第四講跨期優(yōu)化new

宏觀經(jīng)濟學之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文緣起哈羅德-多馬模型（刀刃上的均衡）索羅-斯旺模型只有兩種生產(chǎn)要素：資本K和勞動L。兩者按照一個固定的比例投入生產(chǎn)，不能相互替代。兩種生產(chǎn)要素可相互替代，且規(guī)模報酬不變。2輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文拉姆賽們的興趣拉姆賽Ramsey(EJ,1928)卡斯Cass(RES,1965)庫普曼Koopmans(1965)他們發(fā)現(xiàn)了什么？哈羅德-多馬模型與索羅模型有一個共同點外生儲蓄率：S(t)=sY(t)3輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文外生儲蓄率意味著什么？提示：從家庭收入的分配看S(t)=sY(t)也就意味著：C(t)=（1-s）Y(t)也即是說人們是按照收入的固定比例進行消費的Y(t)=C(t)+S(t)合理嗎？不合理4輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文那么該怎么辦？儲蓄率內(nèi)生化拉姆賽們該怎么做呢？從何入手呢？從消費入手如何內(nèi)生化于是拉姆賽們開始構建無限期界模型5輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文FrankPlumptonRamsey

（1903-1930，英國數(shù)學家、經(jīng)濟學家）著作《對稅收理論的一個貢獻》、《一個關于儲蓄的數(shù)學理論》等，其經(jīng)濟思想已包括在1987年獲諾獎的索洛《對經(jīng)濟增長理論的一個貢獻》。他是維特根斯坦和羅素的在抽象思維方面無可匹敵的朋友，他同時還是一位獲得了凱恩斯和哈羅德極大尊重的經(jīng)濟學家一位被認為是在哥德爾之前對數(shù)學基礎和數(shù)理邏輯有著卓而不群思考的數(shù)學家一位為求解一道難題而發(fā)明了至今仍吸引著數(shù)學家們熱情研究的“拉姆齊理論”但那道難題本身卻被后來的數(shù)學家證明是不可能求解的數(shù)學家。6輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文"MrKeynesandProbability",1922,CambridgeMagazine

"TheDouglasProposals",1922,CambridgeMagazine

"ReviewofW.E.Johnson'sLogic,PartI",1922,NewStatesman

"CriticalNoticeofL.Wittgenstein'sTractatus",1923,Mind

"ReviewofOgdenandRichards'MeaningofMeaning",1924,Mind

"TheNewPrincipia"1925,Nature

"Universals",1925,Mind

"TheFoundationsofMathematics",1925,Proc.ofLondonMathem.Soc.

"MathematicalLogic",1926,EncyclopaediaBritannica

"UniversalsandtheMethodofAnalysis",1926,AristotelianSociety

"MathematicalLogic",1926,MathematicalGazette

"TruthandProbability",1926."AContributiontotheTheoryofTaxation",1927,EJ

"FactsandPropositions",1927,ArisotelianSociety

"AMathematicalTheoryofSaving",1928,EJ."FurtherConsiderations",1928."OnaProblemofFormalLogic",1928,Proc.ofLondonMathem.Soc.

"FoundationsofMathematics",EncyclopediaBritannica

TheFoundationsofMathematics:andotherlogicalessays,1931.7輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文講在無限期界之前——從一個兩時跨期優(yōu)化模型開始假設：最優(yōu)化包含兩個時期。第二個時期結(jié)束時的正的財富不產(chǎn)生效用，因此家庭在第二個時期用光了他們所有的儲蓄；在兩個時期中，家庭都提供固定數(shù)量的勞動，從而獲得一份不變的工資；貨幣可以以某個市場利率進行投資和借貸，家庭必須能在第二個時期完全償還自己的債務。8輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文第一個時期的消費第二個時期的消費利率第一個時期的勞動收入第二個時期的勞動收入最優(yōu)化問題開始時的財富9輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文下一步？提示：消費兩個時期將消費在兩個時期分配該怎么做？10輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文回憶索羅模型，提得最多的是什么？拉姆賽們要怎么做呢？消費如何在兩期分配，并用消費增長率表示出來增長率11輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文兩時期模型中，消費的增長：12輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文我們還忽略了什么？提示：只有兩期也即是說第二期的消費存在一個約束第二期要花完13輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文約束會有幾種情況？兩種情況第一期錢不夠第一期有結(jié)余14輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文預算約束（budgetconstraint）部分投資：部分貸款：c1c2預算約束線ABE15輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文剛剛分析了總消費量的預算約束錢如何在兩期分配下一步？怎么選擇？比較大小怎么比較？定義：效用16輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文定義效用今天消費帶來的效用將來消費帶來的效用效用：商品滿足人的欲望的能力，或者消費者在消費商品時所感受到的滿足程度17輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文兩期效用的差別：什么偏好？時間偏好差別受什么影響？個人偏好人們對時間等待存在厭惡18輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文指今后收到或支付的款項折算為現(xiàn)值的利率。-無忍耐性：個體不愿為消費等太長時間。-時間水平線：個體不能進行長期計劃，距現(xiàn)在越遠的東西，越少被包括在現(xiàn)在的決定中。-不確定性：將來的計劃總包含不確定性。貼現(xiàn)率用什么來反映人們對時間等待的厭惡19輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文定義效用今天消費帶來的效用將來消費帶來的效用效用：商品滿足人的欲望的能力，或者消費者在消費商品時所感受到的滿足程度進一步，寫成兩期效用的關系：貼現(xiàn)率將來的消費帶來的今天的效用20輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文這時候兩期的效用可比了。怎么做？兩種商品數(shù)量的選擇于是，消費在兩期中選擇便轉(zhuǎn)化為另外一個問題。什么問題？1.預算約束2.無差異曲線3.相切21輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文消費的效用遞減對于每個家庭，額外的消費帶來額外的效用，并且消費的邊際效用遞減。cU22輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文簡單的效用函數(shù)如下：無差異曲線：連接了具有同樣效用水平的點。c1c2U0U1U223輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文無差異曲線特征：(1)斜率為負(2)離原點越遠的無差異曲線代表的效用水平越高(3)任何兩條無差異曲線都不可能相交(4)無差異曲線凸向原點c1c2U0U1U2AB24輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文跨期替代的彈性跨期的替代彈性：c1c2U0U1U2AB反應了無差異曲線的斜率變化對消費比率的影響程度25輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文凱恩斯－拉姆齊規(guī)則對數(shù)效用函數(shù)無差異曲線的斜率：預算約束線斜率：26輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文c1c2E最優(yōu)點()無關曲線，斜率：27輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文消費的增長率凱恩斯－拉姆齊規(guī)則最簡單的形式一個變量的對數(shù)關于時間的導數(shù)等于其增長率28輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文CES效用函數(shù)無差異曲線的斜率：預算約束線斜率：29輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文一個變量的對數(shù)關于時間的導數(shù)等于其增長率至此，大家聯(lián)系以前學過的凱恩斯、哈羅德、索羅等相關模型，發(fā)現(xiàn)了什么？這里就在談消費，沒那些個模型什么事！就是消費自個兒在玩~輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文30回顧：索羅動態(tài)過程輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文31y1F[k1,1]=y2=F[k2,1]I1/L1=S1/L1=sy1(K2-K1)/L1=I1/L1K2/L1-k1=sy1（L2–L1

）/L1=nK2/(L2/(1+n))-k1=sy1(1+n)k2-k1=sy1k2-k1=sy1-nk2k2=（sy1+k1）/(1+n)產(chǎn)出投資資本變化產(chǎn)出變化演化過程輕松學宏觀之索羅模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文32Y1C1S1I1K1L1Y2C2S2I2K2L2利率的確定穩(wěn)態(tài)時若考慮資本折舊以及人口增長凱恩斯－拉姆齊規(guī)則的一般形式33輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文回憶索羅模型EK*ABCsf(k)f(k)(n+δ)kkk人均消費人均儲蓄34輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文資本積累的黃金法則對于給定的n和δ，對應于每個儲蓄率s存在唯一的穩(wěn)定狀態(tài)k*=k*(s),k*>0,

dk*(s)/ds>0問題：尋找一個使長期人均消費最大化的增長率。穩(wěn)定狀態(tài)的人均消費

35輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文黃金法則的分析[1]消費增長率：當消費最大時：資本積累的黃金法則36輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文資本積累的黃金法則黃金法則的經(jīng)濟學意義：如果一個經(jīng)濟發(fā)展的目標是使人均消費最大，那么在技術和勞動增長率不變時，人均資本的邊際產(chǎn)品應等于人口增長率與折舊率之和37輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文k人均產(chǎn)出等(n+δ)kf(k)kgsgf(k)cgs2f(k)s1f(k)k1*c1*c2*k2*38輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文Ramsey-cass-koopmans模型kckGRcGRBgk<0gk>0穩(wěn)態(tài)的消費：黃金率39輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文kc當gc=0時kKRk<kKRgc>0gc<0k>kKRgc=040輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文模型的動態(tài)學41輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文模型的動態(tài)學利用相圖，可以研究c、k初始值給定，經(jīng)濟的增長路徑

k初始值已經(jīng)給定，關鍵在于c的初始值如何確定。42輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文模型的動態(tài)學43輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文模型的動態(tài)學唯一可能路徑：44輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文kKRgc=0OAA’A’’BB’B’’kc45輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文回顧：拉姆賽--發(fā)現(xiàn)：儲蓄率外生不合理思考：如何內(nèi)生化？收入：消費與儲蓄從消費入手兩期模型（從簡單開始）消費在兩期的分配預算約束無差異曲線（效用）最大化兩個斜率46輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文無限期界模型家庭效用的描述兩期模型無限期界每一時期效用的加總47輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文采用常相對風險厭惡的效用函數(shù)：瞬時效用函數(shù)48輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文無限期界模型瞬時效用函數(shù)無限期界49輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文回顧：下一步？預算約束收入資本收益與勞動所得50輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文家庭決策行為家庭目標函數(shù)：

約束條件：一生消費的現(xiàn)值不能超過其初始財富加上一生勞動收入的現(xiàn)值。51輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文約束52輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文二、家庭與廠商的行為預算約束構造拉格朗日函數(shù)：對c(t)求導數(shù)，得到一階條件為：常規(guī)方法二、家庭與廠商的行為兩邊取對數(shù)，再對t求導數(shù)，有：

上式即歐拉方程已知，C(t)=c(t)A(t)則：模型的動態(tài)學c的動態(tài)學55輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文模型的動態(tài)學56輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文模型的動態(tài)學k的動態(tài)學57輕松學宏觀之跨期優(yōu)化模型北京工商大學經(jīng)濟學院熊文k人均產(chǎn)出等(n+δ)kf(k)kgsgf(k)cgs2f(k)s1f(k)k1*c1*c2*k2*58輕松學宏觀之跨期優(yōu)