第八章 曲線及曲面

2/3/20231第八章曲線和曲面2/3/20232目錄§8-1曲線§8-2曲面概述§8-3回轉(zhuǎn)曲面§8-4圓柱螺旋面2/3/20233§8-1曲線

一、曲線的形成和分類

曲線可以看作是由以下三種方式形成的：

1.不斷改變方向的點連續(xù)運動的軌跡。

2.曲面立體表面的交線。

3.直線族或曲線族的包絡(luò)。

點的運動軌跡曲表面的交線包絡(luò)曲線2/3/20234§8-1曲線

曲線的分類：可分為規(guī)則曲線與不規(guī)則曲線，例如圓是規(guī)則曲線，地面等高線是不規(guī)則曲線；

又可分為平面曲線和空間曲線，曲線上所有的點都位于一個平面上，這樣的曲線叫平面曲線；連續(xù)四個點不在同一平面上的曲線叫空間曲線。圓柱螺旋線就是空間曲線的例子。2/3/20235§8-1曲線

二、曲線的投影

畫出曲線上一系列點的投影，可得到曲線的投影。為了準(zhǔn)確地表示曲線，一般應(yīng)畫出曲線上特殊點的投影，以便控制好曲線的形狀。

曲線的投影性質(zhì)：

1.曲線的投影一般仍為曲線，特殊情形下平面曲線的投影可能退化成直線；

2/3/20236§8-1曲線

2.曲線的切線在某投影面上的投影仍與曲線在該投影面上的投影相切，而且切點的投影仍為切點；

3.二次曲線的投影一般仍為二次曲線，例如圓的投影一般為橢圓。2/3/20237§8-1曲線

平面曲線的投影，其形狀視平面與投影面的傾斜狀態(tài)而定，當(dāng)平面平行于投影面時，曲線的投影反映曲線的實形；當(dāng)平面垂直于投影面時，曲線的投影退化為直線；當(dāng)平面傾斜于投影面時，曲線的投影為變了形的曲線。反映實形退化成直線變了形的曲線2/3/20238§8-1曲線

三、圓的投影

1.投影面垂直面上的圓

圓在所垂直的那個投影面上的投影為直線段，線段的長度等于圓的直徑，圓的另外兩投影為橢圓，橢圓的長軸長度等于圓的直徑。2/3/20239§8-1曲線

例6-1

已知直徑為d的圓位于鉛垂面內(nèi)，并知圓心O和PH的位置，試作出其投影。

解：水平投影為線段，長度等于d，重合在PH上；正面投影和側(cè)面投影為橢圓，長軸豎直，長度等于d，短軸水平，長度根據(jù)水平投影作出。利用圓的輔助投影可作出橢圓上的一些中間點。2/3/202310§8-1曲線

2.一般斜平面上的圓

圓所在的平面傾斜于三個投影面時，圓的任一投影都是橢圓，橢圓長軸的長度總是等于圓的直徑d。2/3/202311§8-1曲線

例6-2

半徑為r的圓位于一般傾斜平面□ABCD上，并知圓心的位置，試作出其投影。

解：首先，在水平投影中作橢圓的長短軸：長軸的方向為面內(nèi)水平線的水平投影的方向，長度等于圓的直徑2r。短軸垂直于長軸，長度利用直角三角形法求出。2/3/202312§8-1曲線

四、螺旋線的投影

1.圓柱螺旋線的形成

點P沿圓柱面在繞軸線作等角速回轉(zhuǎn)運動的同時又沿軸向作等速直線運動，該動點復(fù)合運動的軌跡就是圓柱螺旋線。

2/3/202313§8-1曲線

2、螺旋線的投影

螺旋線軸線為鉛垂線時，螺旋線的水平投影為圓。把圓周等分（例如12等分），分點按旋向依次編號為0、1、2……；在正面投影中把導(dǎo)程也作相同的等分，過各分點作水平線；由水平投影中的各分點作豎直線與正面投影上的對應(yīng)水平線相交，得0’、1’、2’……,把這些點連成光滑曲線，即為螺旋線的正面投影。2/3/202314§8-2曲面概述

一、曲面的形成和分類

曲面分為規(guī)則曲面和不規(guī)則曲面。規(guī)則曲面可以看成是運動的線按照一定的規(guī)則或受某種控制運動的軌跡。運動的線稱為母線，曲面上任意位置的母線稱為素線?？刂颇妇€運動的線或面，稱為導(dǎo)線或?qū)妗?/p>

2/3/202315§8-2曲面概述

由直母線運動生成的曲面稱為直線面，例如圓柱面、圓錐面；只能由曲母線運動生成的曲面稱為曲線面，例如球面。2/3/202316§8-2曲面概述

根據(jù)母線運動時有無旋轉(zhuǎn)軸，曲面可以分為旋轉(zhuǎn)面和非旋轉(zhuǎn)面。在旋轉(zhuǎn)面中，由直母線旋轉(zhuǎn)生成的叫旋轉(zhuǎn)直紋面，由曲母線旋轉(zhuǎn)生成的叫旋轉(zhuǎn)曲線面。2/3/202317按母線運動形式分回轉(zhuǎn)面與非回轉(zhuǎn)面。按曲面能否攤平分可展曲面與非可展曲面，在直線面中可展曲面的相鄰素線平行或相交，又稱單曲面，而不可展曲面相鄰素線交叉，又稱復(fù)曲面或扭曲面。按母線在運動過程中有無變化可分定線面與變線面。2/3/202318§8-2曲面概述

二、曲面的投影

平行于某個投射方向而且與曲面相切的投射線，形成投射平面或柱面，它們與曲面相切的切線稱為該投射方向的曲面外形輪廓線，簡稱外形線。曲面在某個投影面上的投影，可以用該投射方向上外形線的投影來表示。此外，有時還需同時畫出曲面上若干條素線。2/3/202319§8-2曲面概述

外形線同時還是曲面在該投射方向下可見與不可見部分的分界線。2/3/2023208-3回轉(zhuǎn)曲面一、回轉(zhuǎn)曲面的形成與投影母線繞一定軸旋轉(zhuǎn)而形成的曲面稱為回轉(zhuǎn)曲面。母線上任意一點的運動軌跡都是垂直于回轉(zhuǎn)軸的圓，稱為緯圓。緯圓的半徑等于點到軸的距離，其中距離最小的點形成的緯圓又稱喉圓，距離最大的點形成的緯圓又稱赤道圓，母線兩端點形成了上底圓和下底圓?；剞D(zhuǎn)曲面上的素線又稱經(jīng)線，而平行于V面的經(jīng)線則稱主經(jīng)線。2/3/202321§8-3回轉(zhuǎn)曲面

二、回轉(zhuǎn)曲面上的點和線

曲面上點的投影在曲面的同面投影上。這里討論的問題是，已知曲面的投影，根據(jù)曲面上點的一個投影如何求出它的其余投影。與平面上定點類似，這里也要借助于輔助線。曲面上選用的輔助線，其投影應(yīng)為直線或圓。對于直線面，可選用其直的素線為輔助線，用這種方法求點的投影稱為素線法。對于旋轉(zhuǎn)面可以選用緯圓作為輔助線，用這種方法求點的投影稱為緯圓法。2/3/202322§8-3回轉(zhuǎn)曲面

在圓錐面上用素線法和緯圓法求點的投影的例子：2/3/202323§8-3回轉(zhuǎn)曲面

一、球面

圓繞其任一直徑旋轉(zhuǎn)生成球面。所以球面被任一平面截割，其交線均為圓。球的任一正投影也總是圓。圓的直徑等于球的直徑。2/3/202324§8-3回轉(zhuǎn)曲面

在球面上作點，一般用緯圓法。例如已知球上點A的正面投影a’,過a’作水平緯圓的正面投影，得緯圓半徑ra，在水平投影中以ra為半徑畫圓，得緯圓的水平投影，a在此圓上。2/3/202325§8-3回轉(zhuǎn)曲面

例8-3根據(jù)部分球面的正面投影和水平投影，求作側(cè)面投影，并根據(jù)球面上A點的正面投影a’

和B點的水平投影b，作出其余的投影。解：本題表示的是1/4球面，其側(cè)面投影為一扇形。用緯圓法可求出A和B的其余各投影。2/3/202326§8-3回轉(zhuǎn)曲面

二、環(huán)面

圓繞與其共面但不通過圓心的軸線旋轉(zhuǎn)，生成環(huán)面。外半圓周生成外環(huán)面，內(nèi)半圓周生成內(nèi)環(huán)面。2/3/202327§8-3回轉(zhuǎn)曲面

圖示環(huán)面的正面投影上，畫出了軸線和外形線，包括母線上最高、最低點的軌跡及兩個反映實形的母線圓的投影，其中內(nèi)半圓的投影為不可見。水平投影上畫出了母線圓的圓心軌跡及外形線，包括母線圓上最外、最內(nèi)點軌跡圓的投影。2/3/202328§8-3回轉(zhuǎn)曲面

在環(huán)面上作點，一般用緯圓法。

例8-4

已知1/4環(huán)面上A、B兩點的正面投影，求其余投影。

解：先根據(jù)已知投影的可見性，判斷點在環(huán)面上的部位，作緯圓求出點的相應(yīng)投影。

2/3/202329§8-4圓柱螺旋面

分別以圓柱螺旋線和其軸線為導(dǎo)線，直母線l沿此兩導(dǎo)線移動而又同時與軸線保持一定的角度，這樣形成的曲面稱為螺旋面。若母線與軸正交，得到的叫正螺旋面，否則得到的叫斜螺旋面。2/3/202330§8-4圓柱螺旋面

1.正螺旋面投影圖直觀圖2/3/202331§8-4圓柱螺旋面

應(yīng)用實例：螺旋樓梯的作圖2/3/202332§8-4圓柱螺旋面

塔柱上的螺旋樓梯

2/3/202333§8-4圓柱螺旋面

一、柱面

直母線l沿著一條導(dǎo)曲線運動，且始終平行于某一固定方向T，這樣形成的曲面稱為柱面。柱面的所有素線均互相平行，畫柱面的投影時需畫出外形線的投影（輪廓素線）。2/3/202334§8-4圓柱螺旋面在柱面上求點的投影，一般可用素線法。2/3/202335§8-4圓柱螺旋面

柱面的曲導(dǎo)線一般為平面曲線。柱面是按正截面的形狀取名的，正截面是圓時，稱為圓柱面；正截面是橢圓時，稱為橢圓柱面，等等。如果柱面有兩個以上的對稱平面，則對稱平面的交線稱為柱面的軸。下面是幾種有軸柱面的投影。2/3/202336§8-4圓柱螺旋面

二、錐面

直母線沿著一條曲導(dǎo)線C運動，且始終通過定點S，這樣形成的曲面稱為錐面。S稱為錐頂，所有的素線都通過它。在投影圖上，應(yīng)畫出錐頂、導(dǎo)曲線和錐面外形線的投影。2/3/202337§8-4圓柱螺旋面

在錐面上作點，一般利用素線法。當(dāng)用投影面平行面能截出圓形交線時，也可以用緯圓法作點。下面是幾種有軸的錐面。2/3/202338

直母線l沿著兩條交叉直導(dǎo)線AB、CD運動，且始終平行于某一導(dǎo)平面Q，這樣形成的曲面稱為雙曲拋物面，工程上也稱扭面?！?-4圓柱螺旋面

四、雙曲拋物面

雙曲拋物面的投影圖中，只需畫出兩條直導(dǎo)線和若干素線的投影，而不必畫出導(dǎo)平面。2/3/202339§8-4圓柱螺旋面雙曲拋物面在工程上有廣泛的用途。水渠邊坡漸變段道路邊坡過渡段2/3/202340§8-4圓柱螺旋面

對于同一個雙曲拋物面，也可以把它看作是以AD、BC為交叉直導(dǎo)線，以平行于端點連線AB、CD的平面P為導(dǎo)平面所形成的。也就是說，雙曲拋物面上有兩族素線，其中每一條素線與同族的所有素線都不相交，而與另一族的所有素線都相交。2/3/202341

直母線l沿著一條直導(dǎo)線EF和一條曲導(dǎo)線ABC運動，且始終平行于導(dǎo)平面P（P平行于兩條導(dǎo)線端點的連線AE和CF），這樣形成的曲面稱為錐狀面。

§8-4圓柱螺旋面

五、錐狀面

2/3/202342§8-4圓柱螺旋面

六、柱