第一章 滲流理論基礎(chǔ)3專

§1—6滲流的連續(xù)性方程在滲流區(qū)內(nèi)以P點(diǎn)取一無限小的平行六面體，其邊長分別為Δx、Δy、Δz，并且和坐標(biāo)軸平行，設(shè)P點(diǎn)沿坐標(biāo)軸的滲透速度分量為vx、vy、vz，液體密度為ρ，則P點(diǎn)處，單位時間內(nèi)通過垂直于坐標(biāo)軸方向單位面積的水流質(zhì)量分別為ρvx、ρvy、ρvz。那么，通過abcd面中點(diǎn)的單位時間單位面積的水流質(zhì)量為：用Taylor級數(shù)展開：略去二階導(dǎo)數(shù)以上的高次項，得Δt時間內(nèi)由abcd面流入單元體的質(zhì)量為：同理，通過a′b′c′d′面流出單元體的質(zhì)量為：沿x軸方向流入和流出單元體的質(zhì)量差為：同理，可得到沿y軸和z軸方向流入和流出這個單元體的液體質(zhì)量差，分別為：在Δt時間內(nèi)，流入與流出這個單元體的總質(zhì)量差為：在均衡單元體中，孔隙體積為nΔxΔyΔz，其內(nèi)液體質(zhì)量為ρnΔxΔyΔz，Δt時間內(nèi)，單元體內(nèi)液體質(zhì)量的變化為：根據(jù)質(zhì)量守恒定律，上二式應(yīng)相等，因此，消去Δt得此式為滲流的連續(xù)性方程（研究地下水運(yùn)動的基本方程）。§1—7承壓水運(yùn)動的基本微分方程假設(shè)條件：(1)水流服從Darcy定律；(2)K不隨ρ=ρ(p)的變化而變化；(3)μs和K也不受n變化的影響；(4)含水層側(cè)向無壓縮，即Δx、Δy為常量，只有垂直方向Δz的壓縮。在連續(xù)性方程的右端項中，有三個變量，隨壓力p的變化而變化。三個變量隨時間的變化轉(zhuǎn)化成壓力隨時間的變化。液體壓縮后，質(zhì)量不變。即密度ρ和體積V變化，二者乘積不變。d(ρV)=ρdV+Vdρ=0得：由水的壓縮系數(shù)：得：所以，dρ=ρβdp前面給出了含水層厚度Δz和孔隙度n隨壓力p的變化關(guān)系：d(Δz)=Δzαdp；dn=(1-n)αdp式中：α為多孔介質(zhì)壓縮系數(shù)。將三式代入連續(xù)方程右端項得：于是連續(xù)性方程變?yōu)椋簩⒒癁椋阂驗?，故有：p=γ（H-z）=ρg（H-z）或：將dρ=ρβdp代入，得：即，因為水的壓縮性很小，βp忽略不計，代入前式，得第二項ρ非常小，忽略不計，于是上式變?yōu)椋焊鶕?jù)Darcy定律：1.在各向同性介質(zhì)中，有：代入上式，得因為Ss=ρg（α+nβ）所以上式變?yōu)椋簝蛇呄卧w體積ΔxΔyΔz，得：此式為非均質(zhì)各向同性介質(zhì)承壓水流微分方程。2.對于各向異性介質(zhì)：非均質(zhì)各向異性介質(zhì)承壓水流微分方程為：3.對于均質(zhì)各各向同性介質(zhì)，K為常數(shù)，承壓水流微分方程為：4.地下水流為二維流時，非均質(zhì)各向同性介質(zhì)承壓水流微分方程為：兩邊乘含水層厚度M，得或5.柱坐標(biāo)：如果能用柱坐標(biāo)表示，則x=rcosθ、y=rsinθ，代入可化成式6.有源匯項，用W表示。源：在垂向上有水流入含水層稱源。W為正。匯：在垂向上有水流出含水層稱匯。W為負(fù)。有源匯項時，只需在上述方程中左邊加W即可。如各向同性介質(zhì)：7.穩(wěn)定流：水位H不隨時間變化，即，上述微分方程的右端項等于零，即非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：均質(zhì)各向同性：二維流，去掉上式中左邊第三項。小結(jié)：承壓水三維非穩(wěn)定流非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：均質(zhì)各向同性：承壓水二維非穩(wěn)定流非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：均質(zhì)各向同性：承壓水三維穩(wěn)定流非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：均質(zhì)各向同性：承壓水二維穩(wěn)定流非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：均質(zhì)各向同性：柱坐標(biāo)表示的三維流方程：井流方程：

非穩(wěn)定流：穩(wěn)定流：思考題§1—8越流含水層中地下水非穩(wěn)定運(yùn)動的基本微分方程

越流含水層（半承壓含水層）：當(dāng)承壓含水層的上、下巖層（或一層）為弱透水層時，承壓含水層可通過弱透水層與上、下含水層發(fā)生水力聯(lián)系，該承壓含水層為越流含水層。

越流：當(dāng)承壓含水層與相鄰含水層之間存在水頭差時，地下水便會從高水頭含水層通過弱透水層流向低水頭含水層，這種現(xiàn)象稱越流。

假設(shè)條件：(1)水流服從Darcy定律；(2)K不隨ρ=ρ(p)的變化而變化；

(3)Ss和K也不受n變化的影響；(4)含水層側(cè)向無壓縮，即Δx、Δy為常量，只有垂直方向Δz的壓縮。(5)當(dāng)弱透水層的滲透系數(shù)K1比主含水層的滲透系數(shù)K小很多時，近似認(rèn)為水基本上是垂直地通過弱透水層，折射90o后在主含水層中基本上是水平流動的。(如K1與K相差較小時，用等效滲透系數(shù)，非越流)。(6)弱透水層和主含水層釋放的水及相鄰含水層的越流量相比，弱透水層本身釋放的水量小到可以忽略不計。越流含水層的微分方程：如圖，主含水層的厚度為M，水頭為H；上、下各有一厚度為m1和m2、滲透系數(shù)為K1和K2的弱透水層。上覆潛水含水層的水位為H1，下伏承壓含水層的水位為H2。在含水層全厚度上取一單元體。水平長，寬為Δx，Δy。單元體的中點(diǎn)為P，在P點(diǎn)沿x方向單位時間，通過P點(diǎn)，面積ΔyM的流量為Qx，沿x軸流量的變化率為。則沿x軸流入單元體的水量為：沿x軸流出單元體的水量為：沿x軸單位時間流入流出單元體的水量差為：同理，可得沿y軸單位時間流入流出單元體的水量差為：在Z軸方向：由下部承壓含水層單位時間流入越流含水層單元體的水量為：Qz2=v2Δx·Δy向上部含水層單位時間流出越流含水層單元體的水量為：Qz1=v1Δx·Δy單位時間內(nèi)沿Z軸方向流入和流出單元體的水量為：(v2-v1)Δx·Δy

由質(zhì)量守恒定律有：因為：代入上式，得消去ΔxΔy，得：此式為非均質(zhì)各向同性越流含水層中地下水非穩(wěn)定運(yùn)動的基本微分方程。對于非均質(zhì)各向異性介質(zhì)，有：

對于均質(zhì)各向同性介質(zhì)，有：有源、匯項的情況下：非均質(zhì)各向同性非均質(zhì)各向異性均質(zhì)各向同性

上式中的K/m（用σ?表示）為越流系數(shù)。越流系數(shù)：當(dāng)主含水層和供給越流的含水層間水頭差為一個長度單位時，通過主含水層和弱透水層間單位面積界面上的水流量。

稱為越流因素，量綱為[L]。

§1—9研究潛水運(yùn)動的基本微分方程一、Dupuit假設(shè)潛水面是彎曲的，等水頭面也是彎曲的，潛水流的運(yùn)動不是水平的。實際上潛水面的坡角很小。

Dupuit假設(shè)：假設(shè)潛水面比較平緩，等水頭面鉛直，水流基本上水平，可忽略速度的垂直分量。同一剖面各點(diǎn)的滲透速度相等。

Dupuit假設(shè)是忽略了滲流速度的垂直分量vz，但是，有些地段垂向分速度較大，不能采用Dupuit假設(shè)。也就是說，垂向分速度不能忽略。

此外，還有降深較大的抽水井附近，二、Boussinesq方程

在Dupuit假設(shè)和不考慮水的壓縮性的條件下?？紤]二維問題（含水層不水平），在滲流場內(nèi)取一土體。如圖。水平寬為Δx，Δy。

單元體的中點(diǎn)為P，在P點(diǎn)沿x方向單位時間，通過面積Δyh的流量為Qx，沿x軸流量的變化率為。則沿x軸流入單元體的水量為：沿x軸流出單元體的水量為：沿x軸單位時間流入流出單元體的水量差為：同理，可得沿y軸單位時間流入流出單元體的水量差為：單位時間內(nèi)，垂直方向的補(bǔ)給量為：WΔxΔyΔt時間流入流出單元體的水量差為：土體內(nèi)的水量變化引起潛水面的升降。假設(shè)潛水面的變化速率為：，則Δt時間內(nèi)，土體內(nèi)水的增量為：

據(jù)質(zhì)量守恒原理，兩個增量應(yīng)相等。即將：代入上式，得消去ΔxΔyΔt，得：此式為非均質(zhì)各向同性潛水二維運(yùn)動的微分方程。非均質(zhì)各向異性：均質(zhì)各向同性：隔水底板水平時非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：均質(zhì)各向同性：隔水底板水平時，潛水一維流：非均質(zhì)各向同性：均質(zhì)各向同性：從微分方程中可知，潛水運(yùn)動的微分方程是非線性的。

對于三維流，這是考慮垂向分速度，其微分方程同承壓水流微分方程。非均質(zhì)各向同性：

非均質(zhì)各向異性：

對于穩(wěn)定流：二維流：非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：三維流：非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：§1—10雙重介質(zhì)滲流學(xué)說一、基本假定（“孔隙—裂隙二重性”假定）（1）具有原生孔隙的巖層中廣泛發(fā)育有隨機(jī)分布的裂隙，二者都充滿著整個研究區(qū)，形成兩個重疊的連續(xù)系統(tǒng)。即孔隙和裂隙的分布彼此連續(xù)。（2）孔隙以貯水為主，裂隙以導(dǎo)水為主，水自孔隙經(jīng)裂隙流向別處，其總的滲透性決定于裂隙的滲透性，水在裂隙中的流動服從Darcy定律。（3）孔隙和裂隙的初始水頭相等。他們之間交換的水量與其水頭差成正比，即（4）含水層骨架可以壓縮，但其固體顆粒的壓縮性忽略不計，看成剛性的。二、微分方程的建立根據(jù)上述假定和連續(xù)性原理，建立裂隙含水層的微分方程。根據(jù)第二個假定，這個單元體中水通過裂隙流入、流出，并服從Darcy定律。在時段內(nèi)沿x軸方向流入單元體與流出單元體的水量差（凈流入單元體的水量）為同理。在y軸方向在z軸方向裂隙中流入水量因此，在時間內(nèi)單元體中總的水量變化（凈流入量）為這個時間內(nèi)，單元體內(nèi)貯存量的變化量為在單元體內(nèi)，對裂隙有

對孔隙有由于孔隙中的水力坡度很小，可以認(rèn)為故有式中：稱為承壓水遷移系數(shù)。這是關(guān)于（H-Hf）的一階線性微分方程，按已知公式，求其通解為：利用初始條件代人上式，可得C=0。由此求其解為只包括裂隙水頭（Hf）的方程：上式是描述承壓雙重介質(zhì)裂隙水流的基本微分方程。在二維情況下可簡化為物理意義為單位時間內(nèi)單位體積含水層（二維情況下為單位面積的柱體）中從孔隙流入裂隙的水量。它是一個和時間有關(guān)的量。延遲彈性釋水項中包含一個新的參數(shù)—承壓水遷移系數(shù)。根據(jù)定義，其中比例常數(shù)C是反映孔隙和裂隙之間水量交換特征的參數(shù)，與孔隙的滲透系數(shù)K及多孔巖塊的幾何特征有關(guān)。C=K/L值取決于K,L,Ss等，它是反映孔隙、裂隙發(fā)育情況及其連通程度的特征量。對無壓含水層，二維流情況下為式中：稱為遷移系數(shù)；h為含水層厚度，方程右端第二項的物理含義為延遲彈性釋水量與延遲重力排水量之和。§1—11定解條件前面我們給出了，不同類型地下水的微分方程。分類有：微分方程是描述地下水運(yùn)動的方程，不同類型的地下水有相應(yīng)的微分方程。也就是說，如果只有微分方程，每一類微分方程描述的是這一類地下水運(yùn)動的所有情況。如：承壓水一維穩(wěn)定流?；蛘咭虼?，僅用微分方程是不能夠確切的描述某一地區(qū)的地下水運(yùn)動的。必須同時考慮其它條件的限制。如，補(bǔ)給、徑流、排泄條件，以及邊界性質(zhì)、邊界形狀等。因此，除微分方程外，我們還應(yīng)給出下列條件：

(1)方程中有關(guān)參數(shù)的值。主要有：滲透系數(shù)、導(dǎo)水系數(shù)、給水度、貯水率、貯水系數(shù)、越流系數(shù)，還有源、匯項等。(2)滲流區(qū)的范圍和形狀。(3)邊界條件：滲流區(qū)邊界所處的條件。(三維流是一個封閉的曲面；二維流是一條封閉的曲線)(4)初始條件：在某一選定的初始時刻(t=0)滲流區(qū)內(nèi)水頭H的分布情況。

定解條件：就是指邊界條件和初始條件。非穩(wěn)定流既有邊界條件又有初始條件；穩(wěn)定流只有邊界條件。

數(shù)學(xué)模型：一個或一組數(shù)學(xué)方程與其定解條件加在一起，構(gòu)成一個描述某實際問題的數(shù)學(xué)模型。一、邊界條件邊界條件分為三類：1.第一類邊界(也叫給定水頭邊界)條件：在某一部分邊界上，各點(diǎn)在每一時刻的水頭都是已知的。用下列式子表示：三維流：二維流：式中：H—表示S1或Γ1某點(diǎn)(x,y,z)或(x,y)在t時刻的水頭；φ1、φ2為已知函數(shù)。可作為第一類邊界邊界的有：(1)與含水層水力聯(lián)系好的河流或湖泊；(2)泉和抽水井；（3）含水層無限延伸時，影響范圍以外的邊界。注意：區(qū)別給定水頭邊界和定水頭邊界。2.第二類邊界(也叫給定流量邊界)條件：某一部分邊界單位面積上流入（或流出）的流量是已知的。用下列式子表示：三維流：二維流：式中：n—邊界外法線方向；q1、q2為已知函數(shù)。常見的二類邊界有：①零流量邊界：，有隔水邊界、分水嶺和流線。②抽水井和注水井：③泉水。3.第三類邊界(混合邊界)條件：某邊界上水位和法向水力坡度的線性組合是已知的。即如圖，當(dāng)含水層的邊界上有一弱透水層與其它水體或含水層相隔時，常為三類邊界。越過邊界單位面積的流量為單位面積越流量為：

二者相等，并化簡得4.潛水面邊界在三維流中，潛水面作為邊界處理。①穩(wěn)定流浸潤曲線上壓強(qiáng)等于大氣壓，任意一點(diǎn)的水頭等于該點(diǎn)的縱坐標(biāo)。為一類邊界。②非穩(wěn)定流二類邊界：非穩(wěn)定流中，地下水位是隨時間變化的，如圖。當(dāng)浸潤曲線下降時，從浸潤曲線邊界流入滲流區(qū)的單位面積流量q為：二、初始條件初始條件：指某一選定時刻滲流區(qū)內(nèi)各點(diǎn)的水頭值。用下列式子表示：三維流：

二維流：§1—11描述地下水運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型及其解法一、地下水流問題的數(shù)學(xué)模型1.數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型分隨機(jī)模型和確定性模型。

隨機(jī)模型：數(shù)學(xué)關(guān)系式中含有一個或多個隨機(jī)變量的模型。確定性模型：數(shù)學(xué)模型中各變量之間有嚴(yán)格確定的關(guān)系。本書討論的模型為確定性模型。描述實際地下水流的確定性模型的必備條件：①有一個或一組描述地下水運(yùn)動規(guī)律的偏微分方程；②相應(yīng)的定解條件；③識別模型（或校正模型）。2.建立數(shù)學(xué)模型的步驟①查明地質(zhì)、水文地質(zhì)條件；②確定研究區(qū)的范圍和形狀；③對研究區(qū)的水文地質(zhì)條件進(jìn)行概化；④給出微分方程和定解條件，以及模型中需要的參數(shù)；⑤模型識別。3.數(shù)學(xué)模型必須滿足的三個條件：①解的存在性；②解的唯一性；③解的穩(wěn)定性，指當(dāng)參數(shù)和定解條件發(fā)生微小變化時，所引起的解的變化也是微小的。4.例題例1，研究區(qū)地質(zhì)情況如圖，W(x,y,t)代表單位時間、單位面積上的垂向補(bǔ)給量，P(x,y,t)為計劃開采區(qū)單位面積上的抽水流量，試寫出它的數(shù)學(xué)模型。①查明地質(zhì)、水文地質(zhì)條件；②確定研究區(qū)的范圍和形狀；③對研究區(qū)的水文地質(zhì)條件進(jìn)行概化；④給出微分方程和定解條件；數(shù)學(xué)模型為：例2，其它條件同例1，在河底有一弱透水層，河水與地下水無直接的水力聯(lián)系，只是通過弱透水層越流補(bǔ)給地下水。其數(shù)學(xué)模型為：另外，此時的河流可作為二類邊界處理（略）。

5.正問題和逆問題正問題：在數(shù)學(xué)模擬中，給定含水層的水文地質(zhì)參數(shù)和定解條件，求解水頭H，這類問題叫正問題或水頭預(yù)報問題。逆問題：根據(jù)動態(tài)觀測資料或抽水試驗資料反過來確定水文地質(zhì)參數(shù)，為逆問題或反求參數(shù)問題。二、地下水流問題的解法三種解法：解析法、數(shù)值法、模擬法。本章總結(jié)一、滲流的基本概念1多孔介質(zhì)，實際應(yīng)用中能夠區(qū)分：孔隙介質(zhì)、裂隙介質(zhì)、巖溶（Karst）介質(zhì)。地下水的流動類型可歸納為兩類：滲流和流動。2地下水和多孔介質(zhì)的性質(zhì)（1）地下水的狀態(tài)方程（2）多孔介質(zhì)的某些性質(zhì)①多孔介質(zhì)的孔隙性：孔隙度、有效孔隙、有效孔隙度。

②多孔介質(zhì)的壓縮性。3貯水率和貯水系數(shù)

貯水率、貯水系數(shù)、二者關(guān)系、說明(4點(diǎn))4滲流（1）滲流

假想水流應(yīng)有以下特點(diǎn)(4點(diǎn))，滲流區(qū)或滲流場（2）典型單元體5滲流速度過水?dāng)嗝?、滲流速度、滲流速度與實際流速的關(guān)系。6地下水的水頭和水頭坡度

地下水的水頭和水位、等水頭面、等水頭線、水力坡度。7地下水運(yùn)動特征的分類穩(wěn)定流、非穩(wěn)定流、一維運(yùn)動、二維運(yùn)動和三維運(yùn)動。8地下水流態(tài)的判斷層流和紊流。二、滲流基本定律1