第五章參數(shù)估計(jì)

2011級(jí)預(yù)防醫(yī)學(xué)專業(yè)

《醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)》沈月平副教授,PhD醫(yī)學(xué)部公共衛(wèi)生學(xué)院流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)教研室E-mail：shenyueping@.cmOffice:401-140312015/4/12第五章參數(shù)估計(jì)前言第一節(jié)抽樣誤差第二節(jié)t-分布和二項(xiàng)分布第三節(jié)單個(gè)總體參數(shù)的置信區(qū)間第四節(jié)兩總體之差的置信區(qū)間小結(jié)作業(yè)2計(jì)量資料的統(tǒng)計(jì)分析統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)推斷集中趨勢離散趨勢參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)點(diǎn)估計(jì)，區(qū)間估計(jì)兩樣本均數(shù)比較t，u-test多個(gè)樣本均數(shù)比較F-test計(jì)數(shù)資料的統(tǒng)計(jì)分析統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)推斷集中趨勢離散趨勢參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)絕對數(shù)，相對數(shù)率的標(biāo)準(zhǔn)誤點(diǎn)估計(jì)，區(qū)間估計(jì)兩樣本率比較χ2-test多個(gè)樣本率比較χ2-test第一節(jié)抽樣誤差抽樣誤差（samplingerror）

：由抽樣造成的統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)及樣本統(tǒng)計(jì)量之間的差別稱為抽樣誤差。均數(shù)抽樣誤差和率的抽樣誤差是建立在抽樣研究基礎(chǔ)上所發(fā)生的偏差，只能減小，不可避免5一、均數(shù)的抽樣誤差由于隨機(jī)抽樣所引起的樣本均數(shù)與總體均數(shù)之間的差異或樣本均數(shù)之間的差異；如何評(píng)估抽樣誤差？6如何評(píng)估抽樣誤差？抽樣試驗(yàn)（samplingtrial）7抽樣試驗(yàn)?zāi)呈?008年19歲女生身高服從均數(shù)μ=160.5cm,σ=5.2cm的正態(tài)分布；從X～N(160.5,5.22)的正態(tài)總體中隨機(jī)抽樣，樣本含量nj=20,g=100;共抽100次；圖1.2008年某市19歲女生身高均數(shù)

N(160.5,5.22)的抽樣示意μ=160.5cmσ=5.2cmX1,X2,X3…Xj…,

160.19,1.05158.97,1.39160.37,1.47:161.64,1.44100個(gè)新的分布特點(diǎn)10樣本均數(shù)組成一個(gè)新的分布特點(diǎn)各樣本均數(shù)未必等于總體均數(shù)；各樣本均數(shù)間存在差異；樣本均數(shù)的分布很有規(guī)律；100個(gè)樣本均數(shù)的均數(shù)為160.43cm，而原總體均數(shù)為160.5cm()樣本均數(shù)的變異范圍較原變量的變異范圍大大縮??；標(biāo)準(zhǔn)差為1.18(5.2)；

中心極限定理若原變量服從正態(tài)分布，則新變量服從正態(tài)分布；若原變量不服從正態(tài)分布，n較大（大于等于30或50），則新變量服從正態(tài)分布；n較小，新變量為非正態(tài)分布；標(biāo)準(zhǔn)誤：估計(jì)抽樣誤差大小的指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)誤(standarderror，SE):樣本統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差；樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤(standarderrorofmean，SEM):；樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)值：例2000年某研究者隨機(jī)調(diào)查某地健康成年男子27人，得到血紅蛋白含量的均數(shù)為125g/L，標(biāo)準(zhǔn)差為15g/L。試估計(jì)該樣本均數(shù)的抽樣誤差。均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的含義反映均數(shù)抽樣誤差大小的一個(gè)指標(biāo)；均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤與原分布的標(biāo)準(zhǔn)差成

正比，與抽樣樣本量n開根號(hào)成反比；欲減少抽樣誤差，可增加樣本量；利用均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤可以進(jìn)行總體均數(shù)的置信區(qū)間的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。第二節(jié)t分布t分布的由來t分布的圖形和特征t界值表

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換X0,1ut變換0t抽樣實(shí)驗(yàn)

t分布的由來Xt分布圖形的演變

t分布圖形的演變英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家Gosset于1908年以筆名“Student”發(fā)表了一篇論文，提出了t分布（distribution）的理論，因此t分布又稱為學(xué)生氏t分布，其分布密度函數(shù)是：其中，為伽瑪函數(shù)符號(hào)，它是已知函數(shù)；π為圓周率；ν表示自由度。24t分布圖形的特征單峰分布，以0為中心，左右對稱只有一個(gè)參數(shù)ν(自由度n-1),

ν越小，則t值越分散，峰部越矮而尾部翹得越高當(dāng)ν逼近∞時(shí)，t分布逼近u分布t分布圖形下面積具有規(guī)律性總面積為1；任意兩區(qū)間的面積都可以用積分的方法求出；當(dāng)單雙側(cè)確定時(shí)，自由度ν確定時(shí)，尾部面積(α)與橫軸t值之間有一一對應(yīng)的關(guān)系；tα/2,ν表示雙側(cè)尾部面積為α，自由度為ν時(shí)的t界值；tα,ν表示單側(cè)尾部面積為α，自由度為ν時(shí)的t界值；t界值表的特點(diǎn)(p410)表示在單雙側(cè)確定時(shí)，自由度ν確定時(shí)，t界值越大，外圍面積(P)越?。环粗嗳?；單雙側(cè)確定時(shí)，外圍面積(α或P)確定時(shí)，自由度ν越大，t界值越小，當(dāng)ν→∞時(shí)，t=u;t0.05/2,∞=1.96；t0.01/2,∞=2.58第三節(jié)單個(gè)總體參數(shù)的置信區(qū)間（二）區(qū)間估計(jì)（intervalestimation）按預(yù)先給定的概率（1－α）確定的包含未知總體參數(shù)的可能范圍。（一）點(diǎn)估計(jì)：用樣本統(tǒng)計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值1、σ已知單側(cè)：雙側(cè)：或正態(tài)分布法2、σ未知，但樣本例數(shù)n足夠大時(shí)（ｎ>50）雙側(cè)：單側(cè)：或正態(tài)分布法3、σ未知時(shí)，n不是很大（最常用）雙側(cè)：～單側(cè)：或t分布法例5.332置信區(qū)間的含義表示以一定的置信區(qū)間（1-α）估計(jì)總體均數(shù)（參數(shù)）可能的波動(dòng)范圍；總體均數(shù)95%CI(confidenceinterval)表示隨機(jī)抽樣100次（n固定），計(jì)算100個(gè)置信區(qū)間，平均有95個(gè)區(qū)間包含總體均數(shù)，有5個(gè)不包含；但對一次抽樣來講，只能說是包含或不包含95%CI與99%CI的區(qū)別點(diǎn)估計(jì)與置信區(qū)間的差別正常參考值范圍與置信區(qū)間的差別33第三節(jié)二項(xiàng)分布

(Binomialdistribution)與率的置信區(qū)間Bernoulli試驗(yàn)以A表示所感興趣的事件，A事件發(fā)生稱為“成功”，不出現(xiàn)稱為“失敗”。相應(yīng)的這類試驗(yàn)稱作為“成一敗型”試驗(yàn)或Bernoulli試驗(yàn)。Bernoulli試驗(yàn)滿足條件（1）每次試驗(yàn)結(jié)果只能是兩個(gè)互斥結(jié)果之一（A或非A）。（2）每次試驗(yàn)的條件不變，每次試驗(yàn)結(jié)果A事件發(fā)生的概率為常數(shù)。（3）各次試驗(yàn)獨(dú)立，即每次試驗(yàn)出現(xiàn)事件A的概率與前面各次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果無關(guān)。二項(xiàng)分布的概念n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)（Bernoulli試驗(yàn)），當(dāng)每次試驗(yàn)的“陽性概率”保持不變時(shí)，出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)k=0，1，2…，n的一種概率分布。，k=0，1，2，…n

n為試驗(yàn)例數(shù)，k為陽性次數(shù)，

π為陽性率，

當(dāng)n和不同時(shí)，二項(xiàng)分布的概率是不同的，所以說n和是二項(xiàng)分布的兩個(gè)重要參數(shù)。如果隨機(jī)變量x服從以n和為參數(shù)的二項(xiàng)分布，則記作x~B（n，）。二項(xiàng)分布的概率計(jì)算

恰好有k例陽性數(shù)的概率為最多發(fā)生k例，即xk的累計(jì)概率為最少發(fā)生k例，即xk的累計(jì)概率二項(xiàng)分布概率的遞推公式為二項(xiàng)分布的性質(zhì)

2、二項(xiàng)分布的正態(tài)近似(normalapproximation)

概率論中的中心極限定理證明：當(dāng)n足夠大時(shí)，且不接近于0也不接近于1時(shí)，且

n和n（1－）≥5，二項(xiàng)分布x～B(n,)近似于正態(tài)分布

N（n，）。樣本率的分布和正態(tài)近似

樣本率的分布和正態(tài)近似例5－？

從陽性率樣本率=0.6的總體中隨機(jī)抽取樣本量為16的樣本，求樣本率p的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差稱為均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。同樣樣本率的標(biāo)準(zhǔn)差也稱為率的標(biāo)準(zhǔn)誤，它描述了樣本率抽樣誤差的大小。樣本率的分布和正態(tài)近似樣本率分布的正態(tài)近似當(dāng)樣本量n較大，總體率不接近于0也不接近1時(shí)，且n和n（1－）≥5，樣本陽性率也近似服從正態(tài)分布p～N（，）。事實(shí)上，總體率，一般是不知道的，往往用p來估計(jì)，用樣本率的標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)值來估計(jì)。

利用樣本資料可估計(jì)二項(xiàng)分布總體概率的1-置信區(qū)間，一般取0.05或0.01。對于，且接P近于0或1時(shí)，可直接查表得到總體概率的（1-

）置信區(qū)間。例5.5總體率的置信區(qū)間查表法當(dāng)n足夠大，且P和1-P均不太小，如nP和n(1-P)均大于5時(shí)，P的抽樣分布逼近正態(tài)分布。此時(shí)，可根據(jù)正態(tài)分布的特性計(jì)算總體率的置信區(qū)間。

總體率的置信區(qū)間正態(tài)近似法率的抽樣誤差，即標(biāo)準(zhǔn)誤第四節(jié)泊松分布（PoissonDistribution

）

是一種典型的離散型隨機(jī)變量的分布，主要用于描述事件出現(xiàn)概率很小而樣本含量或試驗(yàn)次數(shù)很大的隨機(jī)變量的概率分布。當(dāng)n->∞，P≤0.05時(shí)，這時(shí)二項(xiàng)分布向泊松分布逼近；泊松分布用來分析醫(yī)學(xué)上人群中遺傳缺陷、癌癥等發(fā)病率很低的非傳染性疾病的發(fā)病或患病人數(shù)的分布；也可用于研究單位時(shí)間、空間、容積內(nèi)某罕見時(shí)間發(fā)生次數(shù)的分布；Poisson分布是二項(xiàng)分布的特例，由于這時(shí)n特別大，p特別小，在數(shù)學(xué)上用二項(xiàng)分布計(jì)算n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)（Bernoulli試驗(yàn)），出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)X=0，1，2…，n的概率變得十分困難，所以，可以通過Poisson分布近似計(jì)算出現(xiàn)“陽性”次數(shù)X概率值如已知２０００年上海市１０萬婦女人群中乳腺癌的發(fā)病人數(shù)為４０人(=0.0004)，計(jì)算某小區(qū)１０萬人中剛好出現(xiàn)５０人的概率？二項(xiàng)分布的概率公式可推導(dǎo)出泊松分布的概率計(jì)算公式為：

為單位時(shí)間(空間)稀有事件的發(fā)生數(shù)(陽性數(shù))的總體均數(shù).二項(xiàng)分布當(dāng)n很大而很小時(shí)即逼近于參數(shù)λ=n×的泊松分布，記做xP（）泊松分布的性質(zhì)

1、泊松分布均數(shù)等于方差：=

2=

2.泊松分布的可加性

泊松分布的正態(tài)近似數(shù)理統(tǒng)計(jì)證明：當(dāng)足夠大時(shí)，泊松分布趨向于正態(tài)分布。所以只要相當(dāng)大（如50）即可認(rèn)為泊松分布近似于正態(tài)分布。二項(xiàng)分布的泊松分布近似

例5－14根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)新生兒染色體異常為1%，試分別用二項(xiàng)分布和泊松分布原理求100名新生兒中發(fā)生x例染色體異常的概率第四節(jié)兩總體參數(shù)之差的置信區(qū)間兩總體均數(shù)差的置信區(qū)間例5.7

為研究某種外用中藥搽劑對小鼠瓊脂肉芽腫的抑制作用，某醫(yī)院醫(yī)師選取一級(jí)昆明種雌小鼠21只，隨機(jī)分為實(shí)驗(yàn)組10只和對照組11只，分別測得其實(shí)驗(yàn)前的肉芽腫重見表5.7，試估計(jì)實(shí)驗(yàn)前兩組小鼠的肉芽腫重均數(shù)