第三章矢量分析和場論2011-03-15

第二章矢量分析和場論矢量分析電源和電場矢量分析矢量和標(biāo)量矢量代數(shù)標(biāo)量場的梯度矢量場的散度拉普拉斯算子矢量恒等式矢量和標(biāo)量1.標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中：為矢量的模，表示該矢量的大小。為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、電場等如：溫度T、長度L等例：在直角坐標(biāo)系中，

x方向的大小為6的矢量如何表示？圖示法：力的圖示法：矢量代數(shù)1.加法:

矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。a.滿足交換律：b.滿足結(jié)合律：三個方向的單位矢量用表示。根據(jù)矢量加法運(yùn)算：所以：在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:其中：矢量：模的計(jì)算：單位矢量：方向角與方向余弦：在直角坐標(biāo)系中三個矢量加法運(yùn)算：

2.減法：換成加法運(yùn)算逆矢量：

和的模相等，方向相反，互為逆矢量。在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：推論：任意多個矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。3.乘法：（1）標(biāo)量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a.標(biāo)量積（點(diǎn)積）：兩矢量的點(diǎn)積含義：

一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。在直角坐標(biāo)系中，已知三個坐標(biāo)軸是相互正交的，即有兩矢量點(diǎn)積：結(jié)論:兩矢量點(diǎn)積等于對應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當(dāng)兩個非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個矢量必正交。推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合律：推論4：當(dāng)兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義：兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo（3）三重積：三個矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標(biāo)量與矢量相乘。標(biāo)量，標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。a.標(biāo)量三重積法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。定義：含義：

標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積。注意：先后輪換次序。推論：三個非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)系中：b.矢量三重積：例2：求：中的標(biāo)量a、b、c。解：則：設(shè)例3：

已知求：確定垂直于、所在平面的單位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面。已知A點(diǎn)和B點(diǎn)對于原點(diǎn)的位置矢量為和，求：通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程。例4：

其中：k

為任意實(shí)數(shù)。xyzCAB解：在通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程上，任取一點(diǎn)C，對于原點(diǎn)的位置矢量為，則標(biāo)量場的梯度1.標(biāo)量場的等值面可以看出：標(biāo)量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不相交的。以溫度場為例：熱源等溫面b.梯度定義：標(biāo)量場中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)，其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值面的法線方向。數(shù)學(xué)表達(dá)式：2.標(biāo)量場的梯度a.方向?qū)?shù)：空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。為最大的方向?qū)?shù)。標(biāo)量場的場函數(shù)為計(jì)算：在直角坐標(biāo)系中：所以：梯度也可表示：在柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在任意正交曲線坐標(biāo)系中：在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式：在直角坐標(biāo)系中：矢量場的散度1.矢線（場線）：

在矢量場中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線稱為矢線。2.通量：定義：如果在該矢量場中取一曲面S，通過該曲面的矢線量稱為通量。表達(dá)式：若曲面為閉合曲面：+-討論：a.

如果閉合曲面上的總通量

說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。b.

如果閉合曲面上的總通量

說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝。c.

如果閉合曲面上的總通量說明穿入的通量等于穿出的通量。3.散度：a.定義：矢量場中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。b.表達(dá)式：c.散度的計(jì)算：

在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成。矢量場表示為：在x方向上：計(jì)算穿過和面的通量為因?yàn)椋簞t：在x

方向上的總通量：在z

方向上,穿過和面的總通量：整個封閉曲面的總通量：同理：在y方向上,穿過和面的總通量：該閉合曲面所包圍的體積：通常散度表示為：4.散度定理：物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。柱坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：正交曲線坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：常用坐標(biāo)系中，散度的計(jì)算公式在圓柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在廣義正交曲線坐標(biāo)系中：

拉普拉斯算子在直角坐標(biāo)系中：重要的場論公式1.兩個零恒等式任何標(biāo)量場梯度的旋度恒為零。任何矢量場的旋度的散度恒為零。

常用的矢量恒等式電源和電場電源和電場基本關(guān)系單極場偶極場基本數(shù)學(xué)關(guān)系在生物電學(xué)中探討有關(guān)電源及其產(chǎn)生的電位和電流場間的基本數(shù)學(xué)關(guān)系，是極有意義的。在討論處于導(dǎo)電介質(zhì)中的電源時首先要考慮這些關(guān)系。一般我們已熟悉在低頻電路中采用無損耗的導(dǎo)線把離散的(集中參數(shù))元件連接起來。不過，在實(shí)際的生物體中是充滿著電位和電流連續(xù)體，而電位和電流是位置的連續(xù)函數(shù)。電位，電場，電流兩點(diǎn)之間的標(biāo)量電位差可以用一個理想的電壓表測定。場強(qiáng)E可以由標(biāo)量電位Φ的負(fù)梯度求得按歐姆定律，電流密度J與場強(qiáng)E

之間的關(guān)系J

=

σE式中σ為電流流過導(dǎo)電介質(zhì)的電導(dǎo)率。這里假設(shè)σ為一標(biāo)量，則由該式表明J

與E

同一方向。電位，電場，電流設(shè)電源密度為Iv(x，y，z)散度作為由每單位體積流出量的一種度量等價(jià)于電源密度。一個任意的區(qū)域，有這幾種可能：其一是根本沒有電流，這時方程的兩邊均為零；其二是有電流流動，但是在該區(qū)域的流出量與流入量相等，使得方程兩邊仍為零；第三種情況是某些電流起源于該區(qū)域內(nèi)并有凈流出量，這時方程的兩邊均為正值；第四種情況是有凈電流流入該區(qū)域，則式兩邊為負(fù)值。在實(shí)際研究生物標(biāo)本時，后兩者是經(jīng)常遇到的情況。這是由于人們把細(xì)胞內(nèi)電流(細(xì)胞之中的電流)和細(xì)胞外電流分開研究，因此當(dāng)電流穿過細(xì)胞膜時，看上去似乎電流出現(xiàn)或消失了。泊松方程導(dǎo)出直接將電位與產(chǎn)生它的電流源和阱間聯(lián)系起來的表達(dá)式。對于一個電導(dǎo)率均勻，但包含源密度Iv的區(qū)域，得出對于Φ的泊松方程：泊松方程泊松方程的一個重要特殊情況是各處源密度均為零。對這種無源的均一導(dǎo)電區(qū)域，電流守恒要求泊松方程中電位的解式中r為源或阱Iv，到觀察位點(diǎn)的距離拉普拉斯方程單極場單極是單個極，在電流場的意義下，也就是導(dǎo)電介質(zhì)中的單一電流源或阱。在生物電學(xué)中只涉及單極的問題十分罕見，因?yàn)樗械纳镫娫粗辽侔嗽春挖褰M合。盡管如此，但由于單極是較復(fù)雜又較實(shí)際的構(gòu)型的組成基元，故研究單極的電位與電流場間的關(guān)系還是相當(dāng)重要的。況且對于人造源，在有限區(qū)域內(nèi)可得到真正的單極場。單極場設(shè)想某點(diǎn)流源(單極)置于電導(dǎo)率為σ且無限大的均一導(dǎo)電介質(zhì)中。設(shè)其位置如圖所示為(x，y，z)，由于均一性，電流取徑向，穿過任意半徑球面的總電流必定為I0；因此電流密度J就等于I0除以半徑為r的球面積，即偶極場“偶極”是由相互靠得很緊的電流源和阱組合成的。很多生物電源的最簡單表達(dá)形式就是偶極子。例如電流可從細(xì)胞膜的某一點(diǎn)流出，而在靠近的另一點(diǎn)流回。因此我們將從兩方面對偶極子的電性質(zhì)進(jìn)行研究，即既作為技術(shù)上的例子說明單極基元是怎樣組成較復(fù)雜的源的；又作為對某種與生物醫(yī)學(xué)問題直接有用的特殊源。偶極場假如我們在坐標(biāo)的原點(diǎn)放置強(qiáng)度為I0的點(diǎn)源及強(qiáng)度為－I0的點(diǎn)源。