第15章機械振動和電磁振蕩第五版

第四篇振動和波動

第十五章機械振動和電磁振蕩§15-1簡諧振動1.簡諧振動的特征及其表達式

簡諧振動：物體運動時，離開平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時間變化。簡諧振動的特征及其表達式彈簧振子：連接在一起的一個忽略了質(zhì)量的彈簧和一個不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)?；貜?fù)力：作簡諧運動的質(zhì)點所受的沿位移方向的合外力,該力與位移成正比且反向。

簡諧振動的動力學(xué)特征:

據(jù)牛頓第二定律，得令運動學(xué)特征簡諧振動的特征及其表達式位移之解可寫為：或

簡諧振動的運動學(xué)特征:物體的加速度與位移成正比而方向相反，物體的位移按余弦規(guī)律變化。速度加速度簡諧振動的特征及其表達式簡諧振動中質(zhì)點位移、速度、加速度與時間的關(guān)系:簡諧振動的特征及其表達式常量和的確定在到之間，通常存在兩個值，可根據(jù)進行取舍。根據(jù)初始條件：

時，,，得簡諧振動的特征及其表達式2.簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位(1)振幅:

物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。由初始條件確定(2)周期和頻率

周期：物體作一次完全運動所經(jīng)歷的時間。頻率：單位時間內(nèi)物體所作完全運動的次數(shù)。角頻率:

物體在秒內(nèi)所作的完全運動的次數(shù)。對于彈簧振子，因有，得:利用上述關(guān)系式，簡諧振動表達式：簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位(3)相位和初相相位：決定簡諧運動狀態(tài)的物理量。初相位：t

=0時的相位。相位概念可用于比較兩個諧振動之間在振動步調(diào)上的差異。設(shè)有兩個同頻率的諧振動，表達式分別為：二者的相位差為：簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位(b)當(dāng)時,稱兩個振動為反相；(d)當(dāng)時,稱第二個振動落后第一個振動。(c)當(dāng)時,稱第二個振動超前第一個振動；討論:相位可以用來比較不同物理量變化的步調(diào)，對于簡諧振動的位移、速度和加速度，存在:(a)當(dāng)時,稱兩個振動為同相；簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位3.簡諧振動的矢量圖示法采用旋轉(zhuǎn)矢量法，可直觀地領(lǐng)會簡諧振動表達式中各個物理量的意義。旋轉(zhuǎn)矢量:一長度等于振幅A的矢量在紙平面內(nèi)繞O點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，其角速度與諧振動的角頻率相等，這個矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。簡諧振動的矢量圖示法振動相位逆時針方向ω

M

點在

x

軸上投影(P點)的運動規(guī)律：

的長度旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)的方向與參考方向x的夾角XOMPx振幅A振動圓頻率簡諧振動的矢量圖示法速度、加速度的旋轉(zhuǎn)矢量表示法：

沿X軸的投影為簡諧運動的速度、加速度表達式。M

點:簡諧振動的矢量圖示法兩個同頻率的簡諧運動：相位之差為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為：簡諧振動的矢量圖示法

例15-1一物體沿X軸作簡諧振動，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時,物體的位移x=0.06m,且向X軸正向運動。求:(1)簡諧振動表達式;(2)t=T/4時物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x=-0.06m向

X軸負(fù)方向運動，第一次回到平衡位置所需時間。解:(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點,諧振動方程寫為：其中A=0.12m,T=2s,初始條件：t=0,x0=0.06m,可得據(jù)初始條件得簡諧振動的矢量圖示法(2)由(1)求得的簡諧振動表達式得:在t=T/4=0.5s時，從前面所列的表達式可得簡諧振動的矢量圖示法(3)當(dāng)x=-0.06m時，該時刻設(shè)為t1,得因該時刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去，設(shè)物體在t2時刻第一次回到平衡位置，相位是因此從x=-0.06m處第一次回到平衡位置的時間：另解：從t1時刻到t2時刻所對應(yīng)的相差為：簡諧振動的矢量圖示法4.幾種常見的簡諧振動(1)單擺重物所受合外力矩：據(jù)轉(zhuǎn)動定律，得到很小時(小于)，可取令,有轉(zhuǎn)角的表達式可寫為：角振幅

和初相由初始條件求得。單擺周期與角振幅

的關(guān)系為為很小時單擺的周期。根據(jù)上述周期的級數(shù)公式，可以將周期計算到所要求的任何精度。幾種常見的簡諧振動(2)復(fù)擺一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復(fù)擺。剛體的質(zhì)心為C,對過O

點的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J,O、C兩點間距離為h。令據(jù)轉(zhuǎn)動定律，得若角度較小時幾種常見的簡諧振動

例15-2一質(zhì)量為m

的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為h，如不計水的阻力，求此船在豎直方向的振動周期。解:船靜止時浮力與重力平衡，船在任一位置時，以水面為坐標(biāo)原點,豎直向下的坐標(biāo)軸為y軸，船的位移用y表示。幾種常見的簡諧振動船的位移為y時船所受合力為：船在豎直方向作簡諧振動，其角頻率和周期為:因得:幾種常見的簡諧振動5.簡諧振動的能量動能勢能以水平彈簧振子為例討論簡諧振動系統(tǒng)的能量。系統(tǒng)總的機械能：簡諧振動的能量考慮到，系統(tǒng)總能量為，表明簡諧振動的機械能守恒。能量平均值上述結(jié)果對任一諧振系統(tǒng)均成立。諧振子的動能、勢能和總能量隨時間的變化曲線:簡諧振動的能量例15-3一勻質(zhì)細桿AB的兩端,用長度都為l且不計質(zhì)量的細繩懸掛起來,當(dāng)棒以微小角度繞中心軸

扭動時，求證其運動周期為：。解：設(shè)棒長為2R,質(zhì)量為m，在棒扭動時,其質(zhì)心沿

上下運動。因扭動角度

很小，可近似認(rèn)為細棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。扭動角度為

時,細棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動角度為q，則有簡諧振動的能量hc是棒的質(zhì)心相對棒平衡時質(zhì)心位置的高度,有系統(tǒng)機械能守恒將上式兩端對時間求導(dǎo)，并利用關(guān)系得證。常量簡諧振動的能量

例15-4勁度系數(shù)為k、原長為l、質(zhì)量為m的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為M的物體，在光滑水平面內(nèi)作直線運動。求解其運動。解：平衡時O點為坐標(biāo)原點。物體運動到x處時，彈簧固定端位移為零，位于M一端位移為x。當(dāng)物體于x處時,彈簧元ds的質(zhì)量,位移為速度為彈簧、物體的動能分別為：簡諧振動的能量系統(tǒng)彈性勢能為系統(tǒng)機械能守恒，有將上式對時間求導(dǎo)，整理后可得因此，彈簧質(zhì)量小于物體質(zhì)量，且系統(tǒng)作微運動時，彈簧振子的運動可視為是簡諧運動。常數(shù)解畢。常數(shù)簡諧振動的能量§15-2阻尼振動

振動物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用下所作的振動，稱為無阻尼自由振動。

在回復(fù)力和阻力作用下的振動稱為阻尼振動。阻尼：消耗振動系統(tǒng)能量的原因。阻尼種類：摩擦阻尼輻射阻尼

對在流體(液體、氣體)中運動的物體，當(dāng)物體速度較小時，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示為

：阻力系數(shù)在阻力作用下的彈簧振子

阻尼振動受力：運動方程:引入

阻尼因子

固有頻率在小阻尼條件下，微分方程的解為:其中阻力彈性恢復(fù)力其中

和為積分常數(shù),由初始條件決定。上式中的余弦項表征了在彈性力和阻力作用下的周期運動；反映了阻尼對振幅的影響。阻尼振動的準(zhǔn)周期性減幅振動

阻尼振動阻尼振動不是周期性振動，更不是簡諧振動，因位移不是時間的周期函數(shù)。但阻尼振動有某種重復(fù)性。位移相繼兩次達到極大值的時間間隔叫做阻尼振動的周期，有顯而易見，由于阻尼，振動變慢了。阻尼振動的振幅為：振幅隨時間作指數(shù)衰減。阻尼大小決定了阻尼振動振幅的衰減程度。

阻尼振動阻尼振動的三種情形：臨界阻尼過阻尼欠阻尼欠阻尼過阻尼臨界阻尼通過控制阻尼的大小，以滿足不同實際需要。

阻尼振動§15-3受迫振動共振1.受迫振動

物體在周期性外力的持續(xù)作用下發(fā)生的振動稱為受迫振動。物體所受驅(qū)動力：運動方程：設(shè)受迫振動對于阻尼較小的情形，運動方程之解表為:衰減項穩(wěn)態(tài)項經(jīng)過一段時間后，衰減項忽略不計，僅考慮穩(wěn)態(tài)項。穩(wěn)態(tài)時振動物體速度：在受迫振動中，周期性的驅(qū)動力對振動系統(tǒng)提供能量，另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量，若二者相等，則系統(tǒng)達到穩(wěn)定振動狀態(tài)。受迫振動2.共振對于受迫振動，當(dāng)外力幅值恒定時，穩(wěn)定態(tài)振幅隨驅(qū)動力的頻率而變化。當(dāng)驅(qū)動力的角頻率等于某個特定值時，位移振幅達到最大值的現(xiàn)象稱為位移共振。阻尼=0阻尼較小阻尼較大根據(jù)共振共振受迫振動速度在一定條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象稱為速度共振。根據(jù)共振

在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以認(rèn)為等同。阻尼=0阻尼較小阻尼較大§15-4電磁振蕩1.LC電路的振蕩

電路中電壓和電流的周期性變化稱為電磁振蕩。LC振蕩電路向左合上開關(guān)K，使電源給電容器充電，然后將開關(guān)K接通LC回路，出現(xiàn)電磁振蕩效應(yīng)。LC電路的振蕩LC

回路與彈簧振子振動的類比LC回路與彈簧振子振動的類比

在LC電路中，電荷與電流(電場能量與磁場能量)隨時間作周期性變化，且不斷相互轉(zhuǎn)換。若電路中無能量損耗，這種變化將一直持續(xù)下去，這種現(xiàn)象稱為無阻尼自由振蕩。LC電路的振蕩設(shè)某一時刻電容器極板上電量為q,電路中電流為i，取LC回路的順時針方向為電流正向，得到(因)Q0是電荷振幅，是振蕩初相，均由初始條件確定。LC

回路自由振蕩角頻率LC電路的振蕩將電量表達式對時間求導(dǎo)，得到電流表達式：其中為電流振幅。從前述分析結(jié)果可知，電量和電流都作簡諧振動。設(shè)t時刻電容器極板上電量為q，相應(yīng)的電場能量為：此刻電流為i，則線圈中的磁場能量為:LC電路的振蕩將電場和磁場能量相加，并利用，得上式表明，盡管電能和磁能均隨時間變化，但總能量守恒。LC電路的振蕩2.

阻尼振蕩事實上，任何電路都有電阻，LC電路應(yīng)為LCR電路。將LCR

振蕩與機械振動相類比，得:阻尼振蕩在小阻尼條件下()，得:

在LCR電路中，能量不僅以電場能和磁場能的形式相互轉(zhuǎn)換，而且還要轉(zhuǎn)變?yōu)榻苟鸁?，同時還有部分能量以電磁波的形式輻射出去。若沒有電源對電路提供能量，則LCR電路中電荷或電流作減幅振蕩。3.

受迫振蕩電共振

LRC

電路在外加周期性電動勢持續(xù)作用下產(chǎn)生的振蕩，稱為受迫振蕩。受迫振蕩微分方程：電動勢穩(wěn)態(tài)解受迫振蕩電共振其中—感抗—容抗—電抗—阻抗

當(dāng)電路滿足

時，電流振幅最大，這種現(xiàn)象稱為電共振。電流振幅最大值4.力電類比

鑒于電磁振蕩和機械振動的規(guī)律類似，應(yīng)用力電類比可把電磁振蕩和機械振動對應(yīng)起來，具體關(guān)系如下表所示：機械振動電磁振蕩(串聯(lián)電路)位移x速度v質(zhì)量m勁度系數(shù)k阻力系數(shù)g驅(qū)動力F彈性勢能kx2/2動能mv2/2電荷q電流i電感L電容的倒數(shù)1/C電阻R電動勢e電場能量q2/2C磁場能量Li2/2§15-5同方向的簡諧振動的合成1.同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成設(shè)一質(zhì)點同時參與沿同一方向(x

軸)的兩個獨立的同頻率的簡諧振動，兩個振動位移為：合位移：合振動仍然是簡諧振動，其方向和頻率與原來相同。同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成矢量沿X

軸之投影表征了合運動的規(guī)律。旋轉(zhuǎn)矢量圖示法同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成(1)當(dāng)Df=f

20-f10=2kp

(k=0及正負(fù)整數(shù))，cos(f20-f10)=1,有同相迭加，合振幅最大。(2)當(dāng)Df=f

20-f10=(2k+1)p(k=0及正負(fù)整數(shù)),cos(f20-f10)=-1,有反相迭加，合振幅最小。當(dāng)A1=A2時，A=0。(3)通常情況下，合振幅介于和之間。討論：同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成例15-4

N個同方向、同頻率的簡諧振動，它們的振幅相等，初相分別為0,a,2a,...,依次差一個恒量a，振動表達式可寫成求它們的合振動的振幅和初相。

解:采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問題得到簡化，從而避開煩瑣的三角函數(shù)運算。根據(jù)矢量合成法則，N個簡諧振動對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合成如下圖所示：同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成因各個振動的振幅相同且相差依次恒為

a，上圖中各個矢量的起點和終點都在以C為圓心的圓周上，根據(jù)簡單的幾何關(guān)系，可得同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成

在三角形DOCM中,OM的長度就是和振動位移矢量的位移,角度就是和振動的初相，據(jù)此得考慮到當(dāng)時(同相合成)，有同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成2.同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成拍兩個簡諧振動合成得：當(dāng)兩個同方向簡諧振動的頻率不同時，在旋轉(zhuǎn)矢量圖示法中兩個旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動角速度不相同，二者的相位差與時間有關(guān)，合矢量的長度和角速度都將隨時間變化。兩個簡諧振動的頻率和很接近，且x=x1+

x2同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成拍因或有

在兩個簡諧振動的位移合成表達式中，第一項隨時間作緩慢變化,第二項是角頻率近于

的簡諧函數(shù)。合振動可視為是角頻率為

、振幅為的簡諧振動?；?/p>

合振動的振幅隨時間作緩慢的周期性的