第2章-時變電磁場

第2章時變電磁場亥姆霍茲定理的基本內(nèi)容一個矢量場只可能有兩種源——旋度源和散度源，此外，再無其它類型的源。若在給定邊界空間中，一個矢量場的旋度和散度都給定了，則該矢量場的解是唯一確定的。已知在電磁場中矢量A的散度源矢量A的旋度源邊界條件電流密度J電磁場唯一地確定電荷密度邊界條件為電導(dǎo)率:為介電常數(shù):，其中為磁導(dǎo)率:，其中本構(gòu)關(guān)系式（與媒質(zhì)有關(guān)的特性方程）第2節(jié)麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組的積分形式直觀地給出了方程的物理意義2.1麥克斯韋方程組的積分形式麥克斯韋方程組是電磁現(xiàn)象的基礎(chǔ)，可以用來解釋所有的電磁現(xiàn)象。麥克斯韋（1831--1879)，偉大的英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。麥克斯韋主要從事電磁理論、分子物理學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、光學(xué)、力學(xué)、彈性理論方面的研究。麥克斯韋在前人成就的基礎(chǔ)上，對整個電磁現(xiàn)象作了系統(tǒng)、全面的研究，將電磁場理論用簡潔、對稱、完美數(shù)學(xué)形式表示出來，經(jīng)后人整理和改寫，成為經(jīng)典電動力學(xué)主要基礎(chǔ)的麥克斯韋方程組。據(jù)此，1865年他預(yù)言了電磁波的存在，并計(jì)算了電磁波的傳播速度等于光速，同時得出結(jié)論：光是電磁波的一種形式，揭示了光現(xiàn)象和電磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系。麥克斯韋于1873年出版了科學(xué)名著《電磁理論》。系統(tǒng)、全面、完美地闡述了電磁場理論。這一理論成為經(jīng)典物理學(xué)的重要支柱之一。建立的電磁場理論，將電學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)統(tǒng)一起來，是19世紀(jì)物理學(xué)發(fā)展的最光輝的成果，是科學(xué)史上最偉大的綜合之一。法拉第電磁感應(yīng)定律：導(dǎo)體回路l中的感應(yīng)電動勢等于該回路所圍面積的磁通量的時間變化率的負(fù)值。麥克斯韋方程組第一方程法拉第(1791－1867)，英國物理學(xué)家、化學(xué)家，也是著名的自學(xué)成才的科學(xué)家。法拉第于1831年發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)定律。這一劃時代的偉大發(fā)現(xiàn)，使人類掌握了電磁運(yùn)動相互轉(zhuǎn)變以及機(jī)械能和電能相互轉(zhuǎn)變的方法，成為現(xiàn)代發(fā)電機(jī)、電動機(jī)、變壓器技術(shù)的基礎(chǔ)。

法拉第于1833-1834年連續(xù)發(fā)現(xiàn)電解第一和第二定律，為現(xiàn)代電化學(xué)工業(yè)奠定了基礎(chǔ)。1845年發(fā)現(xiàn)磁致旋光效應(yīng)（法拉第效應(yīng)）。法拉第名言：希望你們年青的一代，也能象蠟燭為人照明那樣，有一分熱，發(fā)一分光，忠誠而踏實(shí)地為人類偉大的事業(yè)貢獻(xiàn)自己的力量。

法拉第被稱為是19世紀(jì)最偉大的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家，他的照片在1991年至2001年時，被印在20元的英鎊紙幣上麥克斯韋修正的安培環(huán)路定律：磁場強(qiáng)度沿閉合回路l的環(huán)流量等于通過l所包圍面積的傳導(dǎo)電流與位移電流。麥克斯韋方程組第二方程—傳導(dǎo)電流密度—位移電流密度—全電流密度安培(1775～1836)，法國物理學(xué)家。安培最主要的成就是1820～1827年對電磁作用的研究：①發(fā)現(xiàn)了安培定則；②發(fā)現(xiàn)電流的相互作用規(guī)律；③發(fā)明了電流計(jì)；④提出分子電流假說；⑤總結(jié)了電流元之間的作用規(guī)律——安培定律。安培被譽(yù)為“電學(xué)中的牛頓”。

高斯電場定律：電場通過閉合曲面S的凈通量等于S所包圍體積V中的總電荷。麥克斯韋方程組第三方程—體電荷密度高斯磁場定律：通過閉合曲面S的磁通量橫為零。麥克斯韋方程組第四方程高斯磁場定律說明磁單極子不存在。SBNS2.2麥克斯韋方程組的微分形式描述了空間電磁場與場源之間的關(guān)系高斯（1777～1855），德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。他還把數(shù)學(xué)應(yīng)用于天文學(xué)、大地測量學(xué)和磁學(xué)的研究，發(fā)明了最小二乘法原理。高斯被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”。高斯一生共發(fā)表155篇論文，他對待學(xué)問十分嚴(yán)謹(jǐn)，只是把他自己認(rèn)為是十分成熟的作品發(fā)表出來。其著作還有《地磁概念》和《論與距離平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。

物理意義：任何從一閉合面流出的電流都意味著該閉合面內(nèi)的電荷的減少量。電荷既不能被創(chuàng)造也不能被消滅，可表達(dá)為：電荷守恒定律電荷密度與電流密度的關(guān)系電流連續(xù)性方程可由麥克斯韋第二、第三方程導(dǎo)出：反映了電荷和電流之間滿足電荷守恒定律。電流連續(xù)性方程的推導(dǎo)麥克斯韋方程組實(shí)際上是由法拉第電磁感應(yīng)定律、安培環(huán)路定律和高斯定律構(gòu)成。完整描述電磁場的特性同時需要法拉第電磁感應(yīng)定律、安培環(huán)路定律、高斯定理和電荷守恒定理。關(guān)于麥克斯韋方程組微分形式的幾點(diǎn)討論：只適用于場量和源一階可微的情況，否則只能利用積分形式反映了場與源之間的局部特性J為磁場的旋度源之一，ρ為電場的散度源(磁場無散度源)，時變電場與時變磁場互為對方的旋度源滿足線性疊加原理便于計(jì)算限定形式的麥克斯韋方程組(H)=0(E)=麥克斯韋方程組的正弦穩(wěn)態(tài)相量形式第3節(jié)電磁場定理靜電場和恒定磁場的特性積分形式微分形式電位移矢量的通量特性-電場的高斯定理靜電系統(tǒng)的守恒定理靜電場的守恒特性：當(dāng)電荷在電場中移動一周時，電場力所做的功為零，電場能量既不增加也不減少。說明當(dāng)場源一定時，電場也為固定值。靜電場的基本方程積分形式微分形式磁感應(yīng)強(qiáng)度的通量特性-磁場的高斯定理恒定磁場與電流的關(guān)系恒定磁場的基本方程對點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場任取一閉合面積分：q在S內(nèi)q在S外證明：一、電場的高斯定理若S內(nèi)有N個點(diǎn)電荷q1、q2、…qN，則將點(diǎn)電荷推廣到分布電荷v、S、l，可得注意：方程右邊的被積函數(shù)及積分區(qū)域均是左邊的閉合面所包圍的,如當(dāng)閉合面內(nèi)充滿體電荷時，的外包圍面即是S對上式應(yīng)用散度定理，可得高斯定理的微分形式：高斯定理的一般積分形式：這表明：電位移矢量在空間某點(diǎn)的變化率等于電荷的體密度。靜電場的散度源是電荷，電荷密度不為零的點(diǎn)能發(fā)出或匯聚電力線。注意：E應(yīng)在體積中連續(xù)適于解決：由電場分布求解體積中的體電荷密度。q?-q由一個閉合面內(nèi)穿出的電通量等于閉合面所包圍的全部體積內(nèi)的凈電荷量。D適于解決：平面對稱、軸對稱、球?qū)ΨQ的電場問題。

閉合面外的電荷對場的影響電力線的性質(zhì)：▲

E線不能相交;▲

E線愈密處，場強(qiáng)愈大;▲

E線與等位線（面）正交；▲

E線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷;▲

E線的方向即為電場的方向。求線電荷密度為l的無限長帶電直線的電場。解：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系電荷分布具有軸對稱性，選柱坐標(biāo)系（2）分析場的分布特征zaP(,z)電場沿徑向分布，只有E分量，E=aE（3）根據(jù)場分布作一閉合面——高斯面取高度為1的閉合圓柱面，即S=aS側(cè)+azS上底

-azS下底

（4）代入高斯定律中計(jì)算：即l0時例無限大平面均勻帶電，電荷面密度為，求電場強(qiáng)度。解：（1）電荷分布具有平面對稱性，選取直角坐標(biāo)系（2）均勻面電荷產(chǎn)生的電場垂直于帶電平面（3）以帶電平面為對稱面，作一平行六面體，設(shè)其側(cè)面面積為S。xs0結(jié)論：無限大均勻帶電平面在兩側(cè)產(chǎn)生反向均勻電場-xOxS例半徑為a的球中充滿密度為(r)的電荷，已知電場為求電荷密度

(r)。解：例磁場高斯定理的積分形式為：應(yīng)用散度定理，可得高斯定理的微分形式：二、磁場的高斯定理表明磁場為無散場磁通連續(xù)性方程電流回路

c產(chǎn)生的磁場為在此磁場中任取一閉合面(BC)A=B(CA)nB求磁感應(yīng)強(qiáng)度穿過任意閉合面的通量證明：IdldBaRdBaRIdl=0B=0(BC)A=B(CA)

磁通連續(xù)性原理穿出閉合曲面的磁通量恒為零。這意味著所有的磁力線都是閉合的，即磁場中沒有獨(dú)立的源(孤立的磁荷)存在。磁場高斯定律的物理意義：

磁力線的性質(zhì)：?B線是閉合的曲線;?B線不能相交；?閉合的B線與交鏈的電流成右手螺旋關(guān)系；?B強(qiáng)處，B線稠密，反之，稀疏。一載流導(dǎo)線I

位于無限大鐵板上方的磁場分布（B線）長直螺線管磁場的分布（B線）兩根異向長直傳輸線的磁場分布兩根同向長直傳輸線的磁場分布兩對上下放置傳輸線的磁場分布兩對平行放置傳輸線的磁場分布三、原始的安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律的積分形式（I與c呈右手螺旋關(guān)系時為正，反之為負(fù)）安培環(huán)路定律的微分形式表明磁場是有旋度的場，給出了源和場之間的關(guān)系。當(dāng)電流連續(xù)分布時，利用斯托克斯定理，得安培定律的物理意義：磁場強(qiáng)度沿任意閉合路徑的環(huán)流量等于回路所包圍的電流的代數(shù)和。安培定律表明：磁場的渦旋源是電流，磁場是有旋場。半徑為

a的無限長直導(dǎo)體圓柱均勻通過電流

I，計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)外的B。解：⑴電流分布具有軸對稱性，選柱坐標(biāo)⑵分析磁場的分布zaI⑶沿磁感應(yīng)線取B的線積分沿

方向a時a時例解：選用圓柱坐標(biāo)系，試求載流無限長同軸電纜產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。例由上例由上例得與安培環(huán)路的交鏈的電流為3)R2≤<R32)R1≤<R21)0≤<R1四、修正的安培環(huán)路定律引入位移電流位移電流位移電流為時變電場的變化所引起的真實(shí)的電的流動，其密度定義為：定義——位移電流密度——位移電流——全電流密度引入位移電流的意義⒈從數(shù)學(xué)公式上將電和磁對偶起來⒉在理論上直接推論出電磁波的存在⒊在理論上宣告電磁場理論體系基本構(gòu)建完成修正的安培環(huán)路定律解：忽略極板的邊緣效應(yīng)和感應(yīng)電場位移電流密度位移電流電場傳導(dǎo)電流與位移電流已知平板電容器的面積為S,相距為d,介質(zhì)的介電常數(shù)，極板間電壓為u(t)。試求位移電流

id；傳導(dǎo)電流

iC與id的關(guān)系是什么?例一個點(diǎn)電荷q繞O點(diǎn)以角速度勻速轉(zhuǎn)動，求O點(diǎn)的位移電流密度。O點(diǎn)的電位移矢量為解：例qrOaraJd海水的電導(dǎo)率為=4S/m

，r=81F/m，求f=1MHz時傳導(dǎo)電流與位移電流的比值。解：設(shè)例討論——良導(dǎo)體——良介質(zhì)——理想導(dǎo)體——絕緣體SNABKnBc,e,i五、法拉第電磁感應(yīng)定律渦旋電場電動勢的定義：Ein——感應(yīng)電場，也稱渦旋電場，非保守場總電場E=Ec+Ein

1.法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式㈠S不隨時間變化——靜止系統(tǒng)S以速度v運(yùn)動——運(yùn)動系統(tǒng)沿閉合回路產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢等于穿過這個回路所包圍的總的磁通量的時間變化率。2.法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式㈠靜止系統(tǒng)（e，E）：回路以速度

v相對磁場運(yùn)動（e，E）：3.法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式㈡——感生電動勢——動生電動勢4.運(yùn)動系統(tǒng)中的法拉第電磁感應(yīng)定律總結(jié)引起磁通變化而產(chǎn)生電場的原因有三類：稱為感生電動勢，這是變壓器工作的原理，又稱為變壓器電勢。?回路不變，磁場隨時間變化感生電動勢稱為動生電動勢，這是發(fā)電機(jī)工作原理，又稱為發(fā)電機(jī)電勢。?回路切割磁力線，磁場不變動生電動勢?磁場隨時間變化，回路切割磁力線

實(shí)驗(yàn)表明：感應(yīng)電動勢e與構(gòu)成回路的材料性質(zhì)無關(guān)（甚至可以是假想回路），只要與回路交鏈的磁通發(fā)生變化，回路中就有感應(yīng)電動勢。當(dāng)回路是導(dǎo)體時，才有感應(yīng)電流產(chǎn)生。第4節(jié)邊界條件4.1不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件1，12，1nh12H2H1H1tH2tlcE2E1E2tE1t1，12，2h12B2B1B1nB2nSD2D1D2nD1nn邊界條件總結(jié)任何分界面兩側(cè)的電場強(qiáng)度的切向分量總是連續(xù)的任何分界面兩側(cè)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量總是連續(xù)的分界面上存在面電荷時，電位移矢量的法向分量不連續(xù)分界面上存在面電流時，磁場強(qiáng)度的切向分量不連續(xù)對于時變電磁場，只要電場強(qiáng)度的切向分量滿足邊界條件，那么磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量的邊界條件也必然滿足；若磁場強(qiáng)度的切向分量滿足邊界條件，則電位移矢量的法向分量也必然滿足邊界條件。所以求解電磁場時，只需應(yīng)用電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的切向分量邊界條件即可。4.2理想介質(zhì)表面的邊界條件0，ρs

=Js

=0，nρs

=Js

=0E0H4.3理想導(dǎo)體表面的邊界條件，E2

=0B、H

與t無關(guān)，可看作附加的恒定磁場，不予考慮，nD2

=E2

=0EH?Js----------結(jié)論⑴理想導(dǎo)體外側(cè)的電場只可能有法向分量；⑵理想導(dǎo)體外側(cè)的磁場只可能有切向分量；⑶理想導(dǎo)體內(nèi)不能存在電磁場；電磁波投射到其表面時總是發(fā)生全反射而沒有功率進(jìn)入導(dǎo)體。同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑a=1mm，外導(dǎo)體半徑b=4mm，內(nèi)充均勻介質(zhì)r=1，r=2.25，=0。已知內(nèi)外導(dǎo)體之間①驗(yàn)證此電磁場滿足理想導(dǎo)體的邊界條件；②求出單位長度內(nèi)外導(dǎo)體上分布的l(a)、l(b)和面電流i(a)

、i(b)。

解：①E=aE→n滿足

Et

=0H=aH→t滿足

Hn

=0例②第5節(jié)電磁場能量一、時域的玻印廷定理J外源=0玻印廷矢量（能流矢量）EHS玻印廷定理完純介質(zhì)中，=0物理意義：外界經(jīng)閉合曲面S流入V內(nèi)