分方程.其中a1(t),a2(t),…,an-1(t),an(t)和f(t)都是t的已知函數(shù),且an(t)≠0,f(t)≠0.而形如yt+n+a1(t)yt+n-1+…＋an-1(t)yt+1+an(t)yt=0的差分方程,稱(chēng)為n階齊次線性差分方程.其中ai(t)(i=1,2,…，n)為t的已知函數(shù),且an(t)≠0.第十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日

如果ai(t)=ai(i=1,2,…,n)均為常數(shù)(an≠0),則有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f(t)，yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0．分別稱(chēng)為n階常系數(shù)非齊次線性差分方程和n階常系數(shù)齊次線性差分方程.

第十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日定理1(齊次線性差分方程解的疊加原理)

若y1(t),y2(t),…,ym(t)是齊次線性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m個(gè)特解(m≥2),則其線性組合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t)也是方程的解,其中A1，A2，…，Am為任意常數(shù)．定理2

n階齊次線性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解．第十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日定理3(齊次線性差分方程通解結(jié)構(gòu)定理)

如果y1(t),y2(t),…,yn(t)是齊次線性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,則方程的通解為：yA(t)＝A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)，其中A1，A2，…，An為n個(gè)任意(獨(dú)立)常數(shù)．

第十八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日定理4(非齊次線性差分方程通解結(jié)構(gòu)定理)

如果(t)是非齊次線性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)的一個(gè)特解,yA(t)是其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的通解,那么,非齊次線性差分方程的通解為：y(t)=yA(t)+

(t)即y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+

(t)，這里A1，A2,…,An為n個(gè)任意(獨(dú)立)常數(shù)．第十九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)一階常系數(shù)線性差分方程

一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為yt+1+ayt=f(t)和yt+1+ayt=0,其中f(t)為t的已知函數(shù),a≠0為常數(shù).分別稱(chēng)為一階常系數(shù)非齊次線性差分方程和其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程.

第二十頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日一、齊次差分方程的通解將方程yt+1+ayt=0改寫(xiě)為:yt+1=-ayt,t=0,1,2,…．假定在初始時(shí)刻(即t=0)時(shí),函數(shù)yt取任意值A(chǔ),那么由上式逐次迭代,算得y1=-ay0=-aA,y2=-ay1=(-a)2A,………………方程的通解為yt=A(-a)t,t=0,1,2,…．如果給定初始條件t=0時(shí)yt=y0,則A=y0,此時(shí)特解為：yt=y0(-a)t．

第二十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日二、非齊次方程的通解與特解1.迭代法求通解將方程改寫(xiě)為yt+1=(-a)yt+f(t),t=0,1,2,…．逐步迭代,則有y1=(-a)y0+f(0),y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),………………

第二十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日由數(shù)學(xué)歸納法,可得

yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)

=(-a)ty0+,(t=0,1,2,…)，

yA(t)=(-a)ty0為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解.

第二十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日解例第二十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日方程的通解第二十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日2.待定系數(shù)法求特解情形Ⅰf(t)為常數(shù)．方程變?yōu)閥t+1+ayt=b,a,b均為非零常數(shù)．試以(為待定常數(shù))形式的特解代入方程得

+a

=(1+a)

=b．當(dāng)a≠-1時(shí),可求得特解當(dāng)a=-1時(shí),改設(shè)特解(為待定系數(shù)),將其代入方程得(t+1)+a

t=(1+a)

t+

=b

求得特解第二十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日方程的通解為解例第二十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日情形Ⅱf(t)為t的多項(xiàng)式．不妨設(shè)f(t)=b0+b1t(t的一次多項(xiàng)式),即yt+1+ayt=b0+b1t,t=1,2,…，其中a,b0,b1均為常數(shù),且a≠0,b1≠0．試以特解=a+bt,(a,b為待定系數(shù))代入方程得a+b(t+1)+a(a+bt)=b0+b1t，上式對(duì)一切t值均成立,其充分必要條件是：第二十八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)1+a≠0時(shí),即a≠-1時(shí)，方程的特解為

當(dāng)a=-1時(shí),改設(shè)特解=(a+bt)t=at+bt2

將其代入方程可求得特解第二十九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日方程的通解為解例第三十頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日情形Ⅲf(t)為指數(shù)函數(shù)不妨設(shè)f(t)=b·dt,b,d均為非零常數(shù),方程變?yōu)?/p>

yt+1+ayt=b·dt,t=0,1,2,…．

求得特解當(dāng)a+d≠0時(shí),設(shè)方程有特解=mdt,m為待定系數(shù).將其代入方程得mdt+1+amdt=b·dt,當(dāng)a+d=0時(shí),改設(shè)方程的特解=tdt,為待定系數(shù),將其代入方程可求得特解=btdt

當(dāng)a+d=0時(shí),改設(shè)方程的特解=tdt,為待定系數(shù),將其代入方程可求得特解=btdt

求得特解當(dāng)a+d=0時(shí),改設(shè)方程的特解=tdt,為待定系數(shù),將其代入方程可求得特解=btdt

第三十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日方程的通解為

解例第三十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日情形Ⅳf(t)為正弦、余弦型三角函數(shù)

設(shè)f(t)=b1cost+b2sint,其中b1,b2,均為常數(shù),且

≠0,b1與b2不同時(shí)為零.于是非齊次方程變?yōu)閥t+1+ayt=b1cost+b2sint,a≠0,t=0,1,2,…．

設(shè)方程有特解=acost+bsint,a,b均為待定系數(shù).

將其代入方程得acos(t+1)+bsin(t+1)+aacost+absint=b1cost+b2sint,(acos+bsin

+aa)cost+(-asin

+bcos

+ab)sinwt=b1cost+b2sint

第三十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日(acos+bsin

+aa)cost+(-asin

+bcos+ab)sinwt=b1cost+b2sint

上式對(duì)t=0,1,2,…恒成立的充分必要條件是其系數(shù)行列式

第三十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)D≠0時(shí),則可求得其解當(dāng)D=(a+cosw)2＋sin2w=0時(shí),則有改設(shè)特解第三十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日代入方程并整理可得方程的通解為第三十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例求差分方程yt+1-2yt=cost的通解．解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為yA(t)=A·2t．設(shè)非齊次方程的特解為=acost+bsint,其中a,b為待定系數(shù)．

將其代入原方程,并利用三角函數(shù)的和角公式,得第三十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日所給方程的通解為第三十八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)二階常系數(shù)線性差分方程

二階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為yt+2+a1yt+1+a2yt=f(t)，t=0,1,2,…，其中f(t)為t的已知函數(shù),a1,a2為已知常數(shù),且a2≠0,稱(chēng)為二階常系數(shù)非齊次線性差分方程．特別地,當(dāng)f(t)0時(shí),方程變?yōu)閥t+2+a1yt+1+a2yt=0．稱(chēng)為對(duì)應(yīng)的齊次差分方程．第三十九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日一、齊次差分方程的通解

稱(chēng)2＋a1+a2=0為二階常系數(shù)非齊次線性差分方程或其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程．它的解(或根)稱(chēng)為方程的特征根(值)．

特征方程的兩個(gè)根為

(1)特征根為相異的兩實(shí)根當(dāng)＞0時(shí),1,

2為兩相異的實(shí)根.y1(t)=1t與y2(t)=2t是齊次差分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解.

第四十頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日齊次差分方程的通解1,2由特征方程確定,A1,A2為兩任意(獨(dú)立)常數(shù)．

例

求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=0的通解．解

特征方程為2-7+12=(

-3)(

-4)=0,有兩相異實(shí)特征根

1=3,

2=4．

原方程的通解為第四十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日(2)特征根為兩相等的實(shí)根當(dāng)=0時(shí),=1=2=為兩相等的實(shí)根.

方程的一個(gè)特解：yt(t)=t．

方程的另一個(gè)特解為y(t)=tt，且與t線性無(wú)關(guān).

方程的通解為第四十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=0的通解.解特征方程為2-4+4=(-2)2=0，方程有重特征根

=1=2=2

原方程的通解為yA(t)=(A1+A2t)·2t,A1,A2為任意常數(shù)．第四十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日(3)特征根為一對(duì)共軛復(fù)根當(dāng)＜0時(shí),1,

2為一對(duì)共軛復(fù)根.1,2=±i=r(cos±isin)第四十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日y1(t)=rtcost,y2(t)=rtsint是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特解.

方程的通解為yA(t)=rt(A1cos

t+A2sin

t)其中

A1，A2為任意常數(shù).第四十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例求差分方程yt+2-2yt+1+2yt=0的通解．解特征方程2-2+2=(-1)2＋1=0

特征根為一對(duì)共軛復(fù)根1,2=1±i．

方程的通解為第四十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日二、非齊次方程的特解與通解例求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=6的通解．解對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為yA(t)=A1·3t+A2·4t，原方程的通解為yt=yA(t)+=A1·3t+A2·4t+1，這里A1,A2為任意常數(shù)．

由于1+a1+a2=1-7+12≠0,設(shè)特解

=B,B為待定常數(shù),將其代入原方程,求得B=1.第四十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例求差分方程yt+2-3yt+1+2yt=4的通解．解特征方程為2-3+2=(-1)(-2)=0,特征根1=1,2=2.

對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為yA(t)=A1+A2·2t．因1+a1+a2=1-3+2=0,故應(yīng)設(shè)非齊次方程的特解為

=Bt,B為待定系數(shù),將其代入原方程,求得B=-4．

原方程的通解為yt=yA(t)+

=A1+A2·2t-4t，這里A1,A2為任意常數(shù)．第四十八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例

求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=3+2t的通解.

解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為yA(t)=(A1+A2t)·2t．此式對(duì)t=0,1,2,…恒成立的充要條件是B0-2B1=3,B1=2.由此解得：B0=7，B1=2．

設(shè)非齊次方程有特解

=B0+B1t,B0,B1為待定系數(shù).將其代入原方程中,得(B0-2B1)+B1t=3+2t,第四十九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日所求非齊次方程的特解為原方程的通解為A1,A2為任意常數(shù)．

第五十頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=5t的通解．解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為yA(t)=(A1+A2t)·2t．設(shè)所給非齊次方程的特特為=B·5t,B為待定系數(shù).

將其代入所給方程,可得

B·5t+2-4B·5t+1+4B·5t=5t．非齊次方程的特解為所給方程的通解為其中A1,A2為任意常數(shù)．第五十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)模型一、存款模型

設(shè)St為t期存款總額,i為存款利率,則St與i有如下關(guān)系式：St+1=St+iSt=(1+i)St,t=0,1,2,…，其中S0為初始存款總額．

第五十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日二、動(dòng)態(tài)供需均衡模型(蛛網(wǎng)定理)

設(shè)Dt表示t期的需求量,St表示t期的供給量,Pt表示商品t期價(jià)格,則傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)供需均衡模型為：

其中a,b,a1,b1均為已知常數(shù).

(1)式表示t期(現(xiàn)期)需求依賴(lài)于同期價(jià)格；(2)式表示t期(現(xiàn)期)供給依賴(lài)于(t-1)期(前期)價(jià)格．(3)式為供需均衡條件．

第五十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日若在供需平衡的條件下,而且價(jià)格保持不變,即Pt=Pt-1=Pe，靜態(tài)均衡價(jià)格需求曲線與供給曲線的交點(diǎn)(Pe,Qe)即為該種商品的靜態(tài)均衡點(diǎn)．動(dòng)態(tài)供需均衡模型的等價(jià)差分方程方程的一個(gè)特解方程的通解為第五十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日若初始價(jià)格P0已知時(shí),將其代入通解,可求得任意常數(shù)A=P0-Pe,此時(shí),通解改寫(xiě)為

如果初始價(jià)格P0=Pe,那么Pt=Pe,這表明沒(méi)有外部干擾發(fā)生,價(jià)格將固定在常數(shù)值Pe上,即靜態(tài)均衡．如果初始價(jià)格P0≠Pe,那么價(jià)格Pt將隨t的變化而變化.

動(dòng)態(tài)價(jià)格Pt隨著t的無(wú)限增大逐漸地振蕩趨近于靜態(tài)均衡價(jià)格Pe.第五十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日普通商品的價(jià)格與供需關(guān)系圖第五十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日三、凱恩斯(Keynes.J.M)乘數(shù)動(dòng)力學(xué)模型

設(shè)Yt表示t期國(guó)民收入,Ct為t期消費(fèi),It為t期投資,I0為自發(fā)(固定)投資,I為周期固定投資增量.凱恩斯國(guó)民經(jīng)濟(jì)收支動(dòng)態(tài)均衡模型為：(1)式為均衡條件,即國(guó)民收入等于同期消費(fèi)與同期投資之和;(2)式為消費(fèi)函數(shù),即現(xiàn)期消費(fèi)水平依賴(lài)于前期國(guó)民收入(消費(fèi)滯后于收入一個(gè)周期),a(≥0)為基本消費(fèi)水平,b為邊際消費(fèi)傾向(0＜b＜1);(3)式為投資函數(shù),這里僅考慮為固定投資．

第五十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日在(1)(2)(3)式中消去Ct和It,得到一階常系數(shù)非齊次線性差分方程：Yt-bYt-1=a+I0+I

方程的一個(gè)特解

方程的通解為

其中A為任意常數(shù).稱(chēng)系數(shù)為凱恩斯乘數(shù).第五十八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日四、哈羅德(Harrod.R.H)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型

設(shè)St為t期儲(chǔ)蓄,Yt為t期國(guó)民收入,It為t期投資,s稱(chēng)為邊際儲(chǔ)蓄傾向(即平均儲(chǔ)蓄傾向),0＜s＜1,k為加速系數(shù).哈羅德宏觀經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型為：其中s,k為已知常數(shù)．(1)式表示t期儲(chǔ)蓄依賴(lài)于前期的國(guó)民收入;(2)式表示t期投資為前兩期國(guó)民收入差的加速,且預(yù)期資本加速系數(shù)k為常數(shù);(3)式為均衡條件.第五十九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日經(jīng)整理后得齊次差分方程其通解為其中A為任意常數(shù),,哈羅德稱(chēng)之為“保證增長(zhǎng)率”

其經(jīng)濟(jì)意義就是：如果國(guó)民收入Yt按保證增長(zhǎng)率增長(zhǎng),那么就能保證t期儲(chǔ)蓄與t期投資達(dá)到動(dòng)態(tài)均衡,即It=St,t=0,1,2,…．

第六十頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日假定t-1期收入Yt-1滿足于通解,而t期收入Yt由于某種外部干擾滿足設(shè)B＞0,那么有因kB＞0,故It＞St.表示:總投資將大于總供給(由儲(chǔ)蓄提供),從而對(duì)收入產(chǎn)生一個(gè)向上的壓力,迫使收入較以前增加得更多.充分地說(shuō)明了,“保證增長(zhǎng)率”保證了國(guó)民收入的增長(zhǎng).

第六十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日五、薩繆爾森(SamuelsonP.A)乘數(shù)加速數(shù)模型

設(shè)Yt為t期國(guó)民收入,Ct為t期消費(fèi),It為t期投資,G為政府支出(各期均相同).薩繆爾森將乘數(shù)和加速數(shù)兩個(gè)參數(shù)同時(shí)引進(jìn)而得到國(guó)民經(jīng)濟(jì)收支均衡模型(也稱(chēng)為乘數(shù)-加速數(shù)模型)：

其中G＞0為常數(shù),b稱(chēng)為邊際消費(fèi)傾向(常數(shù)),k為加速數(shù).

第六十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日將(2)(3)兩式代入(1)并經(jīng)整理后得：Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2＝G．

其特解

其經(jīng)濟(jì)意義為：國(guó)民收入的均衡值等于凱恩斯乘數(shù)與政府支出自發(fā)投資G的乘積.對(duì)應(yīng)的齊次方程為Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2=0，其特征方程為2-b(1+k)+bk=0，

特征方程的判別式

=b2(1＋k)2-4bk=b[b(1+k)2-4k]

第六十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)＞0時(shí),特征方程有兩相異實(shí)根

齊次方程的通解為：YA(t)=A1·1t+A2·2t(A1,A2為任意常數(shù))．當(dāng)=0時(shí),特征方程有一對(duì)相等實(shí)特征根齊次方程的通解為：

(A1,A2為任意常數(shù))

第六十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)<0時(shí),特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根：齊次方程的通解為：YＡ(t)=t(A1cost+A2sint),

A1,A2為任意常數(shù).第六十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日方程Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2＝G的通解第六十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日用Matlab求解差分方程問(wèn)題一階線性常系數(shù)差分方程高階線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程組第六十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日差分方程是在離散時(shí)段上描述現(xiàn)實(shí)世界中變化過(guò)程的數(shù)學(xué)模型例1、某種貨幣1年期存款的年利率是r，現(xiàn)存入M元，問(wèn)年后的本金與利息之和是多少？Xk+1=(1+r)xk,k=0,1,2·····以k=0時(shí)x0=M代入，遞推n次可得n年后本息為

第六十八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日污水處理廠每天可將處理池的污水濃度降低一個(gè)固定比例q，問(wèn)多長(zhǎng)時(shí)間才能將污水濃度降低一半？記第k天的污水濃度為ck,則第k+1天的污水濃度為ck+1=(1-q)ck,k=0,1,2,····

從k=0開(kāi)始遞推n次得以cn=c0/2代入即求解。第六十九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日一階線性常系數(shù)差分方程瀕危物種的自然演變和人工孵化問(wèn)題Florida沙丘鶴屬于瀕危物種，它在較好自然環(huán)境下，年均增長(zhǎng)率僅為1.94%，而在中等和較差環(huán)境下年均增長(zhǎng)率分別為-3.24%和

-3.82%，如果在某自然保護(hù)區(qū)內(nèi)開(kāi)始有100只鶴，建立描述其數(shù)量變化規(guī)律的模型，并作數(shù)值計(jì)算。第七十頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日模型建立記第k年沙丘鶴的數(shù)量為xk,年均增長(zhǎng)率為r，則第k+1年鶴的數(shù)量為

xk+1=(1+r)xkk=0,1,2······已知x0=100,在較好，中等和較差的自然環(huán)境下r=0.0194,-0.0324,和-0.0382我們利用Matlab編程，遞推20年后觀察沙丘鶴的數(shù)量變化情況第七十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日Matlab實(shí)現(xiàn)首先建立一個(gè)關(guān)于變量n，r的函數(shù)functionx=sqh(n,r)a=1+r;X(1)=100;fork=1:nx(k+1)=a*x(k);end第七十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日在command窗口里調(diào)用sqh函數(shù)

k=(0:20)’;>>y1=sqh(20,0.0194);>>y2=sqh(20,-0.0324);>>y3=sqh(20,-0.0382);>>round([k,y1',y2',y3'])第七十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日利用plot繪圖觀察數(shù)量變化趨勢(shì)可以用不同線型和顏色繪圖rgbcmykw分別表示紅綠蘭蘭綠洋紅黃黑白色：+o*.Xsd表示不同的線型第七十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐標(biāo)系下畫(huà)圖plot(k,y2,':')>>plot(k,y2,'--')>>plot(k,y2,'r')>>plot(k,y2,'y')>>plot(k,y2,'y',k,y1,':')>>plot(k,y2,k,y1,':')>>plot(k,y2,'oy',k,y1,':')用gtext(‘r=0.0194’),gtext(‘r=-0.0324’),gtext(‘r=-0.0382’)在圖上做標(biāo)記。第七十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日人工孵化是挽救瀕危物種的措施之一，如果每年孵化5只鶴放入保護(hù)區(qū)，觀察在中等自然條件下沙丘鶴的數(shù)量如何變化Xk+1=aXk+5,a=1+r如果我們想考察每年孵化多少只比較合適，可以令Xk+1=aXk+b,a=1+r第七十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日f(shuō)unctionx=fhsqh(n,r,b)a=1+r;X=100;Fork=1:nX(k+1)=a*x(k)+b;end第七十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日k=(0:20);%一個(gè)行向量y1=(20,-0.0324,5);也是一個(gè)行向量round([k’,y1’])對(duì)k,y1四舍五入，但是不改變變量的值

plot(k,y1)ky1是行向量列向量都可以也可以觀察200年的發(fā)展趨勢(shì)，以及在較差條件下的發(fā)展趨勢(shì)，也可以考察每年孵化數(shù)量變化的影響。第七十八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日一階線性常系數(shù)差分方程的解、平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

自然環(huán)境下,b=0人工孵化條件下令xk=xk+1=x得差分方程的平衡點(diǎn)k→∞時(shí)，xk→x,稱(chēng)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的第七十九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日高階線性常系數(shù)差分方程

如果第k+1時(shí)段變量Xk+1不僅取決于第k時(shí)段變量Xk，而且與以前時(shí)段變量有關(guān)，就要用高階差分方程來(lái)描述第八十頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日一年生植物的繁殖一年生植物春季發(fā)芽，夏天開(kāi)花，秋季產(chǎn)種，沒(méi)有腐爛，風(fēng)干，被人為掠取的那些種子可以活過(guò)冬天，其中一部分能在第2年春季發(fā)芽，然后開(kāi)花，產(chǎn)種，其中的另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活過(guò)一個(gè)冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開(kāi)花，產(chǎn)種，如此繼續(xù)，一年生植物只能活1年，而近似的認(rèn)為，種子最多可以活過(guò)兩個(gè)冬天，試建立數(shù)學(xué)模型研究這種植物數(shù)量變化的規(guī)律，及它能一直繁殖下去的條件。第八十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日模型及其求解記一棵植物春季產(chǎn)種的平均數(shù)為c,種子能活過(guò)一個(gè)冬天的(1歲種子)比例為b,活過(guò)一個(gè)冬天沒(méi)有發(fā)芽又活過(guò)一個(gè)冬天的（2歲種子）比例仍為b,1歲種子發(fā)芽率a1，2歲種子發(fā)芽率a2。設(shè)c,a1,a2固定，b是變量，考察能一直繁殖的條件記第k年植物數(shù)量為Xk，顯然Xk與Xk-1,Xk-2有關(guān)，由

Xk-1決定的部分是a1bcXk-1,由Xk-2決定的部分是

a2b(1-a1)bcXk-2

Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2第八十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2實(shí)際上，就是Xk=pXk-1+qXk-2我們需要知道x0,a1,a2,c,考察b不同時(shí)，種子繁殖的情況。在這里假設(shè)X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20這樣可以用matlab計(jì)算了第八十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2functionx=zwfz(x0,n,b)C=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;x(1)=x0;x(2)=p*x(1);fork=3:nx(k)=p*x(k-1)+q*x(k-2);end第八十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日k=(0:20)’;y1=zwfz(100,21,0.18);y2=zwfz(100,21,0.19);y3=zwfz(100,21,0,20);Round([k,y1’,y2’,y3’])Plot(k,y1,k,y2,’:’,k,y3,’o’),Gtext(‘b=0.18’),gtext(‘b=0.19’),gtext(‘b=0.20’)第八十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)果分析：Xk=pXk-1+qXk-2(1)

x1+px0=0(2)

對(duì)高階差分方程可以尋求形如的解。代入(1)式得稱(chēng)為差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程(1)的解可以表為C1,c2由初始條件x0,x1確定。第八十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日本例中，用待定系數(shù)的方法可以求出b=0.18時(shí),c1=95.64,c2=4.36，這樣實(shí)際上，植物能一直繁殖下去的條件是b>0.191第八十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日線性常系數(shù)差分方程組汽車(chē)租賃公司的運(yùn)營(yíng)一家汽車(chē)租賃公司在3個(gè)相鄰的城市運(yùn)營(yíng)，為方便顧客起見(jiàn)公司承諾，在一個(gè)城市租賃的汽車(chē)可以在任意一個(gè)城市歸還。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)和市場(chǎng)調(diào)查，一個(gè)租賃期內(nèi)在A市租賃的汽車(chē)在A,B,C市歸還的比例分別為0.6,0.3,0.1;在B市租賃的汽車(chē)歸還比例0.2,0.7,0.1;C市租賃的歸還比例分別為0.