第4章 流體動力學(xué)基本定理-4,5-2004

Bernoulli方程：速度分布壓力分布動量方程：動量變化合力。

4.4動量方程、動量矩方程及其應(yīng)用

TheMomentumandMoment-of-MomentumEquiations

4.4.1動量方程

時刻t，任取一流體系統(tǒng)V(t)、邊界面S(t)，外法向量n。VSnP動量定理：系統(tǒng)內(nèi)動量的變化率等于作用在系統(tǒng)上的合外力(）。

系統(tǒng)內(nèi)流體動量變化=系統(tǒng)所受合外力（系統(tǒng)）[流出動量]CS–[流入動量]CS=[合外力]CV+CS

定常流動：（控制體）

動量方程反映了物體與流體間的相互作用，是積分形式的方程，對理想和粘性流體都適用。——CV內(nèi)流體動量的變化與單位時間（凈）流出CS的動量之和等于外界作用在CV和CS上的合力。

（控制體）

VSnP輸運公式求解步驟：（1）取坐標(biāo)系；（2）假定力:如設(shè)F為外界給流體的力，則物體受力F’=－F；（3）取控制體：速度和壓力為已知的面；物面或流面。物面或流面上而物面往往就是要求的受力面。常用假設(shè)：（1）壁面無摩擦（理想流體）:（2）忽略質(zhì)量力：f=0;（3）進出口流動均勻:V=const.（4）

列動量分量方程；（5）

基本方程的聯(lián)合使用;（6）

表壓力求解方便。4.4.2動量矩方程動量矩定理：cv內(nèi)關(guān)于某一點動量矩的變化率與單位時間內(nèi)流出cs的動量矩之和等于外界作用在cv上的力關(guān)于同一點的矩:

外力矩：

定常流動：

[流出動量矩]CS–[流入動量矩]CS=[合外力矩]CV+CS

直角坐標(biāo)系中:

Example4-5大氣中二元流沖擊平板Given：b0、V0，a，p0，不計粘性。Find：流體對平板的作用力。4.4.3動量、動量矩方程應(yīng)用

Bernoulli方程：Continuity方程：

Solution:取坐標(biāo)系及控制體：端面足夠遠；設(shè)P為流體對平板的沖擊力如圖；列動量方程(表壓力)：

得

Ｐ就是流體對平板的沖擊力，方向與圖示方向相同，指向平板。（“－”表示f

在x

軸正方向）

求沖擊力P的作用點f

的位置

e

：對坐標(biāo)原點o取矩：4.5旋渦運動基本定理

4.5.1開爾文（Kelvin）定理——旋渦強度的保持性定理流體線：由確定的流體質(zhì)點所組成的線。定理1

如果流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，則沿封閉流體線的速度環(huán)量不隨時間變化。又稱為Thomson定理。證明：若理想流體、正壓、質(zhì)量力有勢(Kelvincondition)：速度環(huán)量導(dǎo)數(shù)加速度環(huán)量可證得

Kelvin定理的幾個推論：4.5.2Lagrange定理-渦量保持性（不生不滅）定理定理2：如果流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，若某一時刻流場無旋，則以后的流動始終無旋。旋渦起因：粘性：均勻流體經(jīng)過物體邊界層時運動變?yōu)橛行?；非正壓流場：大氣和海洋中的密度分層形成旋渦；非有勢力場：地球哥氏力使氣流生成旋渦（旋風(fēng)）；流場的間斷（非連續(xù)）：曲面激波后形成有旋流動。4.5.3Helmholtz定理-渦線和渦管保持定理定理3如果流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，則組成渦線的流體質(zhì)點永遠組成此渦線。定理4如果流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，則組成渦管的流體質(zhì)點始終組成此渦管，且渦管的強度不隨時間而變。綜上所述，Kelvin、Lagrange及Helmholtz定理全面地描述了理想正壓流體在有勢場中運動時渦量演化的規(guī)律：若流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，無旋運動永遠無旋，有旋運動永遠有旋；渦線、渦面、渦管及渦管強度具有保持性。若不滿足Kelvin任一條件，則運動過程中會產(chǎn)生新的旋渦，無旋變成有旋；不具備保持性。④kelvin_helm_rollupbullet_shadowgraph:ShockWave④vortex_bearbae_146wingboundvortextrailingvortextrailingvortex

SirWilliamThompson(LordKelvin),borninBelfast,Contributedsignificantlytothefieldofhydrodynamicsasisevidencedbyhis661papersand56patents.

When11yearsold,heenteredthetheUniversityofGlasgow,leavingin1841toenterPerterhouse,CambridgeUniversity,tofurtherhiseducation.TomeetBiotinParis.

In1846hebecameProfessorofNaturalPhilosophyatGlasgow,apostheheldfor53years.

Contributions:Longwaves,heatconduction,thermodynamics,submarinecables.

Philosophy:“Therecannotbeagreatermistakethanthatoflookingsuperciliouslyuponpracticalapplicationsofscience”.

Buried:inWestminsterAbbey.LordKELVIN

(1824–1907):英國及歐盟國家4.5.4Biot—Savart定理—渦線的誘導(dǎo)速度電流誘導(dǎo)磁場強度—旋渦誘導(dǎo)流體速度。

水電比擬:

物理現(xiàn)象不同，但滿足相同的數(shù)學(xué)方程，其數(shù)學(xué)解相同。

電磁場流場方程磁場強度H～v流體速度

磁場勢V～φ速度勢

電流面密度δ～Ω渦量電流強度i～Γ速度環(huán)量Biot-Savart定理：

電流誘導(dǎo)磁場強度旋渦誘導(dǎo)流體速度MLiΓ直渦線L在M點處誘導(dǎo)速度的大小:誘導(dǎo)速度方向指向紙里。ΓLMR⑦半無限長直渦線(a

2=0，