第三章立體投影

第三章平面立體§3-1平面立體的投影§3-2曲面立體的投影§3-3立體的截交線§3-4立體的相貫線§3-1平面立體的投影基本要求一、平面立體的投影特性二、平面立體表面上取點三、平面立體的切割

基本要求1.掌握立體的投影特性和作圖方法2.掌握在立體表面上取點、線的方法3.掌握平面立體截交線的方法一、平面立體的投影特性（一）棱柱的投影特性

六棱柱的投影圖（二）棱錐的投影特性

三棱錐的投影圖例題1

由平面多邊形圍成的立體成為平面立體。繪制平面立體的投影,只要找出屬于平面立體上的各棱面、棱線和頂點的投影，并判別可見性，就能繪制出投影圖。實質(zhì)就是繪制出平面圖形、直線和點的投影。判斷可見性的方法，是對于可見位置的面和線用粗實線表示，而對于不可見位置的面和線用虛線表示．（一）棱柱的投影特性一個投影為多邊形，另外兩個投影輪廓線為矩形。六棱柱的投影圖（二）棱錐的投影特性一個投影為多邊形，另外兩個投影輪廓線為三角形。BCAS三棱錐的投影圖[例題1]求立體的側(cè)面投影二、平面立體表面上取點（一）棱柱表面上取點（二）棱錐表面上取點平面立體可看作是由若干個平面多邊形所圍成的，所以在平面立體表面上取點、線時，應把屬于平面立體的棱面作為單獨的平面來考慮。在平面立體的表面上取點，取線的方法與在平面上取點，取線的方法基本相同，即一般為輔助線法．但要注意可見性的判別。aa（一）棱柱表面上取點R111rrⅠ（二）三棱錐表面上取點Ⅰ222Ⅱ三棱錐表面上取點Ⅱ3Ⅲ33三棱錐表面上取點Ⅲ三、平面立體的切割（一）平面立體的截交線（二）平面立體截交線的性質(zhì)（三）平面立體截交線的求法1、棱柱上截交線的求法2、棱錐上截交線的求法平面立體的截交線是截平面與平面立體表面的交線。（一）平面立體的截交線平面立體的截交線是截平面與平面立體表面的交線。（二）平面立體截交線的性質(zhì)１．平面立體的截交線是截平面與平面立體表面的共有線，截交線上的點是截平面與立體表面上的共有點．２．由于平面立體的表面都具有一定的范圍，所以截交線通常是封閉的平面多邊形．３．多邊形的各個頂點是平面立體的各棱線或邊與截平面的交點，多邊形的各邊是平面立體的棱面與截平面的交線，或是截平面與截平面的交線.（三）平面立體截交線的求法平面立體被單個或多個平面割后，既具有平面立體的形狀特征，又具有截平面的平面特征．因此在看圖或畫圖時，一般應先從反映平面立體特征視圖的多邊形線框出發(fā)，想象出完整的平面立體形狀畫出其投影，然后再根據(jù)截斷面的形狀并畫出其投影．平面立體上切口的畫法，常利用平面特性中“類似形“這一投影特征來作圖.1、棱柱上截交線的求法例題2

例題3(1)求出截平面與棱柱上若干條棱線的交點；如立體被多個平面截割，應求出截平面間的交線．（２）依次連接各點（3）判斷可見性（４）整理輪廓線[例題2]求立體切割后的投影431265ⅠⅥⅤⅣⅢⅡ114565234（6）（2）（3）[例題3]求立體截割后的投影7"11"8"87111"2"10"5"6"9"4"3"961（3）2（4）105ⅠⅪⅡⅨⅩⅣⅢ1'（2'）8'3'（4'）10'（5'）9'11'（6'）（7'）2、棱錐上截交線的求法例題4

例題5（1）找到截平面與棱錐上若干條棱線的交點；如立體被多個平面截割，應求出截平面間的交線．（２）依次各點連線（３）判斷可見性（４）整理輪廓線[例題4]求立體切割后的投影23541116654326ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4（5）2（3）[例題5]求立體切割后的投影1（2）3412642156346（5）3（4）ⅢⅠⅥⅣⅡⅤ§3-2曲面立體的投影二、圓柱的投影四、圓球的投影三、圓錐的投影基本要求一、概述五、圓環(huán)的投影基本要求

本章學習的基本要求是:(1)掌握曲面立體的投影特性及作圖方法。(2)熟練掌握在曲面立體表面上取點和取線的作圖方法。

一、概述

曲面立體是由曲面與平面或回轉(zhuǎn)面所圍成。工程中常用的有圓柱、圓錐、圓球、圓環(huán)以及由它們組合而成的復合回轉(zhuǎn)體。圖示回轉(zhuǎn)體實質(zhì)上就是圖示圍成回轉(zhuǎn)體的回轉(zhuǎn)面、平面。在回轉(zhuǎn)體表面上取點、線與在平面上取點、線的作圖原理相同。欲取回轉(zhuǎn)面上的點，必先過此點取該曲面上簡單易畫的圓或直線。欲取回轉(zhuǎn)面上的線（直線、曲線），必先取該曲面上能確定此線的二個或二個以上的已知點，然后將其相連并判斷別可見性即可。二、圓柱的投影1、圓柱的形成2、圓柱的畫法3、圓柱的投影特點4、圓柱投影可見性的判別5、圓柱表面上取點1、圓柱的形成曲面可看作由一條線按一定的規(guī)律運動所形成，運動的線稱為母線，而曲面上任一位置的母線稱為素線。母線繞軸線旋轉(zhuǎn)一周，則形成回轉(zhuǎn)面。圓柱由圓柱面、頂面、底面所圍成。圓柱面可看作直線繞與它相平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。2、圓柱的畫法3、圓柱的投影特點[例題]分析圓柱輪廓素線的投影4、圓柱投影可見性的判別5、圓柱表面上取點()()A(D)CB三、圓錐的投影1、圓錐的形成2、圓錐的畫法3、圓錐的投影特點4、圓錐投影可見性的判別5、圓錐表面上取點1、圓錐的形成

圓錐由圓錐面、底面所圍成。圓錐面可看作直線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)一周而成。2、圓錐的畫法3、圓錐的投影特點4、圓錐可見性的判別5、圓錐表面上取點四、圓球的投影1、圓球的形成2、圓球的畫法3、圓球的投影特點4、圓球投影可見性的判別5、圓球表面上取點1、圓球的形成球是有球面圍成的，球面可看作圓繞其直徑為軸線旋轉(zhuǎn)而成。2、圓球的畫法

3、圓球的投影特點4、圓球可見性的判別5、圓球表面上取點五、圓環(huán)的投影1、圓環(huán)的形成2、圓環(huán)的畫法3、圓環(huán)的投影特點4、圓環(huán)投影可見性的判別5、圓環(huán)表面上取點1、圓環(huán)的形成圓環(huán)可以看成是以圓為母線，繞與圓在同一平面內(nèi)，但不通過圓心的軸線旋轉(zhuǎn)而成。2、圓環(huán)的畫法

3、圓環(huán)的投影特點4、圓環(huán)投影可見性的判別由前向后看，此部分可見由上向下看，此部分可見m1'25、圓環(huán)表面上取點m'（n'）12'二、平面與圓柱相交三、平面與圓錐相交四、平面與圓球相交一、概述五、綜合題基本要求§3-3立體的截交線基本要求1.掌握特殊位置平面與圓柱、圓錐、圓球相交，求表面截交線方法；2.掌握回轉(zhuǎn)體截交線的性質(zhì)及求截交線的方法。一、概述（一）截交線的性質(zhì)（二）截交線的類型及形狀（三）求作截交線的方法（四）截交線上的特殊點（五）作圖步驟（一）曲面立體截交線的性質(zhì)1.曲面立體的截交線通常是封閉的平面曲線，或是由曲線和直線所圍成的平面圖形或多邊形；2.曲面立體的截交線為曲面立體表面和截平面的共有線；3.曲面立體截交線上的點為立體表面和截平面的共有點。（二）截交線的類型及形狀（三）求作截交線的方法

（四）特殊點

（五）作圖步驟

二、平面與圓柱相交1、平面與圓柱相交所得截交線形狀2、求圓柱截交線上點的方法3、例題1、平面與圓柱相交所得截交線形狀矩形橢圓圓2、求圓柱截交線上點的方法表面取點法

在圓柱表面取若干條素線，并求出這些素線與截平面的交點；當圓柱的軸線處于特殊位置時，可利用圓柱的積聚性投影直接求得交線上點的投影。3、例題[例題1]求圓柱截交線11'1"5"4"8'8"83254ⅥⅦⅢⅡⅣⅤⅠⅧ4'5'2'3'2"3"解題步驟1．分析截平面為正垂面，截交線的側(cè)面投影為圓，水平投影為橢圓；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3．求出若干個一般點Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。766'7'6"7"[例題2]求圓柱截交線解題步驟1．分析側(cè)面投影為圓的一部分，截交線的水平投影為橢圓的一部分；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

；3．求出若干個一般點Ⅳ、Ⅴ；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。3453'3"4'5'5'4'1'2'2"1"122'1'4'3'[例題3]求圓柱截交線解題步驟1．分析截交線的水平投影為直線和部分圓，側(cè)面投影為矩形；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．順次地連接各點，作出截交線并判別可見性；4．整理輪廓線。1'2'133'4'241"2"3"4"[例題4]求圓柱截交線解題步驟1分析截交線的水平投影為直線和部分圓，側(cè)面投影為矩形；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點，作出截交線并判別可見性；4整理輪廓線。1'2'3'4'1324[例題5]求圓柱截交線解題步驟1．分析截交線為矩形、橢圓及圓和直線的組合；截交線的水平投影為已知，側(cè)面投影為矩形、橢圓和直線的組合；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．求一般點Ⅴ；4．順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。3'31'122'4'455'3"2"5"1"4"[例題6]想象出物體及其側(cè)面投影的形狀三、平面與圓錐相交1、平面與圓錐相交所得截交線形狀2、圓錐截交線的求法3、例題1、平面與圓錐相交的截交線圓橢圓三角形雙曲線加直線段拋物線加直線段2、求圓錐截交線上點的方法求圓錐截交線上點的方法為:1.素線法在圓錐表面取若干條素線，并求出這些素線與截平面的交點;2.緯圓法在圓錐表面上取若干個緯圓，并求出這些緯圓與截平面的交點.3、例題[例題1]求圓錐截交線解題步驟1．分析截平面為正垂面，截交線為橢圓；截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．求出一般點Ⅴ；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。3'33[例題2]求圓錐截交線解題步驟1．分析截平面為正平面，截交線為雙曲線；截交線的水平投影和側(cè)面投影已知，正面投影為雙曲線并反映實形；2．求出截交線上的特殊點A、C；3．求出一般點B

；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。a"a'acbb"b'c"c'[例題3]求圓錐截交線解題步驟1．分析截平面為正垂面?zhèn)绕矫?，截交線為部分橢圓和梯形的組合；其水平投影為部分橢圓和直線的組合，側(cè)面投影為部分橢圓和梯形的組合；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

；3．出一般點Ⅳ、Ⅴ

；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。a2314"5"1"1'a'2"3"2'3'544'5'[例題4]分析圓錐切割后截交線投影的形式[例題5]分析并想象出圓錐穿孔后的投影四、平面與圓球相交1、平面與圓球相交所得截交線形狀2、圓球截交線的求法3、例題1、平面與圓球相交所得截交線形狀圓2、求圓球截交線上點的方法緯圓法

在圓錐表面上取若干個緯圓，并求出這些緯圓與截平面的交點。3、圓球截交線例題[例題1]求圓球截交線解題步驟1．分析截平面為正垂面，截交線為圓；截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；3．求出若干個一般點A、B、C、D；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。1"2"123"4"34565"6"787"8"a"b"c"d"bacd2'1'3'4'5'6'7'8'a'bc'd'22"1[例題2]求圓球截交線解題步驟1．分析截平面為兩個側(cè)平面和一個水平面，截交線為圓弧和直線的組合；截交線的水平投影和側(cè)面投影均為圓弧和直線的組合；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ；3．求出各段圓弧；4．判別可見性，整理輪廓線。33'3"1'2'[例題3]求圓球截交線[例題4]分析并想象出圓球穿孔后的投影五、綜合題[例題1]分析并想象出物體的投影[例題2]求出物體切割后的投影3'333"[例題3]分析并想象出物體切割后的投影一、平面立體與平面立體相貫二、平面立體與曲面立體相貫三、曲面立體與曲面立體相貫基本要求§3-4立體的相貫線基本要求1.掌握平面立體與平面立體相貫線的性質(zhì)及作圖方法；2.掌握平面立體與曲面立體相貫線的性質(zhì)及作圖方法；3.掌握兩回轉(zhuǎn)體相貫線的性質(zhì)及作圖方法；4.掌握相貫線可見性的判別方法；5.了解和掌握相貫線的特殊情況和作用.一、

平面立體與平面立體相貫（一）概述（二）例題1例題2例題3（一）概述1．相貫線的性質(zhì)相貫線是兩立體表面的共有線，相貫線上的點是兩立體表面的共有點;不同的立體以及不同的相貫位置,相貫線的形狀也不同;2．相貫線的形狀兩平面立體的相貫線由折線組成。折線的每一段都是甲形體的一個側(cè)面與乙形體的一個側(cè)面的交線，折線的轉(zhuǎn)折點就是一個形體的側(cè)棱與另一形體的側(cè)面的交點。3．求相貫線的方法求兩平面立體相貫線的方法通常有兩種：一種是求各側(cè)棱對另一形體表面的交點，然后把位于甲形體同一側(cè)面又位于乙形體同一側(cè)面上的兩點，依次連接起來。另一種是求一形體各側(cè)面與另一形體各側(cè)面的交線。4．判別相貫線可見性的原則只有位于兩形體都可見的側(cè)面上的交線，是可見的。只要有一個側(cè)面不可見，面上的交線就不可見。[例題1]兩平面立體相貫，完成相貫線的投影1"yyyy14"44'233'2'1'3"2"解題步驟1．分析相貫線的正面投影已知，水平投影和側(cè)面投影未知；2．求出相貫線上的折點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．順次地連接各點，作出相貫線，并且判別可見性；4．整理輪廓線。[例題2]兩平面立體相貫，完成相貫線的投影12'3'4'5'6'1'32456解題步驟1．分析相貫線為左右兩組折線；相貫線的正面投影已知，水平投影未知；相貫線的投影前后、左右對稱2．求出相貫線上的折點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ

；3．順次地連接各點，作出相貫線，并且判別可見性；4．整理輪廓線。二、

平面立體與曲面立體相貫（一）概述（二）例題3例題4概述[例題3]平面立體與曲面立體相貫，完成相貫線的投影解題步驟1．分析相貫線為三段圓弧的組合；相貫線的水平投影已知，可利用表面取點法求共有點；2．求出相貫線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ

；3．求出若干個一般點Ⅷ、Ⅸ；4．光滑且順次地連接各點，作出相貫線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。THSHPH35QH123'9'8'6'7'1'2'4'5'46789觀看動畫[例題4]平面立體與曲面立體相貫，完成相貫線的投影解題步驟1．分析相貫線為圓弧和雙曲線的組合；相貫線的側(cè)面投影已知，可利用表面取點法求共有點；2．求出相貫線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ；3．求出一般點Ⅲ；4．光滑且順次地連接各點，作出相貫線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。觀看動畫三、曲面立體相貫（一）相貫線的性質(zhì)（二）曲面立體相貫的三種基本形式（三）求曲面立體相貫線的方法（四）輔助面的選用原則（五）求相貫線的一般步驟（六）復合相貫線（七）相貫線的特殊情況（八）相貫線的變化趨勢（九）例題（一）相貫線的性質(zhì)圖例1.相貫線是兩曲面立體表面的共有線，相貫線上的點是兩曲面立體表面的共有點。2.不同的立體以及不同的相貫線一般是封閉的空間曲線，特殊情況下為平面曲線或直線。曲面立體相貫線的性質(zhì)圖例（二）曲面立體相貫的三種基本形式2．外表面與內(nèi)表面相交；1．兩外表面相交；3．兩內(nèi)表面相交。（三）求曲面立體相貫線的方法1．表面取點法2．輔助平面法3．輔助球面法求作相貫線時，先求出適當數(shù)量的共有點，然后依次光滑連接而成，求共有點的方法是：（1）若相貫線有一個投影已知，可采用輔助面法或表面取點法作出；（2）若相貫線有兩個投影已知，可采用表面取點法或由二求三的方法作出；（3）若相貫線的三個投影均未知，可采用輔助面法作出；（4）若求輪廓素線上的點，有時須包括輪廓素線作輔助面（四）輔助面的選用原則1．利用表面取點法或由二求三的方法求相貫線2、利用輔助平面法求相貫線（五）求相貫線的一般步驟2．求作相貫線上的特殊點。3．根據(jù)需要求出若干個一般點。4．光滑且順次地連接各點，作出相貫線，并判別可見性。5．整理輪廓線。分析（1）首先分析兩曲面立體的幾何形狀、大小和相對位置；（2）分析相貫線；（3）分析兩曲面立體對投影面的相對位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性，哪個投影有積聚性；分析相貫線哪個投影是已知的，哪個投影是要求作的；特殊點特殊點有極限位置點、輪廓素線上的點、曲線特征和結(jié)合點四種。這里輪廓素線上的點并不都是區(qū)別相貫線可見與不可見部分的分界點，只有距離觀察者近的一個曲面立體輪廓素線上的點才是區(qū)別可見性的分界點。（六）復合相貫線

三個或三個以上的立體相交在一起，稱為復合相貫。這時相貫線由若干條相貫線組合而成，結(jié)合處的點稱為結(jié)合點。處理復合相貫線，關鍵在于分析，找出有幾個兩兩曲面立體相貫，從而確定其有幾段相貫線組成。（七）相貫線的特殊情況（1）兩個回轉(zhuǎn)體具有公共軸線時，其表面的相貫線為圓，并且該圓垂直于公共軸線。當公共軸線處于投影面垂直位置時，相貫線有一個投影反映圓的實形，其余投影積聚為直線。（2）外切于同一球面的圓錐、圓柱相交時，其相貫線為兩條平面曲線—橢圓。當兩立體的相交兩軸線同時平行于某一投影面時，則此兩橢圓曲線在該投影面上的投影，為相交兩直線。當兩個回轉(zhuǎn)體具有公共軸線時，其表面的相貫線為圓外切于同一球面的圓錐、圓柱相交時，其相貫線為兩條平面曲線—橢圓外切于同一球面的兩圓柱正交時，其相貫線為兩條平面曲線—橢圓外切于同一球面的兩圓柱斜交時，其相貫