第16講 時諧電磁場(II)

電磁場與電磁波Field

and

Wave

Electromagnetics主講：史琰Review2023/2/3shiyan@2時諧場量與其相量間的關(guān)系復(fù)數(shù)（頻域）形式的Maxwell方程組極化磁化傳導(dǎo)介電常數(shù)(電容率)磁導(dǎo)率電導(dǎo)率靜態(tài)場時變電磁場正數(shù)復(fù)數(shù)2023/2/3shiyan@3實(shí)常數(shù)Review虛部反映介質(zhì)的損耗注：金屬導(dǎo)體的電導(dǎo)率在直到紅外線的整個射頻范圍內(nèi)均可看作實(shí)數(shù)，且與頻率無關(guān)復(fù)介質(zhì)參數(shù)：等效復(fù)介電常數(shù)損耗角正切（反映介質(zhì)在該頻率的損耗大?。┑刃?fù)介電常數(shù)等效位移電流2023/2/3shiyan@4電介質(zhì)損耗與電導(dǎo)率同時考慮Review第16講時諧電磁場(I)2023/2/3shiyan@5復(fù)坡印亭矢量復(fù)坡印亭定理時變電磁場的唯一性定理波動方程復(fù)坡印亭矢量2023/2/3shiyan@6對正弦電磁場，當(dāng)場矢量用復(fù)數(shù)表示時：復(fù)坡印亭矢量2023/2/3shiyan@7對于正弦電磁場，場量隨時間作周期性的簡諧變化，每一點(diǎn)處瞬時電磁功率密度的時間平均值更具有時間意義：Note1：周期T=2π/ω；Note2：為復(fù)坡印廷矢量，與時間t無關(guān)，表示復(fù)功率 流密度；Note3：實(shí)部為平均功率流密度(有功功率流密度)，虛 部為無功功率流密度；Note4：Sav稱為平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量復(fù)坡印亭矢量2023/2/3shiyan@8電場能量密度、磁場能量密度的復(fù)數(shù)表示及平均值：復(fù)坡印亭矢量2023/2/3shiyan@9源輸出功率密度、導(dǎo)電損耗功率密度的復(fù)數(shù)表示及平均值：各向同性線性介質(zhì)的坡印亭定理（無介質(zhì)損耗情況下）時間平均的坡印亭定理復(fù)坡印亭定理2023/2/3shiyan@10考慮矢量恒等式復(fù)坡印亭定理2023/2/3shiyan@11復(fù)矢量表示的坡印廷定理，稱為復(fù)坡印廷定理若設(shè)宏觀電磁參數(shù)σ為實(shí)數(shù)，磁導(dǎo)率和介電常數(shù)為復(fù)數(shù)復(fù)坡印亭定理2023/2/3shiyan@12重新回顧電場能量密度、磁場能量密度的復(fù)數(shù)表示及平均值：有介質(zhì)損耗情況下復(fù)坡印亭定理2023/2/3shiyan@13重新回顧Maxwell方程（有介質(zhì)損耗情況下）：導(dǎo)電損耗功率密度的復(fù)數(shù)表示及平均值介質(zhì)損耗功率密度的平均值復(fù)坡印亭定理這里pav,c、pav,e、pav,m分別是單位體積內(nèi)的導(dǎo)電損耗功率、極化損耗功率和磁化損耗功率的時間平均值。分別取實(shí)部和虛部：2023/2/3shiyan@14復(fù)坡印亭定理2023/2/3shiyan@15對于一個任意的時諧場，電場與磁場通常有一個相位差。電場能量在某些時刻達(dá)到最大值，磁場能量在其他的時刻達(dá)到最大值。在一個周期中，在某個時刻部分磁場能量轉(zhuǎn)換為電場能量，在另一時刻，部分電場能量轉(zhuǎn)換為磁場能量，這就類比于LC振蕩電路，即在某一時刻電感中儲存的能量轉(zhuǎn)換為電容中的能量，在另一時刻電容中儲存的能量轉(zhuǎn)換為電感中的能量。假定在體積V中，最大的電場能量大于最大的磁場能量，當(dāng)電場能量達(dá)到最大值時，此時額外的功率被需要。在另一時刻，當(dāng)電場能量減小，磁場能量達(dá)到最大值時，這部分功率就必須消失。這部分額外的功率稱為感應(yīng)功率(reactivepower)。由功率守恒可知，這部分功率要么來自于源，要么來自于體積V的外部。時間平均的坡印亭定理復(fù)坡印亭定理2023/2/3shiyan@16若感應(yīng)功率來自于源的功率在一個周期內(nèi)，在某一時刻被源產(chǎn)生，在另一時刻被源拿走。類似地，若感應(yīng)功率來自于體積V的外部的功率，在一個周期內(nèi)，在某一時刻進(jìn)入體積V中，在另一時刻又離開體積V中。進(jìn)一步考慮時變的情況復(fù)坡印亭定理例1已知無源(ρ=0,J=0)的自由空間中時變電磁場的電場強(qiáng) 度復(fù)矢量式中k、E0為常數(shù)。求：(1)磁場強(qiáng)度復(fù)矢量；(2)坡印廷矢量的瞬時值；(3)平均坡印廷矢量。[解](1)2023/2/3shiyan@17復(fù)坡印亭定理(2)電場、磁場的瞬時值為坡印廷矢量的瞬時值為

(3)平均坡印廷矢量：2023/2/3shiyan@18時變電磁場的唯一性定理2023/2/3shiyan@19[反證法]：假設(shè)有兩組解都是體積V中滿足麥克斯韋方程組、邊界條件和初始條件的解，令時變電磁場的唯一性定理對于t>0的所有時刻，由曲面S所圍成的閉合域V內(nèi)的電磁場是由V內(nèi)的電磁場E、H在t=0時刻的初始值以及t≥0時刻邊界面S上的切向電場或切向磁場唯一確定。時變電磁場的唯一性定理2023/2/3shiyan@20則可得考慮矢量恒等式時變電磁場的唯一性定理2023/2/3shiyan@21考察邊界條件：由假設(shè)知兩組解滿足相同的切向邊界條件，則利用矢量恒等式：從而可得于是有時變電磁場的唯一性定理2023/2/3shiyan@22由假設(shè)知兩組解滿足相同的初始條件，因此t=0時刻最終可得，t≥0時即，唯一性定理得證。時變電磁場的唯一性定理2023/2/3shiyan@23只要給定時變電磁場的初始值及電場或磁場在邊界面上的切向分量就一定能確定該時變電磁場的分布；對于一個封閉曲面包圍的區(qū)域，或者給定曲面上電場的切向分量，或者給定曲面上磁場的切向分量，又或者給定部分曲面上電場的切向分量以及其他曲面上磁場的切向分量，那么區(qū)域內(nèi)的場能被唯一確定；為了能由麥克斯韋方程組求解出時變電磁場，一般需要同時應(yīng)用邊界面上的電場和磁場切向分量邊界條件。波動方程2023/2/3shiyan@24電磁波的存在是麥克斯韋方程組的一個重要結(jié)果，1865年，麥克斯韋從他的方程組推導(dǎo)出波動方程，并得到電磁波波速的一般表示式，預(yù)言了電磁波的存在及電磁波與光波的同一性。麥克斯韋第一方場和第二方程說明：變化的電場激發(fā)磁場，變化的磁場激發(fā)電場一旦交變的場源在空間激發(fā)起電磁場，由于電場和磁場的相互激發(fā)，即使場源消失，電磁場仍可獨(dú)立地存在，并由近及遠(yuǎn)地向外傳播，從而形成電磁波任何波動都滿足一個共同的規(guī)律——波動方程。波動方程2023/2/3shiyan@25考慮媒質(zhì)均勻、線性、各向同性的無源區(qū)域(J=0,ρ=0)且σ=0的情況，這時麥克斯韋方程變?yōu)椴▌臃匠?023/2/3shiyan@26同理可得無源無耗區(qū)域的瞬時值矢量齊次波動方程求解方法有兩種： 直接求解矢量方程將矢量方程分解為標(biāo)量方程求解直角坐標(biāo)系下的標(biāo)量波動方程只有在直角坐標(biāo)系下，每個標(biāo)量方程才能只含一個未知函數(shù)，其它正交曲線坐標(biāo)系中矢量波動方程得到的標(biāo)量波動方程都有復(fù)雜的形式。波動方程2023/2/3shiyan@27復(fù)數(shù)形式的正弦電磁場波動方程矢量齊次亥姆霍茲方程解必須滿足相應(yīng)地散度為零的條件波數(shù)波動方程2023/2/3shiyan@28若介質(zhì)有耗，即介電常數(shù)和磁導(dǎo)率為復(fù)數(shù)，則k也相應(yīng)的變?yōu)閺?fù)數(shù)：若是導(dǎo)電介質(zhì)，則需用等效復(fù)介電常數(shù)代替原介電常數(shù)；波動方程的解表示時變電磁場將以波動形式傳播，構(gòu)成電磁波；波動方程的解是一個沿某一方向以光速傳播的電磁波；研究電磁波的傳播問題歸結(jié)為在給定邊界條件和初始條件下求解波動方程的問題。波動方程=02023/2/3shiyan@29例2在無源區(qū)求均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度滿足 的波動方程。[解]由于求解問題為均勻?qū)щ娒劫|(zhì)和無源區(qū)域，由麥克斯韋方程組有波動方程2023/2/3shiyan@30電場強(qiáng)度E滿足的波動方程為磁場強(qiáng)度H滿足的波動方程為時變電磁場的位函數(shù)非齊次矢量波動方程2023/2/3shiyan@31非齊次矢量波動方程回顧有源區(qū)域的Maxwell方程組：根據(jù)場源分布及變化可以由非齊次矢量波動方程求解空間場的分布，但是很多情況下，該方程很難求解。時變電磁場的位函數(shù)2023/2/3shiyan@32矢量磁位根據(jù)磁通連續(xù)性原理：利用矢量恒等式可以定義：考慮Maxwell方程：利用梯度場性質(zhì)可知：

稱為矢量磁位，單位為Wb/m(韋伯/米)

稱為標(biāo)量位，單位為V(伏)

和的取值具有多值性：即，若、確定的電磁場滿足Maxwell方程組，那么、也必能確定滿足Maxwell方程組的場解。時變電磁場的位函數(shù)

稱為矢量磁位，單位為Wb/m(韋伯/米)

稱為標(biāo)量位，單位為V(伏)

和的取值具有多值性：即，若、確定的電磁場滿足Maxwell方程組，那么、也必能確定滿足Maxwell方程組的場解。2023/2/3shiyan@33時變電磁場的位函數(shù)2023/2/3shiyan@34洛倫茲規(guī)范根據(jù)亥姆霍茲定理，一個矢量場由其旋度和散度唯一確定。為了確定磁矢位，必須規(guī)定其散度。利用高斯定理：利用全電流定理：時變電磁場的位函數(shù)2023/2/3shiyan@35達(dá)朗貝爾方程兩個彼此相似而獨(dú)立的線性二階微分方程，在數(shù)學(xué)形式上稱為達(dá)朗貝爾方程；磁矢位的源是電流密度標(biāo)量位的源是電荷密度磁矢位和標(biāo)量位通過洛侖茲條件耦合在一起=時變電磁場的位函數(shù)2023/2/3shiyan@36洛倫茲條件或洛侖茲規(guī)范洛倫茲條件滿足電流連續(xù)性方程時變電磁場的位函數(shù)2023/2/3shiyan@37正弦電磁場的位函數(shù)正弦電磁場的洛倫茲條件正弦電磁場的位函數(shù)方程時變電磁場的位函數(shù)2023/2/3shiyan@38k2=ω2με采用位函數(shù)使原來求解電磁場量B和E的六個標(biāo)量分量變?yōu)榍蠼釧和φ的四個標(biāo)量分量標(biāo)量位φ可以由洛倫茲條件求得，進(jìn)一步將電磁場求解問題簡化為三個標(biāo)量分量的計算：洛倫茲條件是人為采用的散度值，若規(guī)定其它的散度值將會得到不同的位函數(shù)方程，但最終解得的場B和E是相同的。描述電磁場的位函數(shù)不僅限于這一種，可以有其它的輔助位函數(shù)，不同的位函數(shù)對應(yīng)于相應(yīng)的物理模型。例3

已知時變電磁場中矢量位