第二章系統(tǒng)狀態(tài)空間描述

第二章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)分析及控制2009-081CAUC--空中交通管理學(xué)院§2-1狀態(tài)空間的基本概念1、狀態(tài)：系統(tǒng)的狀態(tài)，是指系統(tǒng)的過(guò)去、現(xiàn)在和將來(lái)的狀況。（如：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，它的狀態(tài)就是它每個(gè)時(shí)刻的位置和速度）2、狀態(tài)變量：能完全表征系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的最小數(shù)目的一組變量。（如果用最少的n個(gè)變量x1(t)，x2(t)，……，xn(t)就能完全描述系統(tǒng)的狀態(tài)，那么這n個(gè)變量就是一組狀態(tài)變量。）3、狀態(tài)向量：設(shè)一個(gè)系統(tǒng)有n個(gè)狀態(tài)變量，即x1(t)，x2(t)，……，xn(t)，用這n個(gè)狀態(tài)變量作為分量構(gòu)成的向量x(t)稱為該系統(tǒng)的狀態(tài)向量。記為2009-082CAUC--空中交通管理學(xué)院§2-1狀態(tài)空間的基本概念4、引入了狀態(tài)和狀態(tài)空間的概念之后，就可以建立動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述了。從結(jié)構(gòu)的角度講，一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)可用圖2-1所示的方塊圖來(lái)表示。其中x(t)表征系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u(t)為系統(tǒng)控制量（即輸入量），y(t)為系統(tǒng)的輸出變量。與輸入—輸出描述不同，狀態(tài)空間描述把系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的描述考慮為一個(gè)更為細(xì)致的過(guò)程：輸入引起系統(tǒng)狀態(tài)的變化，而狀態(tài)和輸入則決定了輸出的變化。圖2-1動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖2009-083CAUC--空中交通管理學(xué)院§2-1狀態(tài)空間的基本概念5、狀態(tài)方程：狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入量的關(guān)系，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。例：設(shè)單輸入線性定常系統(tǒng)(LTI-LinearTimeInvariant)的狀態(tài)變量為x1(t)，x2(t)，……，xn(t)，輸入為u(t),則一般形式的狀態(tài)方程為：2009-084CAUC--空中交通管理學(xué)院§2-1狀態(tài)空間的基本概念上式可寫成向量—矩陣形式：系統(tǒng)矩陣，表示系內(nèi)部狀態(tài)的聯(lián)系?；蜉斎刖仃嚮蚩刂凭仃?，表示輸入對(duì)狀態(tài)的作用。2009-085CAUC--空中交通管理學(xué)院§2-1狀態(tài)空間的基本概念6、輸出方程：在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量、輸入量之間的函數(shù)關(guān)系式，稱為系統(tǒng)的輸出方程。例：?jiǎn)屋敵鼍€性定常系統(tǒng)其向量—矩陣形式為：2009-086CAUC--空中交通管理學(xué)院§2-1狀態(tài)空間的基本概念7、狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，又稱為動(dòng)態(tài)方程。它是對(duì)系統(tǒng)的一種完全的描述。例：SISO系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：注意：由于A、B、C、D矩陣完整地表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，所以有時(shí)把一個(gè)確定的系統(tǒng)簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)矩陣A：表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)情況。輸入矩陣（或控制矩陣）B：表示輸入對(duì)每個(gè)狀態(tài)變量的作用情況。輸出矩陣C：表示輸出與每個(gè)狀態(tài)變量之間的組成關(guān)系。前饋矩陣D：表示輸入對(duì)輸出的直接傳遞關(guān)系。一般控制系統(tǒng)中，通常情況D=0。MIMO系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：2009-087CAUC--空中交通管理學(xué)院§2-1狀態(tài)空間的基本概念8、狀態(tài)空間分析法：在狀態(tài)空間中以狀態(tài)向量或狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的方法，稱為狀態(tài)空間分析法或狀態(tài)變量法。狀態(tài)空間表達(dá)式的結(jié)構(gòu)圖如下：圖2－2系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的方塊圖結(jié)構(gòu)2009-088CAUC--空中交通管理學(xué)院§2-2線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式：連續(xù)系統(tǒng)：用線性微分方程來(lái)描述離散系統(tǒng)：用差分方程來(lái)描述2009-089CAUC--空中交通管理學(xué)院§2-2線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立一、狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖在狀態(tài)空間分析中，采用模擬計(jì)算機(jī)的模擬結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，這對(duì)于建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式很有幫助。狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖有三種基本符號(hào)：（1）積分器（3）比例器（2）加法器2009-0810CAUC--空中交通管理學(xué)院§2-2線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立（1）積分器（3）比例器（2）加法器2009-0811CAUC--空中交通管理學(xué)院【例2.2.1】已知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程如下，試畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖?！?-2線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立解：寫成向量—矩陣形式，，其中：2009-0812CAUC--空中交通管理學(xué)院§2-2線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（或狀態(tài)變量圖）如下：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（用基本單元來(lái)模擬動(dòng)態(tài)方程）2009-0813CAUC--空中交通管理學(xué)院二、狀態(tài)空間表達(dá)式的的建立，，四種方法:§2-2線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立2009-0814CAUC--空中交通管理學(xué)院1、由控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖是經(jīng)典控制中常用的一種用來(lái)表示控制系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)、各信號(hào)相互關(guān)系的圖形化的模型，具有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，常為人們采用。要將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達(dá)式，一般可以由下列三個(gè)步驟組成：第一步：在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的基礎(chǔ)上，將各環(huán)節(jié)通過(guò)等效變換分解，使得整個(gè)系統(tǒng)只有標(biāo)準(zhǔn)積分器（1/s）、比例器（k）及加法器組成，這三種基本器件通過(guò)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種形式組成整個(gè)控制系統(tǒng)。第二步：將上述調(diào)整過(guò)的結(jié)構(gòu)圖中的每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積分器（1/s）的輸出作為一個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量xi，積分器的輸入端就是狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)dxi

/dt。第三步：根據(jù)調(diào)整過(guò)的結(jié)構(gòu)圖中各信號(hào)的關(guān)系，可以寫出每個(gè)狀態(tài)變量的一階微分方程，從而寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程。根據(jù)需要指定輸出變量，即可以從結(jié)構(gòu)圖寫出系統(tǒng)的輸出方程?！?-2.1由控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程2009-0815CAUC--空中交通管理學(xué)院【例2.2.2】某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2－3（a）所示，試求出其動(dòng)態(tài)方程。，，（a）解:該系統(tǒng)主要有一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)積分器組成。對(duì)于一階慣性環(huán)節(jié)，我們可以通過(guò)等效變換，轉(zhuǎn)化為一個(gè)前向通道為一標(biāo)準(zhǔn)積分器的反饋系統(tǒng)。圖2-3（a）所示結(jié)構(gòu)圖經(jīng)等效變換后如圖2-3（b）所示圖2-3控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖§2-2.1由控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程2009-0816CAUC--空中交通管理學(xué)院（b）（a）圖2-3（a）所示結(jié)構(gòu)圖經(jīng)等效變換后如圖2-3（b）所示

(b)§2-2.1由控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程2009-0817CAUC--空中交通管理學(xué)院取y為系統(tǒng)輸出，輸出方程為：寫成矢量形式，我們得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：（b）

我們?nèi)∶總€(gè)積分器的輸出端信號(hào)為狀態(tài)變量和，積分器的輸入端即和。從圖可得系統(tǒng)狀態(tài)方程§2-2.1由控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程2009-0818CAUC--空中交通管理學(xué)院【例2.2.3】求如圖所示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。（b）第一次等效變換（a）系統(tǒng)方塊圖（c）由標(biāo)準(zhǔn)積分器組成的等效方塊圖§2-2.1由控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程2009-0819CAUC--空中交通管理學(xué)院解：圖(a)第一個(gè)環(huán)節(jié)可以分解為，即分解為兩個(gè)通道，如圖(b)左側(cè)點(diǎn)劃線所框部分。第三個(gè)環(huán)節(jié)為一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)，它可以等效變換為如圖(b)右側(cè)雙點(diǎn)劃線所框部分。進(jìn)一步，我們可以得到圖(c)所示的由標(biāo)準(zhǔn)積分器組成的等效結(jié)構(gòu)圖。依次取各個(gè)積分器的輸出端信號(hào)為系統(tǒng)狀態(tài)變量，由圖(c)可得系統(tǒng)狀態(tài)方程：§2-2.1由控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程2009-0820CAUC--空中交通管理學(xué)院由圖可知，系統(tǒng)輸出寫成矢量形式，得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：§2-2.1由控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程2009-0821CAUC--空中交通管理學(xué)院2、根據(jù)物理定律建立實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程一般控制系統(tǒng)可分為電氣、機(jī)械、機(jī)電、液壓、熱力等等。要研究它們，一般先要建立其運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型（微分方程(組)、傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)方程等）。根據(jù)具體系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其研究目的，選擇一定的物理量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸出變量，并利用各種物理定律，如牛頓定律、基爾霍夫電壓電流定律、能量守恒定律等，即可建立系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程模型?！纠?.2.4】RLC電路如圖所示.系統(tǒng)的控制輸入量為u(t)，系統(tǒng)輸出為。建立系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。u(t)uc(t)iLRC解：該RLC電路有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件L和C，設(shè)回路電流為，根據(jù)基爾霍夫電壓定律和R、L、C元件的電壓電流關(guān)系，可得到下列方程：§2-2.2根據(jù)物理定律建立實(shí)際系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程2009-0822CAUC--空中交通管理學(xué)院

（1）我們可以取流過(guò)電感L的電流和電容C兩端電壓作為系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量，分別記作和整理有寫成向量矩陣形式為：§2-2.2根據(jù)物理定律建立實(shí)際系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程2009-0823CAUC--空中交通管理學(xué)院整理有寫成向量矩陣形式為：（2）設(shè)狀態(tài)變量

§2-2.2根據(jù)物理定律建立實(shí)際系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程2009-0824CAUC--空中交通管理學(xué)院（3）設(shè)狀態(tài)變量

整理有：寫成向量矩陣形式為：注意：選取不同的狀態(tài)變量，便會(huì)有不同的狀態(tài)空間表達(dá)式，并且各狀態(tài)空間表達(dá)式之間存在著某種線性關(guān)系?！?-2.2根據(jù)物理定律建立實(shí)際系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程2009-0825CAUC--空中交通管理學(xué)院

3、由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式從描述系統(tǒng)輸入輸出動(dòng)態(tài)關(guān)系的高階微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)建立與之等效的狀態(tài)空間表達(dá)式的問(wèn)題，稱為“實(shí)現(xiàn)問(wèn)題”。關(guān)于實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的詳細(xì)內(nèi)容，我們將在后面的章節(jié)中討論。注意：實(shí)現(xiàn)是非唯一的。（1）輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式為：§2-2.3由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0826CAUC--空中交通管理學(xué)院第一步：選擇狀態(tài)變量（選擇n個(gè)狀態(tài)變量）,令：

第二步：化高階微分方程為的一階微分方程組。

§2-2.3由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0827CAUC--空中交通管理學(xué)院第三步：將方程組表示為向量—矩陣形式：其中：

注意：矩陣A為友矩陣。友矩陣的特點(diǎn)：主對(duì)角線上方元素為1，最后一行的元素可以任意取，而其余的元素均為零。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖§2-2.3由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0828CAUC--空中交通管理學(xué)院【例2.2.5】已知，試列寫動(dòng)態(tài)方程。狀態(tài)方程：輸出方程：狀態(tài)空間表達(dá)式為：其中：解：選狀態(tài)變量§2-2.3由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0829CAUC--空中交通管理學(xué)院【例2.2.6】已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試求閉環(huán)狀態(tài)空間表達(dá)式。解：故微分方程為：選狀態(tài)變量:狀態(tài)方程：輸出方程：§2-2.3由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0830CAUC--空中交通管理學(xué)院其中：§2-2.3由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0831CAUC--空中交通管理學(xué)院（2）輸入量中含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的一般形式：取狀態(tài)空間表達(dá)式為：其中：§2-2.3由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0832CAUC--空中交通管理學(xué)院這里可用待定系數(shù)法確定，即：注意：這種方法不實(shí)用。可先將微分方程畫為傳遞函數(shù)，然后再由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式。§2-2.3由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0833CAUC--空中交通管理學(xué)院4、由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：應(yīng)用綜合除法有：SISO系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖上式中的就是中的，即§2-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0834CAUC--空中交通管理學(xué)院（1）串聯(lián)分解的情況其中：將分解為兩部分串聯(lián)，為中間變量，應(yīng)滿足：選取狀態(tài)變量：§2-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0835CAUC--空中交通管理學(xué)院輸出方程為：向量—矩陣形式的狀態(tài)空間表達(dá)式為：其中：

上述狀態(tài)空間表達(dá)式稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型?！?-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0836CAUC--空中交通管理學(xué)院當(dāng)時(shí)，不變，唯變化。2009-0837CAUC--空中交通管理學(xué)院另外，還可以選另一組狀態(tài)變量。設(shè)經(jīng)整理有如下狀態(tài)方程：輸出方程為：2009-0838CAUC--空中交通管理學(xué)院向量—矩陣為

上述狀態(tài)空間表達(dá)式稱為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。2009-0839CAUC--空中交通管理學(xué)院串聯(lián)分解對(duì)偶的狀態(tài)變量圖（可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型）可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型和可控標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程的各矩陣存在如下關(guān)系：

§2-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0840CAUC--空中交通管理學(xué)院【例2.2.7】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為解：采用傳遞函數(shù)串聯(lián)分解法：整理有：

整理有：令：試求狀態(tài)空間表達(dá)式?！?-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0841CAUC--空中交通管理學(xué)院狀態(tài)空間表達(dá)式為:式中：，，，可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖§2-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0842CAUC--空中交通管理學(xué)院根據(jù)對(duì)偶原理，也可寫出可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型：式中：，，

可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖§2-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0843CAUC--空中交通管理學(xué)院【例2.2.8】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試求狀態(tài)空間表達(dá)式。（1）可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式為：其中：（2）可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式為：其中：解：§2-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0844CAUC--空中交通管理學(xué)院只含單實(shí)極點(diǎn)的情況可分解為式中為n階系統(tǒng)的單實(shí)極點(diǎn)，則可化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。式中：

設(shè)那么傳遞函數(shù)可展成：取狀態(tài)變量：整理后有：，即狀態(tài)方程為：§2-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0845CAUC--空中交通管理學(xué)院只含單實(shí)極點(diǎn)的情況可分解為式中為n階系統(tǒng)的單實(shí)極點(diǎn)，則可化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)那么傳遞函數(shù)可展成：2009-0846CAUC--空中交通管理學(xué)院又有：

即輸出方程為：向量—矩陣形式為：§2-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0847CAUC--空中交通管理學(xué)院對(duì)角形動(dòng)態(tài)方程的狀態(tài)變量圖為：由于uiyi等價(jià)于對(duì)角形動(dòng)態(tài)方程的狀態(tài)變量圖§2-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0848CAUC--空中交通管理學(xué)院【例2.2.9】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為解：

其中：

動(dòng)態(tài)方程為：試求狀態(tài)空間表達(dá)式?！?-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0849CAUC--空中交通管理學(xué)院（3）含重實(shí)極點(diǎn)的情況中含重實(shí)極點(diǎn)時(shí)，不僅可以化為可控、可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，當(dāng)還可以化為約當(dāng)形動(dòng)態(tài)方程。例如：§2-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0850CAUC--空中交通管理學(xué)院§2-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0851CAUC--空中交通管理學(xué)院【例2.2.10】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，試求約當(dāng)型狀態(tài)空間表達(dá)式。其中：

動(dòng)態(tài)方程為：，即解：§2-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0852CAUC--空中交通管理學(xué)院2【例2.2.11】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，試求約當(dāng)型狀態(tài)空間表達(dá)式。其中：解：§2-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0853CAUC--空中交通管理學(xué)院

動(dòng)態(tài)方程為：，特別注意：狀態(tài)空間表達(dá)式可按如下公式導(dǎo)出傳遞函數(shù)

§2-2.4由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2009-0854CAUC--空中交通管理學(xué)院§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型一、狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程建立的過(guò)程，無(wú)論是從實(shí)際物理系統(tǒng)出發(fā)，還是從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā)，還是從系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)，在狀態(tài)變量的選取方面都帶有很大的人為的隨意性;實(shí)際物理系統(tǒng)雖然結(jié)構(gòu)不可能變化，但不同的狀態(tài)變量取法就產(chǎn)生不同的動(dòng)態(tài)方程；系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖在取狀態(tài)變量之前需要進(jìn)行等效變換，而等效變換過(guò)程就有很大程度上的隨意性，因此會(huì)產(chǎn)生一定程度上的結(jié)構(gòu)差異，這也會(huì)導(dǎo)致動(dòng)態(tài)方程差異的產(chǎn)生；從系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，更是會(huì)導(dǎo)致迥然不同的系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生，因而也肯定產(chǎn)生不同的動(dòng)態(tài)方程。所以說(shuō)同一系統(tǒng)選取不同的狀態(tài)變量便有不同形式的動(dòng)態(tài)方程。2009-0855CAUC--空中交通管理學(xué)院1、非奇異線性變換我們總可以找到某個(gè)非奇異矩陣P，將原狀態(tài)向量作線性變換，得到另一個(gè)新的狀態(tài)向量,令變換前系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：變換后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：式中：

對(duì)于狀態(tài)向量§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0856CAUC--空中交通管理學(xué)院特別提示：有些教材中，做如下線性變換：變換前系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：變換后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：式中：與上面線性變換相比，兩者只是形式不同。為在講授過(guò)程中方便講解，我們將一直采用這種線性變換?！?-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0857CAUC--空中交通管理學(xué)院2、非奇異線性變換的不變特性線性定常系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后，其特征多項(xiàng)式、特征方程、傳遞函數(shù)不變。§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0858CAUC--空中交通管理學(xué)院二、系統(tǒng)特征值和特征向量（預(yù)備知識(shí)）定義：設(shè)A是一個(gè)nxn的矩陣，若在向量空間中存在一非零向量v，使

則稱為的特征值，任何滿足的非零向量稱為的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。1、特征值的計(jì)算【例2.3.1】求下列矩陣的特征值。

§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0859CAUC--空中交通管理學(xué)院解出特征值解：§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0860CAUC--空中交通管理學(xué)院2、特征向量的計(jì)算【例2.3.2】求下列矩陣的特征向量解：（1）A的特征值在上例中已求出

的特征向量（2）計(jì)算對(duì)應(yīng)于特征值，有設(shè)，即有§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0861CAUC--空中交通管理學(xué)院

令:，則的特征向量（3）同理可算出的特征向量計(jì)算整理后有：解出：§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0862CAUC--空中交通管理學(xué)院三、動(dòng)態(tài)方程的幾種標(biāo)準(zhǔn)型1、動(dòng)態(tài)方程的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)于線性系統(tǒng)若A的特征值是互異的，則必存在非奇異變換矩陣P使原狀態(tài)空間表達(dá)式變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。式中：其中，是矩陣A的特征值?！?-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0863CAUC--空中交通管理學(xué)院變換矩陣P由A的特征向量構(gòu)造，即分別為對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。【例2.3.3】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。解：（1）A的特征值和特征向量已在前面兩例中算出：

§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0864CAUC--空中交通管理學(xué)院（2）用構(gòu)造變換矩陣P，并求。

（3）計(jì)算§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0865CAUC--空中交通管理學(xué)院于是變換后的動(dòng)態(tài)方程為：※注意：如果原狀態(tài)空間表達(dá)式中的A陣為友矩陣，且有n個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值，那么使A變換為對(duì)角形矩陣的變換陣P是一個(gè)范德蒙（Vandermonde）矩陣：

§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0866CAUC--空中交通管理學(xué)院【例2.3.4】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。

解：系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為，解出特征值為由于A為友矩陣，并且有互異實(shí)特征值，故而變換矩陣可直接寫為如下形式：

§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0867CAUC--空中交通管理學(xué)院于是變換后的動(dòng)態(tài)方程為：【例2.3.5】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。

§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0868CAUC--空中交通管理學(xué)院解：采用另一種方法：（1）系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為，解出特征值為（2）可由，進(jìn)而求出。令：

并帶入，有§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0869CAUC--空中交通管理學(xué)院解出，則（3）計(jì)算

§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0870CAUC--空中交通管理學(xué)院2、動(dòng)態(tài)方程的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型如果A陣具有重實(shí)特征根，又可分為兩種情況：①A陣雖有重特征值，但矩陣A仍然有n個(gè)獨(dú)立的特征向量。這種情況同特征值互異時(shí)一樣，仍可以把A劃分為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。②另一種情況是矩陣A不但具有重特征值，而且其獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)也低于n。對(duì)于這種情況，A陣雖不能變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，但可以變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0871CAUC--空中交通管理學(xué)院（1）約當(dāng)塊和約當(dāng)陣形如、的矩陣，稱為約當(dāng)塊。由若干個(gè)約當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角線矩陣稱為約當(dāng)矩陣。如

§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0872CAUC--空中交通管理學(xué)院（2）設(shè)A陣具有m重實(shí)特征值，且只有一個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量與之對(duì)應(yīng)，則只能使A化為約當(dāng)陣J。變換矩陣式中是的廣義實(shí)特征向量，滿足：，…，是互異特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0873CAUC--空中交通管理學(xué)院【例2.3.6】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

解：（1）系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為解出特征值為（2）對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，有，即解出：§2-3線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型2009-0874CAUC--空中交通管理學(xué)院由于，故對(duì)應(yīng)特征值的獨(dú)立特征向量只有一個(gè)(因?yàn)?，另一個(gè)為廣義特征向量，設(shè)為，根據(jù)