材料力學(xué)-5梁的彎曲應(yīng)力

第五章彎曲應(yīng)力材料力學(xué)1§5－１純彎曲1、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力內(nèi)力剪力Q剪應(yīng)力t彎矩M正應(yīng)力s2平面彎曲時(shí)橫截面s純彎曲梁(橫截面上只有M而無(wú)Q的情況)平面彎曲時(shí)橫截面t橫力彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況)2、研究方法縱向?qū)ΨQ面P1P2例如：3某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒(méi)有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。PPaaAB純彎曲(PureBending):4LaaFFF(+)(-)-FFa(+)M-圖純彎曲——梁彎曲變形時(shí)，橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力（）。橫力彎曲——梁彎曲變形時(shí)，橫截面上既有彎矩又有剪力（）。純彎曲橫力彎曲橫力彎曲例:火車(chē)輪軸5M1、研究對(duì)象：等直細(xì)長(zhǎng)對(duì)稱截面梁2、前提:(a)小變形——在彈性變形范圍內(nèi)，(b)滿足平面彎曲條件，（c）純彎曲。3、實(shí)驗(yàn)觀察:MM凹邊縮短凸邊伸長(zhǎng)長(zhǎng)度保持不變的縱向纖維橫截面上只有正應(yīng)力無(wú)剪應(yīng)力縱向纖維間無(wú)擠壓作用6中性層——桿件彎曲變形時(shí)，其縱向線段既不伸長(zhǎng)又不縮短的曲面。中性軸——中性層與橫截面的交線。4、平面截面假設(shè)——橫截面變形后保持為平面，只是繞中性軸旋轉(zhuǎn)了一角度。中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸7（1）變形分布規(guī)律mmnndxaby變形后y——任意縱向纖維至中性層的距離——中性層的曲率半徑，縱向纖維ab:變形前變形后ob′a′y§5-2梁的彎曲正應(yīng)力o——曲率中心，8所以縱向纖維ab的應(yīng)變?yōu)?——橫截面上距中性軸為y處的軸向變形規(guī)律。曲率則曲率則當(dāng)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。(a)9（2）應(yīng)力分布規(guī)律在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)用胡克定律(b)對(duì)一定材料，E=C；對(duì)一定截面，——橫截面上某點(diǎn)處的應(yīng)力與此點(diǎn)距中性軸的距離y成比例。當(dāng)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。應(yīng)力為零的點(diǎn)的連線。M10（3）由靜力平衡方程確定中性軸的位置及應(yīng)力計(jì)算公式z(中性軸)y(對(duì)稱軸)xMMdAdA由得=0將(b)式代入，得因此z軸通過(guò)截面形心，即中性軸通過(guò)形心，并垂直于載荷作用面。(c)11考慮平衡條件為截面對(duì)中性軸的慣性矩。(e)zyxMdAdA12可得撓曲線的曲率方程：

為常數(shù)，撓曲線是一條圓弧線——抗彎剛度。正應(yīng)力的計(jì)算公式為橫截面上最大正應(yīng)力為——截面的抗彎截面模量，反映了截面的幾何形狀、尺寸對(duì)強(qiáng)度的影響。13﹡簡(jiǎn)單截面的慣性矩矩形截面園形截面14矩形、圓形截面對(duì)中性軸的慣性矩及抗彎截面模量：zz′豎放：bhhb平放：若h>b,則。15zddzD16

注意：（1）要特別注意正應(yīng)力在橫截面上沿高度呈線性分布的規(guī)律，在中性軸上為零，而在梁的上下邊緣處正應(yīng)力最大。（3）必須熟記矩形截面、圓形截面對(duì)中性軸的慣性矩的計(jì)算式。（2）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓，正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負(fù)及梁的變形狀態(tài)來(lái)確定。17梁的彎矩圖如圖5-8b所示，由圖知梁在固定端橫截面上的彎矩最大，其值為

例圖5-8所示，一受均布載荷的懸臂梁，其長(zhǎng)l=1m，均布載荷集度q=6kN/m；梁由10號(hào)槽鋼制成，由型鋼表查得橫截面的慣性矩Iz=25.6cm4。試求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。（1）作彎矩圖，求最大彎矩18

因危險(xiǎn)截面上的彎矩為負(fù)，故截面上緣受最大拉應(yīng)力，其值為在截面的下端受最大壓應(yīng)力，其值為（2）求最大應(yīng)力19BAl=3mFAYq=60KN/mFBYyxC1mMx30zy180120K1.C

截面上K點(diǎn)正應(yīng)力2.C

截面上最大正應(yīng)力3.全梁上最大正應(yīng)力4.C

截面的曲率半徑ρ(已知E=200GPa)FSx90KN90KN1.求支反力（壓應(yīng)力）例題解求:20BAl=3mFAYq=60KN/mFBYyxC1mMx30zy180120KFSx90KN90KN2.C截面最大正應(yīng)力C

截面彎矩C

截面慣性矩解21BAl=3mFAYq=60KN/mFBYyxC1mMx30zy180120KFSx90KN90KN3.全梁最大正應(yīng)力最大彎矩截面慣性矩解22BAl=3mFAYq=60KN/mFBYyxC1mMx30zy180120KFSx90KN90KN4.C截面曲率半徑ρC

截面彎矩C

截面慣性矩解(已知E=200GPa)23

梁的最大正應(yīng)力

梁的危險(xiǎn)截面梁的危險(xiǎn)截面在該梁內(nèi)彎矩最大的截面上危險(xiǎn)截面位于梁中部危險(xiǎn)截面位于梁根部

梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)處§5-3梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件24

彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：可解決三方面問(wèn)題：（1）強(qiáng)度校核，即已知檢驗(yàn)梁是否安全；（2）設(shè)計(jì)截面，即已知可由確定截面的尺寸；（3）求許可載荷，即已知可由確定。Mmax梁內(nèi)最大彎矩WZ危險(xiǎn)截面抗彎截面模量[σ]材料的許用應(yīng)力25

脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮變截面梁要綜合考慮與

注意：26作彎矩圖，尋找需要校核的截面要同時(shí)滿足分析：非對(duì)稱截面，要尋找中性軸位置T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強(qiáng)度。例題[][]MPa,160,MPa30==ctss27（2）求截面對(duì)中性軸z的慣性矩（1）求截面形心z1yz52解：28（4）B截面校核（3）作彎矩圖29（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作彎矩圖30§5-4彎曲時(shí)的切應(yīng)力1.矩形截面梁2.工字形截面梁313.圓形、圓環(huán)形截面梁32梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件是：下列情況須進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核：若梁較短或載荷很靠近支座，梁的最大彎矩Mmax可能很小而最大剪力Fs,max卻相對(duì)較大，如果據(jù)此時(shí)的Mmax選擇截面尺寸,就不一定能滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。對(duì)于一些組合截面梁，如其腹板的寬度b相對(duì)于截面高度很小時(shí)，橫截面上可能產(chǎn)生較大的剪應(yīng)力。對(duì)于木梁，它在順紋方向的抗剪能力較差，而由剪應(yīng)力互等定理，在中性層上也同時(shí)有max作用，因而可能沿中性層發(fā)生剪切破壞，所以需要校核其剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。33解：畫(huà)內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x34求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比q=3.6kN/mxM+Q–+x35§5-6

梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：在[]一定時(shí)，提高彎曲強(qiáng)度的主要途徑：（一）、選擇合理截面（1）矩形截面中性軸附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。1、根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律選擇：z36（2）為降低重量，可在中性軸附近開(kāi)孔。372、根據(jù)截面模量選擇：為了比較各種截面的合理性，以來(lái)衡量。越大，截面越合理。截面形狀矩形圓形槽鋼工字鋼0.167h0.125d(0.27~0.31)h(0.27~0.31)h(d=h)383、根據(jù)材料特性選擇：塑性材料：宜采用中性軸為對(duì)稱軸的截面。脆性材料：宜采用中性軸為非對(duì)稱軸的截面，例如T字形截面：ycz拉邊壓邊即使最大拉、壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力值。39（二）、合理安排載荷和支承的位置，以降低值。1、載荷盡量靠近支座：LABF0.5L(+)0.25FLLABF0.8L(+)0.16FL40LABF0.9L(+)0.09FLLABF412、將集中力分解為分力或均布力。LABF0.5L(+)0.25FL0.25LABF0.5L0.25L0.125FL(+)423、合理安排支座位置及增加支座——減小跨度，減小。ABF0.6L0.2L0.2L0.025FL(+)0.02FL0.02FLABFL0.12