第02講靜定結(jié)構(gòu)反力的計(jì)算

學(xué)習(xí)情境2靜定結(jié)構(gòu)反力的計(jì)算學(xué)習(xí)要點(diǎn)力在直角坐標(biāo)軸上的投影、合力投影定理；力對點(diǎn)之矩、合力矩定理；力偶、力偶矩的概念；力的平移定理、平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)的簡化；力系的主矢量和主矩；平面一般力系的合力矩定理；平面一般力系的平衡條件及其應(yīng)用。教學(xué)目標(biāo)理解力和力偶的性質(zhì)；理解合力投影定理及合力矩定理，能熟練地計(jì)算力在坐標(biāo)軸上的投影和力對點(diǎn)的矩；掌握力偶及力偶矩的概念，理解平面力系的簡化理論，能運(yùn)用平面力系平衡方程求解單個(gè)構(gòu)件和簡單結(jié)構(gòu)的反力計(jì)算問題。預(yù)備知識：沿直線分布的線荷載的合力

沿著一條線連續(xù)分布且相互平行的力系，稱為平行線分布力，簡稱線分布力或線荷載。例如梁的自重，可簡化為沿梁的軸線分布的線荷載。某一單位長度上所受的分布力，稱為分布力在該處的荷載集度，通常用q表示，單位：N／m或kN／m。表示荷載集度分布情況的圖形稱為荷載集度圖，簡稱荷載圖

若荷載集度q為一常量，這種荷載稱為均布荷載;q不為常量，則稱為非均布荷載

均布荷載作用非均布荷載作用

沿直線且垂直于該直線分布的同向線荷載，其合力的大小等于荷載圖的面積，作用線通過荷載圖形的形心，合力的指向與分布力的指向相同。線荷載可以用一個(gè)集中力來替換，而不改變線荷載對剛體的效應(yīng)。均布荷載合力三角形分布荷載合力梯形荷載的合力靜定結(jié)構(gòu)：

僅用平衡方程可以確定全部內(nèi)力和約束力的幾何不變結(jié)構(gòu)。即：只需要用靜力平衡的∑X＝0、∑Y＝0、∑M＝0三個(gè)方程或這三個(gè)中的兩個(gè)方程就可以解決問題。例如簡支梁、桁架、三鉸栱等。舉個(gè)淺顯但不一定嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦?，你在墻上固定一塊木板，需要釘兩個(gè)釘子（阻止木板落下或轉(zhuǎn)動(dòng)），這時(shí)可以認(rèn)為是靜定結(jié)構(gòu)。如果你在多釘幾個(gè)釘子，那么這時(shí)就有多余的約束了，多幾個(gè)釘子就多了幾個(gè)約束，這就叫超靜定結(jié)構(gòu)，這時(shí)木板釘?shù)母€(wěn)了。可見超靜定結(jié)構(gòu)比靜定結(jié)構(gòu)具有跟好的安全性。子情境2.1靜力學(xué)的基本知識2.1.1力的投影基本知識１.力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影力的投影的值與力的大小及方向有關(guān)，設(shè)力Ｆ與ｘ軸的夾角為α，則從圖２-5可知：FＸ＝－ＦｃｏｓαFＹ＝－Ｆｓｉｎα一般情況下，若已知力Ｆ與ｘ軸所夾的銳角為α，則該力在ｘ、ｙ軸上的投影分別為：FＸ＝±ＦcosαFＹ＝±Fsinα反過來，若已知力Ｆ在坐標(biāo)軸上的投影為FＸ、FＹ，亦可求出該力的大小和方向角：２.合力投影定理如圖２－７所示，設(shè)有一平面匯交力系Ｆ１、Ｆ２、Ｆ３作用在物體的Ｏ點(diǎn)。從任一點(diǎn)Ａ作多邊形ＡＢＣＤ,如圖２－７（ｂ）所示。則矢量ＡD就表示該力系的合力Ｒ的大小和方向。取任一軸ｘ,把各力都投影在ｘ軸上，并且令Ｘ１、Ｘ２、Ｘ３和Ｒｘ分別表示各分力Ｆ１、Ｆ２、Ｆ３和合力Ｒ在ｘ軸上的投影，則有：

合力在任一軸上的投影，等于力系中各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。這就是合力投影定理。例求作用在圖示支架上點(diǎn)O的三個(gè)力的合力的大小和方向。

解：建立直角坐標(biāo)系Oxy

求合力FR在坐標(biāo)軸上的投影

合力的大小為:

合力方向:2.1.2力對點(diǎn)之矩基本知識１.力對點(diǎn)之矩圖中Ｏ點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)中心，簡稱矩心。矩心Ｏ到力作用線的垂直距離ｄ稱為力臂。OFd定義：MO(F)＝±Fd

力對點(diǎn)的矩是一個(gè)代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小F與力臂d的乘積，力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取為正值，反之取為負(fù)值力矩的單位常用N·m或kN·m在平面力系中，力矩或?yàn)檎担驗(yàn)樨?fù)值。力矩性質(zhì)

（1）力F對點(diǎn)O的矩，不僅決定于力的大小，同時(shí)與矩心的位置有關(guān)。矩心的位置不同，力矩隨之而異。

（3）力的大小等于零，或力的作用線通過矩心（即力臂d=0），則力矩等于零。（4）相互平衡的兩個(gè)力對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和等于零。

（2）力F沿其作用線移動(dòng)，不改變它對點(diǎn)的矩。2合力矩定理

合力矩定理：平面匯交力系的合力對于平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于其分力對于同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。即：簡寫為：OFdα

例圖示擋土墻每1m長所受土壓力的合力為FR，它的大小為FR=150kN，方向如圖示。求土壓力FR使墻傾覆的力矩。30°AF1F2FRda=2mb=1.5m解：土壓力FR可使擋土墻繞墻趾A點(diǎn)傾覆，故求FR使墻傾覆的力矩，就是求FR對A點(diǎn)的力矩。

30°AF1F2FRda=2mb=1.5m力偶:大小相等、方向相反、作用線平行的一對力2.1.3力偶與力偶矩記作：(F、F′)由于力偶中的兩個(gè)力的矢量和等于零，因而力偶不可能使物體產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)，又因?yàn)榱ε贾械膬闪Σ还簿€，所以也不能相互平衡。這樣的兩個(gè)力可以使物體產(chǎn)生純轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。

力偶作用面：力偶臂：d力偶中兩個(gè)力作用線所決定的平面力偶中兩個(gè)力作用線之間的距離力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，取決于力偶的兩個(gè)反向平行力和力偶臂的大小以及力偶的轉(zhuǎn)向。

在平面力系問題中，力偶在力系作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向不是逆時(shí)針方向就是順時(shí)針方向，因而可以把力偶中的力的大小F與力偶臂d的乘積加上適當(dāng)?shù)恼?fù)號作為度量力偶對物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量，稱為力偶矩。

通常規(guī)定，力偶逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，力偶矩為正；反之為負(fù)。

力偶的簡明表示:力偶矩的單位和力矩的單位相同:N·m或kN·m。

在平面力系問題中，力偶矩是一個(gè)代數(shù)量。

力偶的基本性質(zhì)

1、力偶中的兩力在任意坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和為零。2、力偶不能與力等效，只能與另一個(gè)力偶等效。同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶等效的條件是力偶矩的大小相等且轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同。因此，只要保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變，可以任意改變力的大小和力偶臂的長短，而不影響力偶對物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效果。3、力偶不能與力平衡，而只能與力偶平衡。4、力偶可以在它的作用平面內(nèi)任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而不會改變它對物體的作用。因此，力偶對物體的作用完全決定于力偶矩，而與它在其作用平面內(nèi)的位置無關(guān)。平面力偶系的合成

作用在同一平面內(nèi)的一群力偶稱為平面力偶系，如圖

所示。平面力偶系合成可以根據(jù)力偶的等效性來進(jìn)行。其合成的結(jié)果是：平面力偶系可以合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和。即：【例】如圖3-11所示，在物體同一平面內(nèi)受到三個(gè)力偶的作用，設(shè)F1=200N，F(xiàn)2=400N，m=150N·m，求其合成的結(jié)果。

【解】三個(gè)共面力偶合成的結(jié)果是一個(gè)合力偶，各分力偶矩為：即合力偶矩的大小等于250N·m，轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，作用在原力偶系的平面內(nèi)。力的平移定理：作用在剛體上的力，可以等效地平移到剛體上任一指定點(diǎn)，但必須在該力與指定點(diǎn)所確定的平面內(nèi)附加一個(gè)力偶，附加力偶的力偶矩等于原力對指定點(diǎn)的力矩。

FA＝FB

2.1.4力的平移定理

根據(jù)上述力的等效平移的逆過程，可以得知共面的一個(gè)力和一個(gè)力偶總可以合成為一個(gè)力，此力的大小和方向與原力相同，但它的作用線與原力要相距一定的距離。

２.1.5平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化1.平面一般力系：是指各力的作用線在同一平面內(nèi)不完全匯交于一點(diǎn)也不完全相互平行的力系，也稱為平面任意力系。XYO

平面匯交力系F1F2F3F4XYO

平面平行力系F1F2F3F4XYO

平面一般力系F1F2F3F4２.1.5平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化1.平面一般力系：是指各力的作用線在同一平面內(nèi)不完全匯交于一點(diǎn)也不完全相互平行的力系，也稱為平面任意力系。XYO

平面匯交力系F1F2F3F4XYO

平面平行力系F1F2F3F4XYO

平面一般力系F1F2F3F4例：下圖所示的三角形屋架，它承受屋面?zhèn)鱽淼呢Q向荷載P，風(fēng)荷載Q以及兩端支座的約束反力XA、YA、YB，這些力組成平面一般力系。１.簡化方法和結(jié)果設(shè)平面一般力系F1，F(xiàn)2，，F(xiàn)n作用在物體上

，如圖

所示。將該力系簡化方法：（1）在該力系的作用面內(nèi)任選一點(diǎn)O作為簡化中心，（2）根據(jù)力的平移定理，將各力全部平移到0點(diǎn)，得到一個(gè)平面匯交力系F′1，F(xiàn)′2，，F(xiàn)′n和一個(gè)附加的平面力偶系m1，m2，mn。其中平面匯交力系中各力的大小和方向分別與原力系中對應(yīng)的各力相同，即：各附加的力偶矩分別等于原力系中各力對簡化中心O點(diǎn)之矩，即：由平面匯交力系合成的理論可知，F(xiàn)′1，F(xiàn)′2，，F(xiàn)′n可合成為一個(gè)作用于O點(diǎn)的力R′，并稱為原力系的主矢：主矢Ｒ′在ｘ軸和ｙ軸上的投影為：主矢Ｒ′的大小和方向?yàn)椋害翞椋摇渑cｘ軸所夾的銳角，Ｒ′的指向由∑Ｘ和∑Ｙ的正負(fù)號確定。結(jié)論：平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化的結(jié)果是一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力作用在簡化中心，它的主矢，等于原力系中各力的矢量和；主矩等于原力系各力對簡化中心的力矩的代數(shù)和。

應(yīng)當(dāng)注意：

力系的主矢量與簡化中心位置無關(guān)。因?yàn)樵ο抵懈髁Φ拇笮〖胺较蛞欢?，它們的矢量和也是一定的。所以，一個(gè)力系的主矢量是一常量，不隨簡化中心選取的不同而改變。力系的主矩一般將隨簡化中心位置不同而改變。因?yàn)榱ο抵懈髁τ诓煌暮喕行牡牧厥遣煌?，因而它們的和一般說來也不相等。所以，說到力系的主矩時(shí)，必須指出是力系對于哪一點(diǎn)的主矩。平面一般力系簡化結(jié)果的討論

平面一般力系向一點(diǎn)簡化，一般可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，但這并不是最后的簡化結(jié)果。根據(jù)主矢與主矩是否存在，可能出現(xiàn)下列幾種情況：(1)若R′=0，Mo≠0，說明原力系與一個(gè)力偶等效，而這個(gè)力偶的力偶矩就是主矩。(2)若R′≠0，Mo=0，則作用于簡化中心的力R′就是原力系的合力，作用線通過簡化中心，即：R=R′。(3)若R′≠0，Mo≠0，這時(shí)根據(jù)力的平移定理的逆過程，可以進(jìn)一步合成為合力R，如圖4-6所示。(4)R′=0，Mo=0，此時(shí)力系處于平衡狀態(tài)。將力偶矩為Mo的力偶用兩個(gè)反向平行力R、R″表示，并使R′和R″等值、共線，使它們構(gòu)成一平衡力，如圖4-6(6)，為保持Mo不變，只要取力臂d為：將R″和R′這一平衡力系去掉，這樣就只剩下R力與原力系等效(圖4-6c)。合力R在O點(diǎn)的哪一側(cè)，由R對0點(diǎn)的矩的轉(zhuǎn)向應(yīng)與主矩Mo的轉(zhuǎn)向相一致來確定。圖4-62.1.6平面一般力系的平衡條件

平面一般力系處在平衡狀態(tài)的必要與充分條件是力系的主矢與力系對于任一點(diǎn)的主矩都等于零，即：

（1）平面一般力系的平衡方程

平面一般力系平衡的必要和充分條件為：力系中所有各力在力系作用面內(nèi)兩個(gè)坐標(biāo)軸中每一軸上的投影的代數(shù)和等于零；力系中所有各力對于作用面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和等于零。

當(dāng)物體在平面一般力系作用下處于平衡時(shí)，應(yīng)用平衡方程，最多只能求解三個(gè)未知量。

（2）平面平行力系的平衡方程

平面平行力系是平面任意力系的一種特殊情形。如取y軸平行于各力，則，因而平面平行力系的平衡方程為F1FiFnF2Oxy（2）平面平行力系的平衡方程

平面平行力系是平面任意力系的一種特殊情形。如取y軸平行于各力，則，因而平面平行力系的平衡方程為F1FiFnF2Oxy【例】懸臂梁AB受荷載作用如圖所示。一端為固定端支座約束，另一端為自由端的梁，稱為懸臂梁。已知線分布荷載q=2kN/m，l=2m，粱的自重不計(jì)。求固定端支座A處的約束反力?！窘狻咳×篈B為研究對象，受力分析如圖(b)所示，支座反力的指向均為假設(shè)，梁上所受的荷載與支座反力組成平面一般力系。梁上的均布荷載可先合成為合力Q，其大小Q=ql，方向鉛垂向下，作用在AB梁的中點(diǎn)。選取坐標(biāo)系如圖(c)所示，列平衡方程如下：求得結(jié)果為正值，說明假設(shè)約束反力的指向與實(shí)際相同。可見，yA和mA計(jì)算無誤。例求圖示外伸梁A、B處的支座反力。解：取外伸梁為研究對象，作受力圖。由于梁上的集中荷載、分布荷載以及B處的約束反力相互平行，故A處的約束反力必定與各力平行。

應(yīng)用平面平行力系的平衡方程求解兩個(gè)未知量。平面一般力系平衡方程解題的步驟如下：

（1）確定研究對象根據(jù)題意分析已知量和未知量，選取適當(dāng)?shù)难芯繉ο?。?）畫研究對象受力圖在研究對象上畫出它受到的所有主動(dòng)力和約束反力。（3）列平衡方程。（4）解平衡方程求得未知量。子情境２.２靜定結(jié)構(gòu)的反力計(jì)算２.２.１單跨靜定梁的反力計(jì)算

２.２.１單跨靜定梁的反力計(jì)算１.懸臂梁：一端為固定端，另一端為自由端的梁P20【例2-2】２.簡支梁：一端為固定鉸支座，另一端為可動(dòng)鉸支座的梁P20【例2-3】３.外伸梁：梁的一端或兩端伸出支座的簡支梁P21【例2-4】

例簡支梁受力如圖所示。已知F＝20kN，q＝10kN/m，不計(jì)梁自重，求A、B兩處的支座反力。解：取AB梁為研究對象

畫受力圖

分布荷載可用作用在分布荷載中心的集中力Fq代替，其大小為Fq＝2q。

列平衡方程并求解：

2.2.2多跨靜定梁反力的計(jì)算（了解）

計(jì)算多跨靜定梁時(shí)，必須先從附屬部分計(jì)算，再計(jì)算基本部分，按組成順序的逆過程進(jìn)行。如圖２－１７（ｃ）所示，應(yīng)先從附屬梁ＢＣ計(jì)算，再依次考慮ＣＤ、ＡＢ梁。這樣便把多跨梁化為單跨梁，分別進(jìn)行計(jì)算，從而可避免計(jì)算聯(lián)立方程。2.2.3斜梁的反力計(jì)算（了解）

斜梁通常承受兩種形式的均布荷載：（１）沿水平方向均布的荷載q［見圖2-21（ａ）］。樓梯斜梁承受的人群荷載就是沿水平方向均勻分布的荷載。（２）沿斜梁軸線均勻分布的荷載ｑ′［見圖2-21（ｂ）］。

斜梁通常承受兩種形式的均布荷載：根據(jù)總荷載不變的原則，將ｑ′等效換算成ｑ后再作計(jì)算，即由ｑ′ｌ′＝ｑｌ得：一、靜定平面剛架的特征

剛架是用剛結(jié)點(diǎn)將若干直桿連結(jié)而成的結(jié)構(gòu)。當(dāng)剛架的軸線和外力都在同一平面時(shí)，稱為平面剛架。由靜力平衡條件可以求出全部約束反力和內(nèi)力的平面剛架稱為靜定平面剛架。剛結(jié)點(diǎn)的特性是在荷載作用下，各桿端不僅不能發(fā)生相對移動(dòng)，而且也不能發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng),因?yàn)閯偨Y(jié)點(diǎn)具有約束桿端相對轉(zhuǎn)動(dòng)的作用，所以它能承受和傳遞彎矩,是一種較好的承重結(jié)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于工業(yè)和民用建筑。2.2.4靜定平面剛架反力計(jì)算

【例２－６】鋼筋混凝土剛架所受荷載及支承情況如圖２－２２（ａ）所示。已知ｑ＝４ｋＮ／ｍ，Ｐ＝１０ｋＮ，ｍ＝２ｋＮ·ｍ，Ｑ＝２０ｋＮ，試求支座處的反力。

【解】取剛架為研究對象，畫其受力圖［見圖２－２２（ｂ）］，圖中各支座反力指向都是假設(shè)的。2.2.5起重設(shè)備的驗(yàn)算（了解）

【例２－６】圖２－２３所示為塔式起重機(jī)。已知軌距ｂ＝４ｍ，機(jī)身重Ｇ＝２4０ｋＮ，其作用線到右軌的距離ｅ＝１.５ｍ，起重機(jī)平衡重Ｑ＝12０ｋＮ，其作用線到左軌的距離ａ＝６ｍ，荷載Ｐ的作用線到右軌的距離ｌ＝１２ｍ。（１）試證明空載時(shí)（Ｐ＝０時(shí)）起重機(jī)是否會向左傾倒？（２）求出起重機(jī)不向右傾倒的最大荷載Ｐ?！窘狻?1)取起重機(jī)為研究對象。受力分析如圖4-18所示，作用于起重機(jī)上的主動(dòng)力有G、P、Q，約束反力有NA和NB，NA和NB均鉛垂向上，以上各力組成平面平行力系。

(2)當(dāng)空載P=O時(shí)，起重機(jī)不向左傾倒的條件是NB≥0。以A點(diǎn)為矩心，列平衡方程。解得：所以起重機(jī)不會向左傾倒。(3)使起重機(jī)不向右傾倒的條件是NA≥0。以B點(diǎn)為矩心，列平衡方程解得當(dāng)荷載P≤70kN時(shí)，起重機(jī)不會向右傾倒。（補(bǔ)充知識）

物體系統(tǒng)的平衡

在工程中，常常遇到由幾個(gè)物體通過一定的約束聯(lián)系在一起的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)。如圖4-19(a)所示的組合梁、圖4-20(a)所示的三鉸剛架等都是由幾個(gè)物體組成的物體系統(tǒng)。研究物體系統(tǒng)的平衡時(shí)，不僅要求解支座反力，而且還需要計(jì)算系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用力。我們將作用在物體上的力分為內(nèi)力和外力。所謂外力，就是系統(tǒng)以外的其他物體作用在這個(gè)系統(tǒng)上的力；所謂內(nèi)力，就是系統(tǒng)內(nèi)各物體之間相互作用的力。如圖4-19(b)所示，荷載及A、C支座處的反力就是組合梁的外力，而在鉸B處左右兩段梁之間的相互作用力就是組合梁的內(nèi)力。應(yīng)當(dāng)注意，內(nèi)力和外力是相對的概念，也就是相對所取的研究對象而言。例如圖4-19(b)所示組合梁在鉸B處的約束反力，對組合梁的整體而言，就是內(nèi)力；而對圖4-19(c)、圖4-19(d)所示的左、右兩段梁來說，B點(diǎn)處的約束反力被暴露出來，就成為外力了。本章小結(jié)：一、力的投影基本知識力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影合力投影定理二、力對點(diǎn)之矩基本知識１.力對點(diǎn)之矩、力矩的性質(zhì)２.合力矩定理平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于該力系的各分力對該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。三、力偶1.力偶：作用在同一個(gè)物體上的大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個(gè)平行力。2.力偶的性質(zhì)力矩性質(zhì)

（1）力F對點(diǎn)O的矩，不僅決定于力的大小，同時(shí)與矩心的位置有關(guān)。矩心的位置不同，力矩隨之而異。

（3）力的大小等于零，或力的作用線通過矩心（即力臂d=0），則力矩等于零。（4）相互平衡的兩個(gè)力對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和等于零。

（2）力F沿其作用線移動(dòng)，不改變它對點(diǎn)的矩。力偶的基本性質(zhì)

1.力偶沒有合力，既不能與一個(gè)力等效也不能與一個(gè)力相平衡。

2.力偶對其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩恒等于力偶矩，而與矩心位置無關(guān)。3.在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果它們的力偶矩大小相等，力偶的轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶是等效的。稱為力偶