2017-2018版高中數(shù)學第一章集合與函數(shù)概念疑難規(guī)律方法學案版

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第一章集合與函數(shù)概念1聚焦“集合"雙基一、透析“集合"的基礎(chǔ)知識(一）集合的含義1．集合的含義是一個描述性的，我們可以理解為一些對象組成的總體就構(gòu)成集合，其中構(gòu)成集合的每一個對象稱為集合的元素．所以只要把對象看成整體就可以構(gòu)成集合．2．集合的元素的三個特性（1)確定性：對于一個集合中每一個元素都可以判斷該元素是不是集合中的元素．如“2012年中國效益較好的大型企業(yè)”就不能構(gòu)成集合，因為“2012年中國效益較好的大型企業(yè)”中的對象是不確定的，效益較好和大型企業(yè)都沒有明確的標準，無法判斷一些企業(yè)是否屬于這個范圍．(2)互異性：互異性是指集合中的元素必須是互不相同的．如集合{x｜x2＋4x＋4＝0}＝｛－2｝,而不能寫成{－2，－2}．（3)無序性：對于一個集合中的元素無先后順序，只要構(gòu)成兩個集合的元素一樣，這兩個集合就是相等的．（二)集合的表示1．列舉法:列舉法是將集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“｛｝”括起來表示集合．用列舉法表示集合時，首先要注意集合中元素的基本形式．例如：集合｛1，2｝與｛（1,2)}是兩個完全不同的集合，｛1，2｝是由1,2這兩個元素所構(gòu)成的集合，{(1,2)｝是以一個實數(shù)對(1,2）為元素構(gòu)成的集合．另外,用列舉法表示由許多元素或無限個元素組成的集合時，要注意充分體現(xiàn)元素間的規(guī)律，在花括號內(nèi)列舉出部分元素，其余的元素用省略號表示．例如:所有正整數(shù)構(gòu)成的集合可記為{1，2，3，4，…，n，…}．2．描述法：它是指用集合所含元素的共同特征來表示集合的方法．具體可這樣表示：在花括號“｛｝”內(nèi)先寫上表示這個集合元素(代表元素）的一般符號及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．它的一般表示形式為｛x∈A｜p(x）}，豎線前的x就是代表元素．對于描述法中的代表元素應注意以下兩點:(1)應寫清楚該集合中的代表元素．如集合{x|2≤x≤4｝不能寫成｛2≤x≤4}，因為這樣少了代表元素．（2)豎線后邊應對代表元素的取值有準確的表示，比如下面的表示方法是錯誤的：｛(x，y）｜（－1,0）｝，事實上，它應表示為{(x，y）｜x＝－1，y＝0｝,或表示為｛(－1，0）}．（三)集合間的基本關(guān)系1．空集是不含任何元素的集合，它雖然不含任何元素，但這樣的集合是客觀存在的．由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,所以在研究集合問題時,空集還是很活躍的，一不小心就會出錯．如滿足B?A，就要分B＝?和B≠?進行研究．2．子集可以理解為集合A中的任何一個元素都是集合B的元素,則A是B的子集．比如任何一個整數(shù)都是有理數(shù)，也就是說整數(shù)集是有理數(shù)集的子集,可以表示為:Z?Q。但不要理解為A是B中部分元素組成的集合,因為A＝?時，A也是B的子集，還有A＝B時，A也是B的子集．3．真子集可以從兩方面理解：一是集合A是集合B的子集,二是集合B中至少有一個元素不屬于集合A.如A＝{1，2，3,4，5}，B＝｛1,2，3,4，5，6}，由于6∈B，但6?A，且有A?B,則集合A是集合B的真子集．4．若兩個集合互相包含,即A?B，且A?B，則稱集合A與集合B相等,記作A＝B。(四)集合的基本運算1．并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B.符號表示：A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B}．相關(guān)結(jié)論：A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.A∪B中的元素就是把集合A，B中所有元素并在一起構(gòu)成的集合，要注意集合間元素的互異性,對于既屬于集合A又屬于集合B的元素只能出現(xiàn)一次．2．交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B。符號表示：A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝．相關(guān)結(jié)論：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A。A∩B中的任何元素都是集合A和B的公共元素，當集合A，B沒有公共元素時,不能說集合A，B沒有交集，而是A∩B＝?。3．補集：由全集U中不屬于A的所有元素組成的集合，稱為A在U中的補集,表示為?UA,實際上?UA＝{x｜x∈U,且x?A｝．補集的概念是在全集中定義的，是由屬于全集U但不屬于集合A的所有元素構(gòu)成，集合A和它的補集?UA都是集合U的子集，且A∩(?UA）＝?，A∪（?UA）＝U，全集不同，則補集也不同．二、盤點解集合問題的基本方法（一）列舉法對于一些有明顯特征的集合，可以將集合中的元素一一列舉出來．例1設(shè)集合M＝｛1,2,4，8｝，N＝{x|x是2的倍數(shù)｝，則M∩N＝________。解析因為N＝{x｜x是2的倍數(shù)}＝{…，0，2,4，6，8，…}，所以M∩N＝{2,4，8｝．答案｛2，4，8}評注對于元素易于列舉的集合,通?？梢灾苯恿信e．（二)結(jié)構(gòu)相似法對于用描述法給出的若干集合,判斷它們的關(guān)系時,可以把它們各自的屬性化為結(jié)構(gòu)相似的表達式．例2若集合A＝{x|x＝m＋eq\f(1，6），m∈Z},B＝｛x|x＝eq\f（n,2)－eq\f(1,3）,n∈Z}，C＝｛x|x＝eq\f(p,2）＋eq\f（1,6），p∈Z｝,則A，B，C之間的關(guān)系是________．解析集合A中,x＝eq\f（6m,6）＋eq\f(1，6),m∈Z；集合B中，x＝eq\f(3n－1,6)＋eq\f(1,6)，n∈Z;集合C中,x＝eq\f(3p,6）＋eq\f(1，6)，p∈Z.不難判斷AB＝C。答案AB＝C（三)數(shù)軸法當集合中的元素與不等式相關(guān)時,可借助于數(shù)軸進行運算具有簡明的直觀效果．例3設(shè)集合A＝｛x|－1＜x－a＜1，x∈R},B＝｛x｜1＜x＜5,x∈R｝，若A∩B＝?，則實數(shù)a的取值范圍是________________．解析由－1＜x－a＜1，得a－1＜x＜a＋1。如圖，可知a＋1≤1或a－1≥5。所以a≤0，或a≥6。答案{a|a≤0或a≥6}評注不等式型集合的交集、并集通常可以借助數(shù)軸來解，解題時注意驗證區(qū)間端點是否符合題意．（四)Venn圖法借助Venn圖的直觀顯示，?？墒辜蠁栴}化難為易．例4已知A,B均為集合U＝｛1,3,5，7，9}的子集,且A∩B＝｛3｝，(?UB)∩A＝{9},則A＝________。解析如圖,因為A∩B＝{3｝，所以3∈A。又因為(?UB）∩A＝｛9},所以9∈A。答案{3，9}2集合的基本關(guān)系與運算一、子集——集合問題的核心一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。記作:A?B或B?A.當集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時,則記作A?B或B?A.例1設(shè)集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜(x－a)·（x2－1)＝0}，當a為何值時，A?B?分析集合A，B都是用“描述法"表示的方程的解集，為了比較A和B的關(guān)系，先考慮將A和B進行化簡．解易得集合A＝｛1,2｝．當a＝1或a＝－1時，B＝｛－1，1｝，此時A?B；當a≠1且a≠－1時，B＝｛－1,1，a｝．要使A?B，則a＝2。故當a＝2時，A?B。二、交集-—兩集合間的“且運算”由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集,記為A∩B，即A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝，其中關(guān)鍵詞為“且”．例2設(shè)全集U＝Z，集合A＝{－1,0，1,2｝，B＝{x|x2－x＝0｝，則A∩(?UB）＝________.分析先求出集合B，再按集合相關(guān)運算法則求解．解析因為B＝{x|x2－x＝0｝＝{0,1}，所以A∩(?UB)＝{－1,2｝．答案｛－1,2}三、并集——兩集合間的“或運算”由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的并集,記為A∪B，即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝，其中關(guān)鍵詞為“或”．例3若全集U＝R，集合A＝｛x|－1＜x＜2｝，B＝｛x｜x＝y(tǒng)＋1，y∈A｝，求A∪B.分析欲求A∪B,先對B進行化簡．解因為y∈A，即－1＜y＜2,且x＝y(tǒng)＋1，所以0＜x＜3,即B＝｛x|0＜x＜3｝．所以A∪B＝｛x|－1＜x＜3｝．四、補集—-全集對子集的“差運算”一般地，設(shè)U是一個集合，A是U的一個子集，即A?U，由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做子集A在全集U中的補集，記為?UA，即?UA＝｛x｜x∈U，且x?A}，可以理解為全集對子集的差集．例4設(shè)全集U＝｛2,9,a2＋2a－3},集合A＝｛｜2a－1|，2}，且?UA＝{5｝，求實數(shù)a的值．解因為U＝｛2,9,a2＋2a－3}，?UA＝{5}，所以a2＋2a－3＝5.解得a＝2或a＝－4.若a＝2,則U＝{2，9,5}，A＝{2,3｝,不合題意；若a＝－4，則U＝{2，9，5},A＝｛2,9｝，符合題意．故a＝－4.五、等集—-一個集合的兩種表示例5已知集合M＝{2，a，b｝與集合N＝{2a,2，b2}是同一個集合，求a、b。分析此題應根據(jù)相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的性質(zhì)建立關(guān)系式．解兩個集合為同一個集合,則這兩個集合的元素完全相同且與元素的順序無關(guān),于是eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2a，,b＝b2）)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝b2，,b＝2a.))解之,得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1））或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，，b＝\f（1,2）。））又當a＝0，b＝0時,不滿足互異性,應該舍去．因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝0，，b＝1))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\f(1，4)，，b＝\f(1，2）。））評注解決集合相等的問題，易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進行檢驗和修正.3集合中的數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想,其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合,通過對圖形的認識、數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性，使問題化難為易、化抽象為具體．通過“形”往往可以解決用“數(shù)”很難解決的問題．集合中常用的方法是數(shù)軸法和Venn圖法．例1已知全集為U，U＝｛a｜a∈N＊且a≤9}，且（?UA）∩B＝{1,9}，A∩B＝{2｝，(?UA)∩（?UB)＝｛4，6，8}，試確定集合A，B。分析若能將題設(shè)條件中所給出的各個集合中的元素，都能在Venn圖上表示出來,那么所要確定的集合A,B中的元素，將會從Venn圖上一目了然的得出．解將已知條件中的集合U＝｛a|a∈N*且a≤9}＝｛1，2，3,4，5，6,7，8，9}，(?UA）∩B＝{1，9｝，A∩B＝｛2｝，（?UA)∩(?UB）＝｛4，6,8｝,在Venn圖上表示出來，如圖所示．由Venn圖可以直觀的得出A＝{2,3,5，7｝，B＝｛1,2,9｝．例2某學校藝術(shù)班有100名學生，其中學舞蹈的學生有67人，學唱歌的學生有45人，而學樂器的學生既不能學舞蹈，又不能學唱歌，人數(shù)有21人，那么同時學舞蹈和唱歌的學生有多少人？解設(shè)只學舞蹈的學生有x人，只學唱歌的學生有y人,既學舞蹈又學唱歌的學生有z人，Venn圖如圖所示．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋z＝67，，y＋z＝45,，x＋y＋z＝79，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝34,，y＝12,,z＝33，)）所以同時學舞蹈和唱歌的有33人．例3已知集合A＝｛x|x〈－1，或x≥1｝，B＝{x｜2a〈x<a＋1,a〈1｝，B?A，求實數(shù)a的取值范圍．解∵a〈1，∴2a<a＋1，∴B≠?。畫出數(shù)軸分析，如圖所示．由圖知要使B?A,需2a≥1或a＋1≤－1，即a≥eq\f（1，2)或a≤－2.又∵a<1，∴實數(shù)a的取值范圍是（－∞，－2］∪［eq\f(1，2),1）．集合問題大都比較抽象,解題時要盡可能借助Venn圖、數(shù)軸等工具利用數(shù)形結(jié)合思想將抽象問題直觀化、形象化、明朗化,從而使問題獲解.4集合易錯點剖析一、符號意義不清致錯例1已知集合X＝｛0,1}，Y＝{x|x?X}，那么下列說法正確的是________．(填序號）①X是Y的子集；②X是Y的真子集；③Y是X的真子集；④X是Y的元素．錯解②剖析集合中符號意義必須清楚．正解因為Y＝｛x|x?X｝＝{{?},｛0｝，｛1｝，{0，1}}，所以X∈Y.故答案為④.二、代表元素意義不清致錯例2集合A＝{y|y＝x2，x∈R｝，B＝｛(x,y)|y＝x＋2，x∈R}，則A∩B＝________.錯解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝x＋2，)）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2，,y＝4)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1.）)剖析導致錯誤的原因是沒有弄清集合中元素的意義，A中的元素是實數(shù)y,而B中的元素是實數(shù)對（x，y），也就是說，集合A為數(shù)集，集合B為點集，因此A、B兩個集合中沒有公共元素，從而這兩個集合的交集為空集．三、忽視集合元素的互異性致錯例3已知集合A＝{2，3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2，2－a}，且A∩B＝{3，7｝，求集合B。錯解由A∩B＝{3，7}得a2＋4a＋2＝7,解得a＝1或a＝－5.當a＝1時，