常微分方程第次課

常微分方程第次課1第一頁，共四十頁，2022年，8月28日§6.1線性微分方程組的一般理論第二頁，共四十頁，2022年，8月28日一階線性微分方程組:稱式(2)為一階齊次線性微分方程組.非齊次線性微分方程組

(1)則式（1）變?yōu)?2)稱式（1）為第三頁，共四十頁，2022年，8月28日一齊次線性微分方程組1疊加原理定理1證明:則有所以如果是方程（2）的m個解,則它們的線性組合也是方程(2)的解，這里是任意常數(shù)。由于是方程（2）的m個解第四頁，共四十頁，2022年，8月28日2函數(shù)向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)定義設(shè)是一組定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)列向量，如果存在一組不全為零的常數(shù)使得對所有，有恒等式則稱在區(qū)間[a,b]上線性相關(guān)；否則就稱這組向量函數(shù)在區(qū)間[a,b]上線性無關(guān)。第五頁，共四十頁，2022年，8月28日證明:例1證明:函數(shù)向量組在任何區(qū)間都是線性相關(guān)的.第六頁，共四十頁，2022年，8月28日例2證明:函數(shù)向量組證明:要使第七頁，共四十頁，2022年，8月28日則需因為所以故線性無關(guān).第八頁，共四十頁，2022年，8月28日3函數(shù)向量組線性相關(guān)與無關(guān)的判別準(zhǔn)則(1)Wronsky行列式由這n個向量函數(shù)所構(gòu)成的行列式稱為這n個向量函數(shù)所構(gòu)成的Wronsky行列式第九頁，共四十頁，2022年，8月28日(2)定理2證明:第十頁，共四十頁，2022年，8月28日(3)定理3證明:“反證法”則現(xiàn)在考慮函數(shù)向量由定理1知,如果（2）的解線性無關(guān)，則它們的Wronsky行列式第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日由(3)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有矛盾注1:注2:第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日(4)定理4一階微分方程組(2)一定存在n個線性無關(guān)的解.證明:由解的存在唯一性定理知,(2)一定存在滿足初始條件且第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日4通解結(jié)構(gòu)及基本解組定理5證明:①由已知條件,第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日又因為第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日即它們構(gòu)成n維線性空間的基,現(xiàn)在考慮函數(shù)向量由定理1知,由(4)知,因此,由解的存在唯一性定理,應(yīng)有即第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日推論1(2)的線性無關(guān)解的最大個數(shù)等于n。基本解組:一個基本解組。注1:齊次微分方程組(2)的基本解組不唯一。注2:齊次微分方程組(2)的所有解的集合構(gòu)成一個n維線性空間。注3:由n階線性微分方程的初值問題與線性微分方程組的初值問題的等價性描述,本節(jié)所有定理都可平行推論到n階線性微分方程去。第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日推論2第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日5解矩陣與基解矩陣及性質(zhì)(1)定義則稱這個矩陣為齊次微分方程組(2)的解矩陣。則稱該解矩陣為(2)的基解矩陣?；饩仃嚒曰窘饨M為列構(gòu)成的矩陣。第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日注:這里C是確定的N維向量空間第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日例3驗證是方程組基解矩陣.解:由于又由于第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日證明:第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日證明:于是有由此可得第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日即有例4驗證是方程組的基解矩陣,并求其通解。解:第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日又由于其通解為第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日二非齊次線性微分方程組1非齊線性微分方程組解的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日性質(zhì)32通解結(jié)構(gòu)定理定理6這里C是確定的常數(shù)列向量。證明:由性質(zhì)2知,即這里C是確定的常數(shù)列向量。第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日3常數(shù)變易公式則(2)的通解為其中C是任意的常數(shù)列向量,下面尋求(1)形如的解,把(7)代入(1),得(1)一階線性微分方程組的常數(shù)變易公式第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日從而反之,可驗證(8)是方程組(1)滿足初始條件的特解。因此,(7)變?yōu)榈诙彭?，共四十頁?022年，8月28日定理7①

向量函數(shù)是(1)的解,且滿足初始條件②

方程組(1)的通解為注1:注2:公式(8)或(9)稱為(1)的常數(shù)變易公式。第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日例5求方程組的通解.解:由例4知是對應(yīng)齊次方程的基解矩陣,由(8)得方程的特解為第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日所以,原方程的通解為第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日例6試求初值問題解:由例3知是對應(yīng)齊次方程的基解矩陣,第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日故方程滿足初始條件的解是第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日(2)n階線性微分方程的常數(shù)變易公式則線性微分方組的初值問題的基本解組為從而其基解矩陣為第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日第三十六頁，共四十頁，2022年，8月28日推論3的基本解組,那么非齊線性方程的滿足初始條件解為第三十七頁，共四十頁，20