第十三章氣體動理論

第十三章氣體動理論安徽大學(xué)出版社ANHUIUNIVERSITY大學(xué)物理學(xué)

13－1氣體分子熱運(yùn)動與統(tǒng)計(jì)規(guī)律

13－2理想氣體壓強(qiáng)公式

13－3麥克斯韋速率分布律第十三章氣體動理論

*13－4麥克斯韋-玻耳茲曼分布律

13－5溫度的微觀解釋理想氣體定律的推證

13－6能量按自由度均分定理理想氣體的內(nèi)能

*13－7實(shí)際氣體的范德瓦爾斯方程

13－8氣體分子的平均自由程和平均碰撞頻率

*13－9氣體內(nèi)的遷移現(xiàn)象

13－10熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計(jì)意義和熵的概念

13－1

氣體分子熱運(yùn)動與統(tǒng)計(jì)規(guī)律

一、氣體分子熱運(yùn)動

分子間存在相互作用力.它屬于電磁作用的范疇.宏觀上任何大小的物體都包含大量的微觀粒子.

例如，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，1cm3的空氣中就約有個分子.斥力引力如圖，當(dāng)時，分子力主要表現(xiàn)為斥力；當(dāng)時，分子力主要表現(xiàn)為引力.(10nm)

當(dāng)時，分子間作用力可以忽略不計(jì).(1nm)組成宏觀物體的大量分子都在做無規(guī)則的永不停息的運(yùn)動，分子的這種運(yùn)動叫做分子熱運(yùn)動.如圖，布朗運(yùn)動是個典型的例子.統(tǒng)計(jì)規(guī)律——在大量的偶然的、無序的分子熱運(yùn)動中，包含的一種規(guī)律性，這種規(guī)律性來自大量偶然事件的集合.熱現(xiàn)象是大量分子熱運(yùn)動的集體表現(xiàn)，遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律.

二、氣體分子熱運(yùn)動遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律

三、統(tǒng)計(jì)規(guī)律的特征...................................

.........................

..........................................小球在伽爾頓板中的分布統(tǒng)計(jì)規(guī)律有以下兩個重要特征

（1）統(tǒng)計(jì)規(guī)律是大量偶然事件整體所遵從的規(guī)律.

（2）統(tǒng)計(jì)規(guī)律和漲落現(xiàn)象是分不開的.漲落：系統(tǒng)處于熱力學(xué)平衡態(tài)時，作為統(tǒng)計(jì)平均值的宏觀物理量如能量、壓強(qiáng)、分子數(shù)密度等在其真值附近有微小變動的現(xiàn)象

13－2理想氣體壓強(qiáng)公式

一、理想氣體的分子模型

1.分子本身的大小比起它們之間的平均距離可忽略不計(jì)，分子可以看做質(zhì)點(diǎn).

2.除碰撞外，分子力可忽略.

3.分子間的碰撞是完全彈性的.

二、平衡態(tài)氣體的統(tǒng)計(jì)假設(shè)

（1）分子數(shù)密度處處相等(均勻分布).

（2）分子沿各個方向運(yùn)動的概率相同.

a.任一時刻向各方向運(yùn)動的分子數(shù)相同.

b.分子速度在各個方向分量的各種平均值相等.自由質(zhì)點(diǎn)的完全彈性碰撞設(shè)氣體分子總數(shù)為N,根據(jù)統(tǒng)計(jì)平均值的定義，有對任意一個分子，有三、理想氣體壓強(qiáng)公式推導(dǎo)壓強(qiáng)公式的出發(fā)點(diǎn)氣體壓強(qiáng)是大量分子不斷碰撞容器壁的結(jié)果.考慮到分子數(shù)目巨大，碰撞非常頻繁，可以認(rèn)為器壁受到持續(xù)力的作用.設(shè)任意形狀容器體積為V，其中貯有分子數(shù)為N

，分子質(zhì)量為μ，并處于平衡態(tài)的一定量理想氣體.dAxvividt設(shè)想把N個分子分成若干組，每組內(nèi)分子的速度大小和方向都相同，則總的分子數(shù)密度為：考慮器壁上任意面積元dA所受的壓強(qiáng)，單個分子遵循力學(xué)規(guī)律，其速度為：碰撞前后，x方向動量增量為：由牛頓第三定律知，分子施于器壁的沖量為上圖中柱體內(nèi)速度為的分子數(shù)目為速度為的分子的總沖量所有分子dt

時間內(nèi)施予dA的總沖量為：向各方向運(yùn)動的分子數(shù)目相同，故取一半所有與dA相碰撞的分子施予dA的合力為因此,氣體對容器壁的壓強(qiáng)為由于代入可得：上式還可寫成：其中分子平均平動動能理想氣體壓強(qiáng)公式宏觀可測量微觀量壓強(qiáng)是大量分子對時間、對面積的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果.壓強(qiáng)與分子密度（1/V）和平均平動動能（T）成正比，可與V、T兩個宏觀量聯(lián)系起來密度

13－3麥克斯韋速率分布律

一、速率分布函數(shù)設(shè)處于平衡態(tài)的理想氣體系統(tǒng)總分子數(shù)為

N.速率分布函數(shù)dN

——速率在v

~v+v

區(qū)間內(nèi)分子數(shù).——分子速率處在v

~v+v

區(qū)間的概率.物理意義

速率在附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.歸一化條件兩個速率1.平均速率2.方均根速率

二、麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布函數(shù)平衡態(tài)下理想氣體分子玻耳茲曼常量v2v1f(v)

vvv+dvvp曲線下總面積等于1.（歸一化條件）最概然速率vp利用麥克斯韋速率分布函數(shù)和積分公式，可得請牢記！三種速率的相對大小關(guān)系討論分子速率分布時用最概然速率；討論分子平均平動動能時用方均根速率；討論分子碰撞頻率和平均自由程時用平均速率.

例1某種氣體分子在溫度

T1

=300K時方均根速率等于溫度T2時的平均速率,求T2.

解:

常溫下，看為理想氣體根據(jù)已知條件，得解得

例2設(shè)導(dǎo)體中自由電子數(shù)為N,電子速率最大值為費(fèi)米速率

，且已知電子速率在v—v+dv

區(qū)間概率為：(1)畫出速率分布函數(shù)曲線.(2)確定常數(shù)A.(3)

求

解:

(1)Ovf(v)

(2)由歸一化條件可知(3)顯然由圖可知

三、麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

1934年我國物理學(xué)家

葛正權(quán)用實(shí)驗(yàn)測定了分子的速率分布

1、空心圓筒R不動，粒子通過S進(jìn)入圓筒，并打在R內(nèi)壁彎曲玻璃片P處。2、R以一定的速率旋轉(zhuǎn)，粒子通過S，打在彎曲玻璃片的P’處。3、設(shè)P與P’之間的弧長為l，圓筒直徑為D，則速率為v的粒子從S到達(dá)玻璃片所需時間為t=D/v4、圓筒在此時間間隔轉(zhuǎn)過的弧度為5、由上兩式，可得速率6、較長一段時間后，取下玻璃片，并測l處粒子厚度。從粒子厚度與l的關(guān)系中能得到粒子數(shù)按速率的分布規(guī)律。

13－5溫度的微觀解釋理想氣體定律的推證

一、溫度的微觀解釋從理想氣體分子的方均根速率出發(fā),可得：理想氣體的分子平均平動動能只與氣體溫度有關(guān)，并與熱力學(xué)溫度T成正比.1.溫度是分子平均平動動能的量度（反映熱運(yùn)動的劇烈程度）物理意義

2.溫度是大量分子的集體表現(xiàn)，個別分子無意義.

二、理想氣體定律的推證

例1

電子伏特（eV）是近代物理中常用的能量單位，求在多高溫度下，理想氣體的分子平均平動動能等于1eV？

解:已知由得

例2

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，任何氣體在1m3體積中含有的分子數(shù).解:標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，Loschmidt數(shù)

13－6能量按自由度均分定理理想氣體的內(nèi)能

一、自由度

定義：確定一個物體在空間的位置所必需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目.剛性單原子分子：i=3氦、氬等剛性雙原子分子：氫、氧、氮等i=5剛性多原子分子：水蒸汽、甲烷等i=6球坐標(biāo)系可以較為方便的說明，剛性雙原子分子的轉(zhuǎn)動自由度為2。Theta和Phi是兩個獨(dú)立的坐標(biāo)，Theta和Phi一旦確定，M方位唯一確定（M的集合為通過原點(diǎn)的一條直線）。對多原子分子，多一個以兩原子連線為軸線，轉(zhuǎn)動的自由度

二、能量均分定理單原子分子

303雙原子分子325多原子分子336剛性分子能量自由度分子自由度平動轉(zhuǎn)動i理想氣體分子平均平動動能

在溫度為T

的平衡態(tài)下,物質(zhì)分子的每一個自由度都具有相同的平均動能,等于.單個分子的平均總動能理想氣體分子模型

三、理想氣體的內(nèi)能分子間無相互作用無相互作用勢能剛性分子

無振動自由度剛性分子理想氣體內(nèi)能：所有分子平均動能之和1molm/Mmol理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù).

四、氣體的摩爾熱容根據(jù)理想氣體定體摩爾熱容的定義，結(jié)合熱力學(xué)第一定律及理想氣體內(nèi)能公式，有：再由邁耶公式，有：比熱容比為：均只與氣體分子的自由度有關(guān),與溫度無關(guān).

例

指出下列各式所表示的物理意義.分子在每個自由度上的平均動能;分子的平均平動動能;分子的平均動能;1mol氣體的內(nèi)能;質(zhì)量為m的氣體內(nèi)所有分子的平均平動動能之和;質(zhì)量為m的氣體的內(nèi)能.

13－8氣體分子的平均自由程和平均碰撞頻率1.自由程

：分子兩次相鄰碰撞之間運(yùn)動通過的路程.2.平均自由程

：每兩次連續(xù)碰撞之間，一個分子自由運(yùn)動的平均路程.3.平均碰撞頻率：單位時間內(nèi)一個分子和其它分子碰撞的平均次數(shù).引入分子平均相對運(yùn)動速率

.表示分子的平均速率.分子模型1.分子為剛性小球2.分子有效直徑為d（分子間距平均值）3.其它分子皆靜止,某一分子以平均速率相對其他分子運(yùn)動.如圖,圓柱體內(nèi)的總分子數(shù)就是A分子與其他分子的碰撞次數(shù).所以,平均碰撞頻率為:圖示圓柱體內(nèi)所有分子數(shù)目，即為分子A與其它分子碰撞次數(shù)，圓柱體之外的分子不會與A發(fā)生碰撞。分子在圓柱體內(nèi)還是外，看質(zhì)心是否在圓柱體內(nèi)，因?yàn)槔硐霘怏w的分布還是看作質(zhì)點(diǎn)。但是在碰撞時要考慮大小圓柱體底面積為，高度為，體積為，故，圓柱體內(nèi)分子數(shù)目為相對運(yùn)動速率與平均速率之間的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)物理中有證明，此處不詳述。正是因?yàn)榭紤]分子大小，所以圓柱體底面半徑為d平均自由程為:對于理想氣體:

一定時

一定時

解:以電子運(yùn)動的軌跡為軸線、以氣體分子的有效半徑d/2為半徑作一個曲折的圓柱體，凡是在該圓柱體內(nèi)的氣體分子都會與電子相碰撞.由題意,△t

時間內(nèi)，相應(yīng)的曲折圓柱體體積為：

例

在氣體放電管中，電子不斷與氣體分子碰撞.因電子的速率遠(yuǎn)大于氣體分子的平均速率，所以氣體分子可以認(rèn)為是不動的.假定電子的有效直徑比起氣體分子的有效直徑d來可以忽略不計(jì)，試證明電子與氣體分子碰撞的平均自由程為,n

為氣體分子數(shù)密度.曲折圓柱體內(nèi)的氣體分子數(shù)為：于是電子與氣體分子的碰撞頻率為：電子的平均自由程為：

13－10熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計(jì)意義和熵的概念

一、熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計(jì)意義如圖,以理想氣體向真空自由膨脹為例，說明宏觀不可逆過程的微觀本質(zhì):BA假設(shè)在容器中有4個分子，研究其分布情況:如圖，有五種宏觀態(tài)每個宏觀態(tài)對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù):1每個微觀態(tài)出現(xiàn)的概率相同(等概率原理)，包含微觀態(tài)越多的宏觀態(tài)出現(xiàn)的概率越大.4416N個分子全部集中在A或B室中的概率為：對于1mol氣體,這個概率趨于0,實(shí)際上不可發(fā)生.熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計(jì)意義

孤立系統(tǒng)中，自發(fā)進(jìn)行的過程是不可逆的，總是由概率小的宏觀態(tài)向概率大的宏觀態(tài)進(jìn)行，也就是由包含微觀態(tài)數(shù)目少的宏觀態(tài)向包含微觀態(tài)數(shù)目多的宏觀態(tài)的進(jìn)行.

二、熵和熵增加原理1.熱力學(xué)概率

：某一宏觀態(tài)對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)目

.2.熵

：用于定量說明自發(fā)過程運(yùn)動方向的宏觀物理量

.玻耳茲曼熵公式*熵是系統(tǒng)狀態(tài)的單值函數(shù).*熵是系統(tǒng)無序程度的量度.(平衡態(tài)熵最大)不難看出，孤立系統(tǒng)中的一切實(shí)際過程，都是熵的增加過程

.從1到2的系統(tǒng)狀態(tài)變化過程，熵增為:熵增加原理孤立系統(tǒng)的熵永不會減少,即:等號適用于可逆過程.

例.試用玻耳茲曼熵公式計(jì)算理想氣體自由膨脹過程中的熵變,設(shè)氣體的質(zhì)量為m,摩爾質(zhì)量為M,初態(tài)體積為V1,末態(tài)體積為V2.

解:質(zhì)量為m

的理想氣體含有的分子數(shù)為分析可知，氣體膨脹前后兩種宏觀態(tài)所包含的微觀態(tài)數(shù)目之比是：微觀狀態(tài)數(shù)分析假設(shè)V1中含有n個小體積，則V2中含有V2/(V1/n)=nV2/V1個相同小體積一個分子在V1中可能分布在n個小體積空間內(nèi)，即微觀狀態(tài)數(shù)為n。據(jù)此，該分子在V2中的微觀狀態(tài)數(shù)為nV2/V1。對一個分子而言,微觀狀態(tài)數(shù)增加V2/V1倍，N個分子微觀狀態(tài)數(shù)增加(V2/V1)N所以，膨脹過程中，理想氣體的熵變?yōu)?注意1、熵的改變與過程無關(guān)，只與始末狀態(tài)有關(guān).2、以上討論的前提是孤立系統(tǒng).3、通常不要求大家求某個狀態(tài)的熵4、值得感興趣的是兩個狀態(tài)之間的熵變（不管中間過程如何）

三、熵的熱力學(xué)表示我們進(jìn)一步尋求熵在熱力學(xué)中的宏觀定義:可以設(shè)想上式表示的熵變是通過可逆等溫過程實(shí)現(xiàn)的,該過程吸收的熱量為對于無限小的可逆等溫過程,則有上式具有普適意義。對于一個孤立系統(tǒng)，這就是熵增加原理.一個熱力學(xué)系統(tǒng)從1到2的有限可逆過程中對于任何系統(tǒng)的任何過程,一般都有“>”表示不可逆過程此式用于討論任意過程的熵變，見后例

例1.設(shè)有兩種質(zhì)量均為1mol的氣體,其摩爾定體熱容分別為CV1,m

和CV2,m,溫度分別為T1

和T2.假定他們之間有極短時間的熱傳導(dǎo)發(fā)生,試求熱傳導(dǎo)過程中熵的改變，并用熵增加原理判定過程進(jìn)行的方向.

解:假定有微小熱量從1→2,溫度分別改變?yōu)門1-dT1和T2+dT2,它們分別吸熱：在無限小變化過程中，氣體溫度可視為不變，熵變?yōu)?將兩種氣體合起來組成一個大的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)熵變?yōu)?由于所以當(dāng)由此可見，熱傳導(dǎo)過程自發(fā)進(jìn)行的方向是熱量從高溫氣體傳向低溫氣體.當(dāng)T2>T1時，ds<0,

熱量從1→2傳遞的過程無法實(shí)現(xiàn)即熱傳導(dǎo)不能自發(fā)的由低溫物體向高溫物體進(jìn)行

例2.設(shè)在恒壓下將1kg水從T1=273.15K加熱到T2=373.15K,氣體,已知水在此溫度變化范圍內(nèi)的定壓熱容為Cp=4.18×103J·k