第二章《機械制圖》多面正投影(課件文件)

2023/2/4機械制圖仝基斌1第2章多面正投影

本章教學(xué)目的與要求

1、掌握正投影法原理和三視圖的形成;

2、掌握點的投影規(guī)律；

熟悉點的投影與該點坐標(biāo)間關(guān)系；（重點）

熟悉兩點的相對位置及重影點；（難點）

3、熟練掌握各種空間位置直線的投影特征；（重點）*掌握一般位置直線求實長（直角三角形法）；（難點）

熟練掌握直線上的點和直線的關(guān)系；

熟練掌握兩直線的相對位置：平行、相交、交叉；（難點）

4、熟悉平面的投影表示法和各種位置平面的投影特征；（重點）

熟練掌握平面上如何取點和線；（重點）

熟練掌握平行、相交、*垂直問題的有關(guān)基本作圖問題；（難點）*5、掌握換面法中的四個基本問題；*6、綜合運用所學(xué)投影原理知識，靈活解題

（難點）下一頁2023/2/4機械制圖仝基斌2第一節(jié)投影法和物體三視圖的形成一、投影法的概念

物體在光線照射下，就會在地面或墻壁上產(chǎn)生影子。人們根據(jù)這種自然現(xiàn)象加以抽象研究，總結(jié)其中規(guī)律，提出投影的方法。下圖是投影法產(chǎn)生的原理圖。點S稱為投射中心，平面P稱為投影面，直線SAa稱為投射線。這種產(chǎn)生圖像的方法稱為投影法。投影原理圖

中心投影法動畫演示上一頁下一頁回章節(jié)目錄2023/2/4機械制圖仝基斌3斜投影法動畫上一頁下一頁回章節(jié)目錄1．中心投影法（應(yīng)用在建筑制圖上）2．平行投影法：斜投影法和正投影法斜投影法：平行投射線與投影面相傾斜，稱為斜投影法，投影稱為斜投影。正投影法：平行投射線與投影面相垂直，稱為正投影法，投影稱為正投影投影法。（應(yīng)用在機械制圖上）二、投影法分類

正投影法動畫

2023/2/4機械制圖仝基斌43.正投影的基本特性（1）實形性當(dāng)物體上的平面（或直線）與投影面平行時，投影反映實形（或?qū)嶉L）。（2）積聚性當(dāng)物體上的平面（或柱面、直線）與投影面垂直時，則在投影面上的投影積聚為直線（或曲線、點）。（3）類似性當(dāng)物體上的平面（或直線）與投影面傾斜時，其投影的面積變小了（或長度縮短），但投影的形狀仍與原來的形狀類似。

回章節(jié)目錄下一頁上一頁2023/2/4機械制圖仝基斌5三、物體的三視圖1.三面投影體系的建立

（V⊥H⊥W)上一頁下一頁回章節(jié)目錄三個投影面把空間分成八個分角，分別稱為Ⅰ（我國機械制圖用第一分角）、Ⅱ、Ⅲ（英、美等國家采用第三分角）、Ⅳ分角……2023/2/4機械制圖仝基斌6

在繪制機械圖樣時，將機件向投影面進行正投影所得的圖形稱為視圖。正投影面（V）→正面投影→主視圖（常反映機件形體主要特征）水平投影面（H）→水平投影→俯視圖側(cè)投影面（W）→側(cè)面投影→左視圖。

動畫上一頁下一頁回章節(jié)目錄2.三視圖的形成2023/2/4機械制圖仝基斌72.三視圖的對應(yīng)關(guān)系

(1)三視圖的度量關(guān)系（三等關(guān)系）主、俯視圖——長對正；主、左視圖——高平齊；俯、左視圖——寬相等。三視圖投影規(guī)律是畫圖和讀圖必須遵循的最基本的投影規(guī)律

(2)三視圖的方位關(guān)系

遠(yuǎn)離主視圖是物體的前面

注意：①一般說來，前后方向容易搞錯；

②在量取寬相等時，切忌把俯視圖的寬度方向尺寸量到左視圖的高度方向上去。

上一頁下一頁回章節(jié)目錄2023/2/4機械制圖仝基斌8

任何立體都可以看作是點的集合。點是基本幾何要素，研究點的投影性質(zhì)和規(guī)律是掌握其他幾何要素投影的基礎(chǔ)。如左圖所示，過空間點A向投影面作投射線（即垂線），A點在投影面上的投影為a。反之，若已知投影a，不能唯一確定點A的空間位置。確定一個空間點至少需要兩個投影。上一頁下一頁回章節(jié)目錄第二節(jié)點的投影2023/2/4機械制圖仝基斌9

V面投影，標(biāo)記a′稱正面投影A

點

與ox軸交點ax

H面投影，標(biāo)記a，稱正面投影分析：ox⊥Aa、

ox⊥a′ax、

ox⊥aax

投影平面展開連線得

aa′

⊥oxAa′=aaxa′ax=Aa上一頁下一頁回章節(jié)目錄一、點的兩面投影2023/2/4機械制圖仝基斌10（1）點的投影連線垂直于投影軸，即aa′⊥OX。（2）點的投影到投影軸的距離，反映該點到相鄰?fù)队懊娴木嚯x，即aax＝Aa′、a′ax＝Aa。

點在兩投影面體系中的投影規(guī)律上一頁下一頁回章節(jié)目錄思考：點A到哪個投影面距離近2023/2/4機械制圖仝基斌111.三投影面體系的建立

A

（空間點）到W面投影，標(biāo)記a“,稱側(cè)面投影得

a‘a(chǎn)“

⊥oz展開W、HOY軸一分為二OYh、OYw點三面投影動畫演示上一頁下一頁回章節(jié)目錄二、點在三投影面體系中的投影點三面投影展開動畫演示2023/2/4機械制圖仝基斌12（1）點的投影連線⊥相應(yīng)的投影軸。即a′a⊥OX、a′a″⊥OZ

（2）空間點到投影面的距離=該點在另外兩投影面的投影到相應(yīng)投影軸的距離。az

a″=a

ax=Aa′(寬y相等）作圖要求：作圖線用細(xì)實線，點用黑點標(biāo)出。上一頁下一頁回章節(jié)目錄2.點在三投影面體系中的投影規(guī)律：YH2023/2/4機械制圖仝基斌13分析：由于已知點A的正面投影和水平投影，則A點的空間位置可以確定，因此可作出其側(cè)面投影。作圖：過a作OYH的垂線與45o輔助線相交，過交點作OYW的垂線與過a′的水平線相交，交點即為

a″。a′aYwYhxoa″z上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例一】已知點A的正面投影a′和水平投影a，求A的側(cè)面投影a″。

動畫演示2023/2/4機械制圖仝基斌14xA＝aZa′＝aYHa＝a″A（點到W面的距離）yA＝＝aXa＝aZa″＝a′A（點到V面的距離）zA＝aXa′＝aYWa″＝aA（點到H面的距離）點的投影坐標(biāo)表示：a′（x,o,z)、a″（o,y,z)、a（x,y,o)三、點的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系下一頁上一頁回章節(jié)目錄1.點A（xA、yA、zA）的投影與坐標(biāo)關(guān)系：2023/2/4機械制圖仝基斌15投影面上點的投影特性：1）點的一個投影與空間點本身重合；

2）點的另兩個投影在相應(yīng)的坐標(biāo)軸上；投影軸上的點的投影特性：1）點的兩個投影與空間點本身重合；

2）點的另一個投影在原點；2.特殊位置點：下一頁上一頁回章節(jié)目錄2023/2/4機械制圖仝基斌16分析：由于yA＝0，則點A在V面上，而zB＝0，點B在H面上，又由于yC=0，zC=0，點COX軸上。作圖：（見下圖）YwxoYHza′aa″bb′b″c′c(c″)上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例二】已知點A的坐標(biāo)（20，0，10），點B的坐標(biāo)（30，10，0）；點C的坐標(biāo)（15，0，0），求作各點的三面投影圖。2023/2/4機械制圖仝基斌171.空間方位的約定：x坐標(biāo)增大的方向為向左的方向；y坐標(biāo)增大的方向為向前的方向；z坐標(biāo)增大的方向為向上的方向2.點的相對位置的判別：x坐標(biāo)→判別左右的方向；y坐標(biāo)→判別前后的方向

z坐標(biāo)→判別前后的方向上一頁下一頁回章節(jié)目錄三、兩點的相對位置兩點的相對位置動畫演示2023/2/4機械制圖仝基斌18【例三】已知點A的三面投影，并知B點在A點的左邊5mm,下邊10mm，后邊

5mm，求B點的三面投影zxywyhoa′a″ab′b″b上一頁下一頁回章節(jié)目錄2023/2/4機械制圖仝基斌19

當(dāng)兩點的某兩個坐標(biāo)相同時，該兩點將處于同一投射線上，因而在由相同兩坐標(biāo)確定的投影面上具有重合的投影，則這兩投影稱為對該投影面的重影點。重影點要判別可見性：由兩點不同的坐標(biāo)的大小判別，坐標(biāo)大的可見，反之不可見。不可見點加括號。上一頁下一頁回章節(jié)目錄四、重影點重影點動畫演示2023/2/4機械制圖仝基斌20上一頁下一頁回章節(jié)目錄第二節(jié)直線的投影（復(fù)習(xí)兩點的投影引入直線投影的概念）

一、概述一般位置直線（∠投影面，不反映實長）1.直線的分類投影面平行線（∥投影面、反映實長）特殊位置直線投影面垂直線（⊥投影面、積聚為一點）2.直線的投影特性

:直線的投影一般仍為直線（特殊為點）；直線的投影可連接線段兩個端點的同面投影來確定；直線的投影有類似性、真實性、積聚性等三個特性2023/2/4機械制圖仝基斌21與水平投影面的傾角用α表示正面投影面的傾角用β表示側(cè)面投影面的傾角用γ表示

上一頁下一頁回章節(jié)目錄退回總目錄3.直線與投影面夾角的約定2023/2/4機械制圖仝基斌221．投影面平行線：(∥一個投影面而，∠另外兩個投影面)

正平線(∥V面；∠H、W面）水平線(∥H面；∠V、W面）側(cè)平線(∥W面；∠V、H面）正平線動畫演示上一頁下一頁回章節(jié)目錄二、特殊位置直線水平線動畫演示側(cè)平線動畫演示2023/2/4機械制圖仝基斌23上一頁下一頁回章節(jié)目錄下表是正平線、水平線和側(cè)平線的投影圖及其投影特性（1）a′b′反映實長，反映角α、γ。（2）ab∥OX，a″b″∥OZ均小于實長。（1）a″b″反映實長，反映角α、β（2）a′b′∥OZab∥OYW均小于實長投影特性投影圖

正平線（AB∥V面）

水平線（AB∥H面）（1）ab反映實長，反映角β、γ。（2）a′b′∥OXa″b″∥OYH均小于實長。側(cè)平線（AB∥W面）名稱2023/2/4機械制圖仝基斌24投影面平行線的投影特性如下：1）∥投影面上的投影，反映實長；夾角分別反映直線對另兩投影面的真實傾角。2）另外兩個投影面上的投影∥相應(yīng)的投影軸，長度縮短。投影面平行線實例動畫下一頁上一頁回章節(jié)目錄2023/2/4機械制圖仝基斌25(⊥一個投影面而，∥另外兩個投影面)

正垂線(⊥V面；∥H、W面）鉛垂線(⊥H面；∥V、W面）側(cè)垂線(⊥W面；∥V、H面）正垂線鉛垂線側(cè)垂線上一頁下一頁回章節(jié)目錄2．投影面垂直線2023/2/4機械制圖仝基斌26上一頁下一頁回章節(jié)目錄正垂線（AB⊥V面）鉛垂線（AB⊥H面）側(cè)垂線（AB⊥W面）（1）ab積聚為一點（2）a′b′⊥OX，a″b″⊥OYW，a′b′、a″b″均反映實長。1）a″b″積聚為一點2）a′b′⊥OZ，ab⊥OYH，ab、a′b′均反映實長1）a′b′積聚為一點2）ab⊥OX，a″b″⊥OZ，ab,a″b″均反映實長名稱投影圖投影特性正垂線、鉛垂線和側(cè)垂線的投影及其投影特性2023/2/4機械制圖仝基斌27投影面垂直線的投影特性如下：（1）⊥投影面上的投影，積聚成一點。（2）另外兩個投影面上的投影，⊥相應(yīng)的投影軸，且反映實長。下一頁上一頁回章節(jié)目錄投影面垂直線實例動畫2023/2/4機械制圖仝基斌28（與三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線）

1.一般位置直線的投影特性為：（1）三個投影都與投影軸傾斜，長度都小于實長；（2）與投影軸的夾角都不反映直線對投影面的傾角。上一頁下一頁回章節(jié)目錄三、一般位置直線一般位置直線動畫演示2023/2/4機械制圖仝基斌29上一頁下一頁回章節(jié)目錄

*2.直角三角形法求直線實長及對投影面的傾角（1）求AB的實長和對投影面的傾角α（2）求AB的實長和對投影面的傾角β（3）求AB的實長和對投影面的傾角γ2023/2/4機械制圖仝基斌30|zA-zB

|AB1．求直線的實長及對水平投影面的夾角角|zA-zB|ABab|zA-zB||zA-zB|2023/2/4機械制圖仝基斌312．求直線的實長及對正面投影面的夾角

角|yA-yB|aXabbABab|yA-yB||yA-yB|AB|yA-yB|2023/2/4機械制圖仝基斌323．求直線的實長及對側(cè)面投影面的夾角

角ABbbabaa|xA-xB||xA-xB|2023/2/4機械制圖仝基斌33規(guī)律：用一般位置線的一個投影及對該面的坐標(biāo)差為二直角邊求作其實長和傾角的方法俗稱為直角三角形法。aa兩解30°aa兩解上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例四】：已知線段的實長AB,求它的水平投影ab。

（思考：已知β=30°，求它的水平投影ab）2023/2/4機械制圖仝基斌341.從屬性：點在線上，則點的各個投影必定在該直線的同面投影上，反之,點的各個投影在線的同面投影上,則該點一定在直線上。

利用這一特性可在線上找點或判斷已知點是否在線上。

2.定比性：點分線段長度比等于其投影分線段投影長度之比。

(定比定則AC：CB＝ac：cb＝a′c′：c′b′＝a″c″：c″b″利用這一特性在不作出側(cè)面投影的情況下，在線上找點或判斷已知點是否在線上。上一頁下一頁回章節(jié)目錄四、屬于直線上的點（線上找點）直線上點的投影動畫2023/2/4機械制圖仝基斌35cc[例題五]已知線段AB的投影圖，試將AB分成2﹕1兩段，求分點C的投影c、c

。2023/2/4機械制圖仝基斌36[例題六]已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。cccabc2023/2/4機械制圖仝基斌37上一頁下一頁回章節(jié)目錄（變化：已知m、m′判斷點M是否在AB上）思考：不求側(cè)面投影，用定比性來判斷點M是不是直線AB上的點。

2023/2/4機械制圖仝基斌38*【思考題】已知AB的投影，試定出屬于AB的點C的投影，使BC實長等于已知長度L。cc′BC實長L上一頁下一頁回章節(jié)目錄小結(jié)：

（1）特殊位置線投影，能熟練畫出（2）直角三角形法求實長及α、β角的靈活應(yīng)用（3）定比定則和直角三角形法的綜合應(yīng)用2023/2/4機械制圖仝基斌39空間兩直線的相對位置有三種情況：平行、相交（亦稱共面直線）交叉（亦稱異面直線）

1．兩直線平行若空間兩直線平行，則三個面同面投影必定互相平行。反之，若直線同面投影都（三面）互相平行，則兩直線在空間必定互相平行。上一頁下一頁回章節(jié)目錄五、兩直線的相對位置兩直線平行動畫2023/2/4機械制圖仝基斌40【例七】判斷兩側(cè)平線AB、CD的相對位置（如下圖

）AB、CD平行上一頁下一頁回章節(jié)目錄注意：1)對于一般位置直線，有兩組同面投影相互平行，即可判斷空間兩直線相互平行。2)若直線為投影面的平行線，則要根據(jù)直線所平行的投影面上投影是否平行來斷定它們在空間是否平行。(即畫出第三面投影判斷)2023/2/4機械制圖仝基斌41【例八】判斷兩側(cè)平線AB、CD的相對位置（如下圖

）AB、CD交叉上一頁下一頁回章節(jié)目錄1″(2″)1′2′2023/2/4機械制圖仝基斌42注意：1)對兩一般位置線，若兩組同面投影都相交，且兩投影交點符合點的投影規(guī)律，則空間兩直線相交。

2)若兩直線有一直線為投影面平行面時，則兩組同面投影中必須包括直線所平行的投影面上的投影。(即畫出第三面投影判斷)上一頁下一頁回章節(jié)目錄2．相交兩直線：

空間兩直線若相交，它們的同面投影必定相交，且交點必定符合點的投影規(guī)律。相交兩直線動畫2023/2/4機械制圖仝基斌43c″d″a″b″1′1′d′c′1′ZyHyw方法二：定比定則（如右下圖）上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例九】判斷兩直線AB、CD的相對位置方法一：求第三投影2023/2/4機械制圖仝基斌44（1）交叉兩直線在同一投影面上的交點為對該投影面的一對重影點，可從另一投影中用前遮后、上遮下、左遮右的原則來判別它們的可見性。

重影點重影點ⅡⅠ上一頁下一頁回章節(jié)目錄3．交叉兩直線：

既不平行又不相交的兩直線稱為交叉兩直線。2023/2/4機械制圖仝基斌45（2）交叉兩直線的投影可能會有一組或二組是互相平行，但決不會三組同面投影都互相平行，（3）交叉兩直線的投影也可能是相交的，但各個投影的交點一定不符合同一點的投影規(guī)律。1″(2″)1′2′上一頁下一頁回章節(jié)目錄2023/2/4機械制圖仝基斌46e′f′f上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十】已知直線AB、CD的兩面投影和點E的水平投影e，求作直線EF與CD平行，并與AB相交于點F。2023/2/4機械制圖仝基斌47空間垂直相交的兩直線，若其中一直線為投影面平行線，則兩直線在該投影面上的投影互相垂直。也稱為直角投影定理。反之，相交兩直線在某一投影面上的投影互相垂直，若其中有一直線為該投影面的平行線，則這兩直線是空間互相垂直的兩直線。

此投影特性也適用于交叉垂直的兩直線。如上圖當(dāng)CB直線不動，水平線AB平行上移時，ab與cb仍互相垂直。

上一頁下一頁回章節(jié)目錄四、一邊平行于投影面的直角投影

（直角投影定理）2023/2/4機械制圖仝基斌48[例十一]過點C作線段CD與線段AB垂直相交。思考：上題改為求點C到線段AB的距離，如何作圖。

回章節(jié)目錄下一頁上一頁2023/2/4機械制圖仝基斌49分析：直線AB是鉛垂線，CD是一般位置直線，所以它們的公垂線是一條水平線，則公垂線的水平投影必垂直于cd（直角投影定理）,側(cè)面投影平行OX軸。作圖：由直線AB的水平投影ab向cd作垂線交于k，由此求出k′；由k′向a′b′

作垂線交于e′，e′k′和ek即為公垂線EK的兩投影，且ek=EK為兩交叉直線AB、CD的距離。

k′e′k(e)上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十二】求AB、CD兩直線的公垂線

2023/2/4機械制圖仝基斌50*【思考題】求A點到CD的距離。b′b坐標(biāo)差A(yù)B實長上一頁下一頁回章節(jié)目錄2023/2/4機械制圖仝基斌51一、平面的表示法1．用幾何元素表示平面由初等幾何學(xué)可知，下列幾何元素組都可以決定平面在空間的位置。

1）不在同一直線上的三點；2）一直線和該直線外一點；3）相交兩直線；

4）平行兩直線；5）任意平面圖形。(五種可相互轉(zhuǎn)化)上一頁下一頁回章節(jié)目錄第四節(jié)平面的投影2023/2/4機械制圖仝基斌52

平面P與H面的交線稱為水平跡線，以PH表示；與V面的交線稱為正面跡線，以PV表示；與W面的交線稱為側(cè)面跡線，以PW表示上一頁下一頁回章節(jié)目錄2．用跡線表示平面：跡線即平面與投影面的交線2023/2/4機械制圖仝基斌53分類：投影面垂直面（⊥一投影面，∠另兩投影面）

特殊位置平面投影面平行面（∥一投影面，⊥另兩投影面）

一般位置平面（∠三個投影面）約定：平面與投影面H、V、W的兩面角，分別用α、β、γ表示。1．投影面垂直面（⊥一投影面，∠另兩投影面）鉛垂面（⊥H面，∠V、W面）分類正垂面（⊥V面，∠H、W面）側(cè)垂面（⊥W面，∠H、V面）上一頁下一頁回章節(jié)目錄二、平面對投影面的各種相對位置2023/2/4機械制圖仝基斌54（1）⊥投影面上的投影，積聚成直線；（積聚性）積聚性投影與投影軸夾角，分別反映面對另兩投影面的傾角。（2）在另外兩投影面上的投影均為類似形。（類似性）

鉛垂面動畫上一頁下一頁回章節(jié)目錄以鉛垂面為例分析其投影特性為：注：類似形的投影特性：邊數(shù)不變，各頂點符合投影規(guī)律；原來邊平行，仍平行；成比例，仍成比例；直線邊對應(yīng)直線邊，曲線邊對應(yīng)曲線邊。鉛垂面的投影圖2023/2/4機械制圖仝基斌55上一頁下一頁回章節(jié)目錄正垂面的投影正垂面投影圖正垂面投影動畫2023/2/4機械制圖仝基斌56側(cè)垂面的投影上一頁下一頁回章節(jié)目錄側(cè)垂面投影圖側(cè)垂面投影動畫投影面垂直面投影實例動畫2023/2/4機械制圖仝基斌57水平面（∥H面，⊥V、W面）分類正平面（∥V面，⊥H、W面）側(cè)平面（∥W面，⊥H、V面）上一頁下一頁回章節(jié)目錄2．投影面平行面（∥一投影面，⊥另兩投影面）以水平面為例分析其投影特性為：（1）在平行的投影面上的投影，反映實形。（實形性）（2）在另外兩投影面上的投影，積聚成直線，（積聚性）

分別平行于相應(yīng)的投影軸。2023/2/4機械制圖仝基斌58水平面投影圖上一頁下一頁回章節(jié)目錄水平面的投影

2023/2/4機械制圖仝基斌59正平面的投影上一頁下一頁回章節(jié)目錄正平面投影圖2023/2/4機械制圖仝基斌60上一頁下一頁回章節(jié)目錄側(cè)平面的投影側(cè)平面投影圖投影面平行面投影實例動畫2023/2/4機械制圖仝基斌61一般位置面的三個投影△abc、△a′b′c′、△a″b″c″均為類似形。上一頁下一頁回章節(jié)目錄3．一般位置平面（∠三個投影面）

其投影特性為：三個投影均是類似形，而且面積比實際小；投影圖上不直接反映平面對投影面的傾角。一般位置平面投影實例動畫2023/2/4機械制圖仝基斌621．幾何條件：（1）若點位于面內(nèi)直線上，則點在該面內(nèi)。（2）直線過平面上的兩點，線必在該平面內(nèi)（3）線過面上一點且平行面內(nèi)另一直線，則線在該面內(nèi)。2．求取方法：①求點，先找線；②作線，先找點。上一頁下一頁回章節(jié)目錄三、平面上取點和線

2023/2/4機械制圖仝基斌63①一般位置面上作水平線（用水平面與△ABC相交，交線無數(shù)條)(條件：過A點作水平線屬于△ABC）②一般位置面上作正平線

（用水平面與△ABC相交，交線無數(shù)條）（條件：作正平線距V面25mm）

*③作含直線的垂直面或平行面（跡線表示）1′1323′2′上一頁下一頁回章節(jié)目錄3．面上取線

2023/2/4機械制圖仝基斌64分析：判別點是否在面上和求平面上點的投影，利用點在面上，點定在面內(nèi)一條線上這一投影特性。作圖：注意：判斷點是否在面內(nèi)，不能只看點的投影是否在面的投影輪廓線內(nèi)，一定要用幾何條件和投影特性來判斷。

1′12′n′2上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十三】判別點M是否在面△ABC內(nèi)，并作出△ABC面上點N的正投影。2023/2/4機械制圖仝基斌65分析：由于水平線的正面投影投影平行

OX軸，故可先求AD的正面投影，而正平線的水平投影平行OX

軸，故可先求CE

的水平投影。作圖：e′ed′d上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十四】已知△ABC平面的兩面投影，作出平面上水平線AD和正平線CE的兩面投影。2023/2/4機械制圖仝基斌66分析：已知A、B、C三點的正投影和水平投影，面的空間位置已確定，

E、D兩點應(yīng)在△ABC

面上，故利用點在面上的原理作出點的投影即可。作圖：d′e′121′2′上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十五】完成平面圖形ABCDE的正面投影。2023/2/4機械制圖仝基斌67第五節(jié)直線與平面及兩平面的相對位置

（平行、相交、垂直相交）上一頁下一頁回章節(jié)目錄一、平行問題1．直線與平面平行幾何條件：若線平行某面內(nèi)一直線，則線與該面平行

兩平行線各組同面投影均平行（利用它來解題）2023/2/4機械制圖仝基斌68幾何條件：（1）一對相交直線對應(yīng)地平行，則這兩個平面互相平行。

(兩一般位置面相互平行)（2）兩特殊位置面相互平行，有積聚性的那組同面投影平行

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2．平面與平面平行2023/2/4機械制圖仝基斌69【例十六】判斷AB與△CDE是否平行。（不平行）g′f′fg上一頁下一頁回章節(jié)目錄分析：在正投影面內(nèi)作e′f′∥a′b′，檢驗ef與ab是否平行。2023/2/4機械制圖仝基斌70分析：在△CDE面內(nèi)作水平線EF，過k點作ef∥ab，過k′點作e′f′∥a′b′。b′a′abf′f上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十七】試過點K作水平線AB平行于△CDE平面。2023/2/4機械制圖仝基斌71【例十八】試判斷兩平面是否平行。（平行）g′gh′hm′mn′n上一頁下一頁回章節(jié)目錄分析：在兩平面內(nèi)分別作水平線、正平線，檢驗是否相互平行。2023/2/4機械制圖仝基斌72

線與面、面與面不平行，一定相交。線與面的交點是線與面的共有點；面與面的交線是兩面的共有線。求取方法：交點的一個投影位于面或線有積聚性的投影交點，另一投影用線上點的投影特性求得。上一頁下一頁回章節(jié)目錄二、相交問題（只研究面或線為特殊位置時的交點）線與面相交動畫面與面相交動畫2023/2/4機械制圖仝基斌73（1）線與特殊位置面相交（交點是共有點）（求交點并判別可見性）判別可見性方法：目測法、重影點法可見性判別：k′b′是可見的，應(yīng)畫成粗實線；a′k′在e′f′g′h′內(nèi)的部分不可見的，畫成虛線。kk′1′(2′)1(2)上一頁下一頁回章節(jié)目錄1．直線與平面相交2023/2/4機械制圖仝基斌74分析：AB是正垂線，其正面投影有積聚性，交點K是直線AB上的一個點，所以K點的正面投影k′和a′（b′）重影，又因交點K也在三角形平面上，故可利用平面上取點的方法，作出交點K的水平投影k。(k′)m′mk1(2)2′(1′)(2)1ⅠⅡ上一頁下一頁回章節(jié)目錄（2）投影面垂直線與一般位置平面相交d′d2023/2/4機械制圖仝基斌75求交線的方法：求出交線上任意兩點連接而得，也可求出其中一點，然后由交線的方向確定。交線是可見與不可見的分界線。（1）兩特殊位置平面相交

【例十九】求鉛垂面△ABC與鉛垂面△DEF的交線MN，并判別正面投影的可見性。分析：這兩三角形都是鉛垂面，所以交線為鉛垂線，且交線的水平投影積聚為一點，是abc和def的交點，定出積聚成一點的mn；由mn

引投影連線，在兩個三角形的正面投影相重合范圍內(nèi)作m′n′，就得到交線

MN的兩面投影。（重影點法判別可見性）上一頁下一頁回章節(jié)目錄

2．平面與平面相交（交線是共有線）(n)mn′m′2023/2/4機械制圖仝基斌76【例二十】求正垂面DEFG與一般位置平面△ABC的交線MN，并判別可見性。分析：平面圖形與垂直與投影面的平面相交，可作出前者的任意兩直線與后者的交點，然后連接成交線；并可在投影圖中直接判斷投影重合處的可見性。

上一頁下一頁回章節(jié)目錄（2）特殊位置平面與一般位置平面相交2023/2/4機械制圖仝基斌77小結(jié)：

1）面上取點和線的方法要記牢：①求點，先找線；②作線，先找點。2）線與面及兩面間平行、相交的幾何條件要記牢并會應(yīng)用解題。3）線與面、面與相交求交點、交線的方法要會，并會判別可見性。上一頁下一頁回章節(jié)目錄*【思考題】已知a、a′試作直線AB與OX軸成45°并相交。2023/2/4機械制圖仝基斌781.直線與平面垂直

分析：線⊥面，⊥面內(nèi)所有線，⊥兩條相交直線（取正平線、水平線）投影特性：線⊥面，則線的正面投影⊥面內(nèi)正平線的正面投影，水平投影⊥面內(nèi)水平線的水平投影。（直角投影定則）上一頁下一頁回章節(jié)目錄*三、垂直問題直線垂直于鉛垂面2023/2/4機械制圖仝基斌79分析：過A點向面只能作一條垂線，由于平面BCDE是正垂面，AF應(yīng)為正平線且a′f′⊥b′c′d′e′。作圖：作a′f′⊥b′c′d′e′，又根據(jù)af//OX及f′，求出F的水平投影;a′f′

即為點A到平面BCDE的真實距離。上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例二十一】過點A向面BCDE作垂線，作出垂足F及點A到面BCDE的距離。2023/2/4機械制圖仝基斌80【例二十二】過點K向面BDF作垂線(或法線）。

n′n1′12′2上一頁下一頁回章節(jié)目錄2023/2/4機械制圖仝基斌81【例二十三】已知A、B兩點，求到兩點等距離軌跡。（空間分析：軌跡是AB線的中垂面）c′c上一頁下一頁回章節(jié)目錄2023/2/4機械制圖仝基斌82【例二十四】已知△ABC⊥△DEF,兩點，試補全△DEF的正面投影。d′1′1上一頁下一頁回章節(jié)目錄2023/2/4機械制圖仝基斌83幾何條件：（1）直線垂直一面，包含該線的所有面均與該面垂直。（將面、面垂直問題又歸結(jié)為線、面垂直問題，作圖用線、面垂直的特性去作。即：兩面垂直，在第一面上取一點向第二面作垂線，則垂線必位于第一面上）（2）兩個投影面垂直面互相垂直：兩個面有積聚性的投影相互垂直。上一頁下一頁回章節(jié)目錄2.平面與平面垂直兩個垂直面互相垂直動畫2023/2/4機械制圖仝基斌84問題提出：在求解空間幾何元素的定位和度量問題時，如線和面處于特殊位置（平行或垂直于投影面），則可利用其投影的特殊性質(zhì)可比較容易地解決問題。如下圖所示，在這些圖中，能直接反映出實長、實形或真實夾角的大小。因此，要解決一般位置幾何元素的定位和度量問題，可設(shè)法使它們由一般位置變?yōu)樘厥馕恢茫怪D(zhuǎn)化為有利于解題位置。上一頁下一頁回章節(jié)目錄*第六節(jié)換面法2023/2/4機械制圖仝基斌85

保持空間幾何元素位置不變，而改變投影面的位置，使空間幾何元素相對于新的投影面處于有利于解題位置，這種變換方法稱為變換投影面法。下圖所示：一鉛垂面在V／H體系中不反映實形，現(xiàn)作一與H面垂直的新投影面V1平行于鉛垂面，組成新的投影面體系V1／H，再將該向V1面投影，這時鉛垂面在V1面上的投影反映該平面的實形。（思考：新投影面是否可以隨意選）上一頁下一頁回章節(jié)目錄一、換面法定義2023/2/4機械制圖仝基斌86新投影面的選擇應(yīng)符合以下兩個條件：（1）新投影面必須處于有利于解題位置。（2）新投影面必須垂直于原來投影面體系中保留的一個投影面，形成一個新的投影面體系。上一頁下一頁回章節(jié)目錄二、新投影面的選擇原則：V/H→V1/H(或V/H1)→V1/V2(交替變換)（一次變換V面）（二次變換H面）2023/2/4機械制圖仝基斌871．點的一次變換投影規(guī)律如下：1）點的新投影和被保留的原投影的連線，垂直于新投影軸。2）點的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影到原來投影軸的距離。

作圖方法：不變投影向新軸作垂線，量距離等于替代點的距離。（思考：點的換面新投影面是否可以隨意選）（變換H面在黑板上作圖）動畫演示上一頁下一頁回章節(jié)目錄三、換面法的基本規(guī)律2023/2/4機械制圖仝基斌881）一次變換，以V1面代替V面，組成新體系V1／H。）2）二次變換應(yīng)變換前一次還未被替換的投影面，即以H2面來代替H面組成第二個新體系V1／H2。這時a1′a2⊥X2軸，a2ax2=aax1。由此作出新投影a2

）3）二次變換投影面時，也可先變換H面，再變換V面。動畫演示上一頁下一頁回章節(jié)目錄2

．點的二次變換（V/H→V1/H→V1/H2）（V1⊥H2）2023/2/4機械制圖仝基斌89

一般線→平行線（一次變換）