第六章空間力系

第六章空間力系空間力系：力的作用線是空間分布的力系。空間一般力系§6-2

力在直角坐標(biāo)軸的分解和投影一、力在直角坐標(biāo)軸上的投影a)一次投影法（直接投影法）空間匯交力系空間平行力系§6-1

工程中的空間力系問(wèn)題b)二次投影法（間接投影法）力F投影z軸上投影當(dāng)力F與坐標(biāo)軸Ox、Oy間的夾角不易確定時(shí)坐標(biāo)平面Oxy上，力矢量Fxyx和y軸上投影二、力沿直角坐標(biāo)軸的分解以、、表示力F沿直角坐標(biāo)軸x、y、z的正交分量力F在坐標(biāo)軸上的投影和力沿坐標(biāo)軸的正交分矢量間的關(guān)系可表示為：大小方向余弦力F的例6—1如圖所示的圓柱斜齒輪，其上受嚙合力的作用。已知斜齒輪的齒傾角(螺旋角)和壓力角，以求力沿x、y和z軸的分力。解：先將力Fn向z軸和Oxy平面投影，得再將力向x、y軸投影，得則力沿各軸的分力為例6—2已知力沿直角坐標(biāo)軸的解析式為試求這個(gè)力的大小和方向，并作圖表示。解：力的大小方向余弦則角度為力F對(duì)z軸的矩就是分力Fxy對(duì)點(diǎn)O的矩，力對(duì)軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量、是一個(gè)代數(shù)量。即§6-3

力對(duì)軸的矩絕對(duì)值：該力在垂直于該軸的平面上的投影對(duì)于這個(gè)平面與該軸的交點(diǎn)的矩的大小。正負(fù)號(hào)：從z軸正端來(lái)看，若力的這個(gè)投影使物體繞該軸按逆時(shí)針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)，則取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。也可按右手螺旋規(guī)則來(lái)確定其正負(fù)號(hào)，如圖所示，姆指指向與z軸一致為正，反之為負(fù)。當(dāng)力與軸在同一平面時(shí)，力對(duì)該軸的矩等于零：(1)當(dāng)力與軸相交時(shí)(此時(shí)h＝0)；(2)當(dāng)力與軸平行時(shí)(此時(shí))。力對(duì)軸的矩的單位為N·m空間一般力系的合力矩定理空間任意力系的合力對(duì)于任一軸的矩等于各分力對(duì)同一軸的矩的代數(shù)和。根據(jù)合力矩定理，得即力對(duì)軸之矩的解析式力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(x，y，z)力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為X、Y、Z，力對(duì)軸之矩的解析表達(dá)式例6—3手柄ABCE在平面Axy內(nèi)，在D處作用一個(gè)力F，如圖所示，它在垂直于y軸的平面內(nèi)，偏離鉛直線的角度為。如果CD＝a，桿BC平行于x軸，桿CE平行于y軸，AB和BC的長(zhǎng)度都等于l。試求力F對(duì)x、y和z三軸的矩。根據(jù)合力矩定理解：解法一將力F沿坐標(biāo)軸分解解法二力F在x、y、z軸的投影為力作用點(diǎn)D的坐標(biāo)為空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過(guò)匯交點(diǎn)。方向余弦合力的大小§6-4

空間一般力系的平衡條件空間匯交力系平衡的必要和充分條件為：該力系的合力等于零，即空間匯交力系的平衡方程空間匯交力系平衡的必要和充分條件為：該力系中所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。（三個(gè)方程，可求解三個(gè)未知量）例6—4如圖所示，用起重桿吊起重物。起重桿的A端用球鉸鏈固定在地面上，而B(niǎo)端則用繩CB和DB拉住，兩繩分別系在墻上的點(diǎn)C和D，連線CD平行于x軸。已知：CE=EB＝DE，。CDB平面與水平面間的夾角，物重。如起重桿的重量不計(jì)，試求起重桿所受的壓力和繩子的拉力。解：取起重桿AB與重物為研究對(duì)象。取坐標(biāo)軸如圖所示。由已知條件知：列平衡方程解得空間力偶對(duì)剛體的作用效果決定于下列三個(gè)因素(2)力偶作用面的方位；(1)力偶矩的大??；(3)力偶的轉(zhuǎn)向。矢的指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋規(guī)則。注：力偶對(duì)剛體的作用完全由力偶矩矢所決定。空間力偶用一個(gè)矢量，力偶矩矢M表示：矢的長(zhǎng)度表示力偶矩的大小矢的方位與力偶作用面的法線方位相同，空間力偶系的合成與平衡條件任意個(gè)空間分布的力偶可合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即合力偶矩矢的解析表達(dá)式為合力偶矩矢的大小方向余弦空間力偶系平衡的必要和充分條件是：該力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即由上式，有欲使上式成立，必須同時(shí)滿足空間力偶系的平衡方程空間力偶系平衡的必要和充分條件為：該力偶系中所有各力偶矩矢在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。（三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，求解三個(gè)未知量）空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化·主矢和主矩力的平移定理空間任意力系空間匯交力系空間力偶系空間匯交力系合成一力，作用線通過(guò)點(diǎn)O，其大小和方向等于力系的主矢，即空間力偶系合成為一力偶，等于各附加力偶矩矢的矢量和，又等于原力系各力對(duì)于點(diǎn)O之矩的矢量和，即原力系對(duì)點(diǎn)O的主矩力系主矢的大小方向余弦力系對(duì)點(diǎn)O的主矩的大小方向余弦飛機(jī)在飛行時(shí)受到重力、升力、推力和阻力等力組成的空間任意力系的作用。將力系向飛機(jī)的重心O簡(jiǎn)化。力三個(gè)作用于重心O的正交分力力偶矩矢三個(gè)繞坐標(biāo)軸的分力偶有效推進(jìn)力；有效升力；側(cè)向力；滾轉(zhuǎn)力矩；偏航力矩；俯仰力矩?？臻g任意力系平衡的必要和充分條件是：這力系的主矢和對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都等于零，即可將上述條件寫(xiě)成空間任意力系的平衡方程注：1.與平面力系相同，空間力系的平衡方程也有其它的形式。2.六個(gè)獨(dú)立的平衡方程，求解六個(gè)未知量。3.可以從空間任意力系的普遍平衡規(guī)律中導(dǎo)出特殊情況的平衡規(guī)律，例如空間平行力系、空間匯交力系和平面任意力系等平衡方程。例：設(shè)物體受一空間平行力系作用。令z軸與這些力平行，則自動(dòng)滿足。因此，空間平行力系只有三個(gè)平衡方程，即：例6—5如圖所示的三輪小車，自重P＝8kN，作用于點(diǎn)E，載荷，作用于點(diǎn)C。求小車靜止時(shí)地面對(duì)車輪的反力。解：以小車為研究對(duì)象。解得例6—6如圖所示，皮帶的拉力，曲柄上作用有鉛垂力F=2000N。已知皮帶輪的直徑D＝400mm，曲柄長(zhǎng)R＝300mm，皮帶1和2與鉛垂線間夾角分別為，。求皮帶拉力和軸承反力。解：以整個(gè)軸為研究對(duì)象。又有解得無(wú)論怎樣列方程，獨(dú)立平衡方程的數(shù)目只有6個(gè)。每個(gè)方程中最好只包含—個(gè)未知量。一般，力矩方程比較靈活，常可使一個(gè)方程只含一個(gè)未知量。為此，在選投影軸時(shí)應(yīng)盡量與其余未知力垂直；在選取矩的軸時(shí)應(yīng)盡量與其余的未知力平行或相交。投影軸不必相互垂直、取矩的軸也不必與投影軸重合。例6—7如圖所示均質(zhì)長(zhǎng)方板由六根直桿支持于水平位置，直桿兩端各用球鉸鏈與板和地面連接。板重為P，在A處作用一水平力F，且F=2P。求各桿的內(nèi)力。解：取長(zhǎng)方體剛板為研究對(duì)象，各支桿均為二力桿，設(shè)它們均受拉力。解得（壓力）解得解得解得§6—5重心1．概念及坐標(biāo)公式重力是一個(gè)分布力系，可視為空間平行力系。一般所謂重力，就是這個(gè)空間平行力系的合力。重心：不變形的物體(剛體)在地表面無(wú)論怎樣放置，其平行分布重力的合力作用線通過(guò)的此物體—個(gè)確定的點(diǎn)。重心在工程實(shí)際中具有重要的意義。如重心的位置會(huì)影響物體的平衡和穩(wěn)定。通過(guò)平行力系的合力可以推導(dǎo)物體重心的坐標(biāo)公式。這些公式也可用于確定物體的質(zhì)量中心、面積形心和液體的壓力中心等。平行力系中心將物體分割成許多微小體積，每小塊體積為，所受重力為。這些重力組成平行力系合力取直角坐標(biāo)系Oxyz，使重力及其合力與z軸平行。設(shè)任一微體的坐標(biāo)為xi

，yi，zi，重心C的坐標(biāo)為xc

，yc，zc

。根據(jù)合力矩定理，對(duì)x軸取矩，有對(duì)y軸取矩有將物體連同坐標(biāo)系一起繞x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)，使y軸向下，再對(duì)x軸取矩，得由以上三式可得計(jì)算重心坐標(biāo)的公式，即如果物體是均質(zhì)的，單位體積的重量＝常值,以表示微小體積，物體總體積為，將代入上式，得均質(zhì)物體的重心與其單位體積的重量(比重)無(wú)關(guān)，僅決定于物體的形狀。這時(shí)的重心稱為形心。均質(zhì)等厚薄殼的重心（面積的重心）公式注：曲面的重心一般不在曲面上，而相對(duì)于曲面位于確定的一點(diǎn)。均質(zhì)等截面細(xì)長(zhǎng)線段的重心（線段的重心）公式注：曲線的重心一般不在曲線上。2.確定物體重心的方法如均質(zhì)物體有對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，則該物體的重心必相應(yīng)地在這個(gè)對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心上。(1)用組合法求重心若一個(gè)物體由幾個(gè)簡(jiǎn)單形狀的物體組合而成，而這些物體的重心是已知的，那么整個(gè)物體的重心坐標(biāo)(a)分割法例1試求Z形截面重心的位置，其尺寸如圖所示。解：將該圖形分割為三個(gè)矩形。重心分別，，；面積分別為，，。由圖得該截面重心的坐標(biāo)(b)