高中數(shù)學(xué)北師大版第二章函數(shù) 精品獲獎

(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．下列結(jié)論中，正確的是()A．冪函數(shù)的圖像都通過點(diǎn)(0,0)，(1,1)B．冪函數(shù)的圖像可以出現(xiàn)在第四象限C．當(dāng)冪指數(shù)α取1,3，eq\f(1,2)時，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)D．當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時，冪函數(shù)y＝xα在定義域上是減函數(shù)解析：當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時，冪函數(shù)y＝x－1的圖像不通過原點(diǎn)，故選項(xiàng)A不正確；因?yàn)樗械膬绾瘮?shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以冪函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第四象限，故選項(xiàng)B不正確；當(dāng)α＝－1時，y＝x－1在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上是減函數(shù)，但在它的定義域上不是減函數(shù)，故選項(xiàng)D不正確．答案：C2．下列冪函數(shù)中過點(diǎn)(0,0)，(1,1)的偶函數(shù)是()A．y＝xeq\f(1,2) B．y＝x4C．y＝x－2 D．y＝xeq\f(1,3)解析：函數(shù)y＝xeq\f(1,2)定義域?yàn)?0，＋∞)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A不正確；函數(shù)y＝x4是過點(diǎn)(0,0)，(1,1)的偶函數(shù)，故B正確；函數(shù)y＝x－2不過點(diǎn)(0,0)，故C不正確；函數(shù)y＝xeq\f(1,3)是奇函數(shù)，故D不正確．答案：B3．設(shè)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(3,4)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\f(3,4)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,2)，則()A．a(chǎn)<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．b<a<c解析：由y＝xeq\f(3,4)是[0，＋∞)上的增函數(shù)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\f(3,4)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(3,4)，由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是R上的減函數(shù)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(3,4)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,2).∴b<a<c.答案：D4．已知函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc的圖像如圖所示，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<a<b解析：由冪函數(shù)的圖像特征知，c<0，a>0，b>0.由冪函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)x>1時，冪函數(shù)的冪指數(shù)大，其函數(shù)值就大，則a>b.綜上所述，可知c<b<a.答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知冪函數(shù)f(x)＝xm2－1(m∈Z)的圖像與x軸，y軸都無交點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)f(x)的解析式是________．解析：∵函數(shù)的圖像與x軸，y軸都無交點(diǎn)，∴m2－1<0，解得－1<m<1；∵圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.答案：f(x)＝x－16．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的部分對應(yīng)值如下表：x1eq\f(1,2)f(x)1eq\f(\r(2),2)則不等式f(|x|)≤2的解集是________．解析：由表中數(shù)據(jù)知eq\f(\r(2),2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α，∴α＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝xeq\f(1,2)，∴|x|eq\f(1,2)≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.答案：{x|－4≤x≤4}三、解答題(每小題10分，共20分)7．已知冪函數(shù)f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．求函數(shù)f(x)的解析式．解析：∵f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2時，f(x)＝x3不是偶函數(shù)，m＝1時，f(x)＝x4是偶函數(shù)，∴f(x)＝x4.8．已知冪函數(shù)f(x)＝xa的圖像經(jīng)過點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2))).(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)用定義證明f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)的單調(diào)性．解析：(1)∵f(x)＝xa的圖像經(jīng)過點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＝eq\r(2)，即2－a＝2eq\f(1,2)，∴a＝－eq\f(1,2).(2)證明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，則f(x2)－f(x1)＝x2－eq\f(1,2)－x1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(x2))－eq\f(1,\r(x1))＝eq\f(\r(x1)－\r(x2),\r(x1x2))＝eq\f(x1－x2,\r(x1x2)·\r(x1)＋\r(x2)).∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，且eq\r(x1x2)·(eq\r(x1)＋eq\r(x2))>0，于是f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，所以f(x)＝x－eq\f(1,2)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)．eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)已知冪函數(shù)f(x)＝xeq\f(1,m2＋m)(m∈N*)．(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；(2)若函數(shù)還經(jīng)過(2，eq\r(2))，試確定m的值，并求滿足f(2－a)>f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：(1)∵m∈N*，∴m2＋m＝m×(m＋1)為偶數(shù)．令m2＋m＝2k，k∈N*，則f(x)＝xeq\f(1,2k)＝eq\r(2k,x)，∴定義域?yàn)閇0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)為增函數(shù)．(2)∵eq\r(2)