常用的參數(shù)曲線

常用的參數(shù)曲線第一頁，共四十頁，2022年，8月28日1、1963年美國波音（Boeing）飛機(jī)公司的佛格森（Ferguson）最早引入?yún)?shù)三次曲線，將曲線曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式，構(gòu)造了組合曲線和由四角點(diǎn)的位置矢量、兩個方向的切矢定義的佛格森雙三次曲面片。2、1964年，美國麻省理工學(xué)院（MIT）的孔斯Coons）用封閉曲線的四條邊界定義一張曲面。同年，斯恩伯格（Schoenberg）提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式。 如何表示象飛機(jī)、汽車、輪船等具有復(fù)雜外形產(chǎn)品的表面是工程中必須解決的問題。第二頁，共四十頁，2022年，8月28日4、1972年，德布爾（deBoor）給出了B樣條的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算方法。1974年，美國通用汽車公司的戈登（Gorden）和里森費(fèi)爾德（Riesenfeld）將B樣條理論用于形狀描述，提出了B樣條曲線和曲面。1975年，美國錫拉丘茲（Syracuse）大學(xué)的佛斯普里爾（Versprill）提出了有理B樣條方法。80年代后期皮格爾（Piegl）和蒂勒（Tiller）將有理B樣條發(fā)展成非均勻有理B樣條方法，并已成為當(dāng)前自由曲線和曲面描述的最廣為流行的技術(shù)。3、1971年，法國雷諾（Renault）汽車公司的貝塞爾（Bezier）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。同期法國雪鐵龍Citroen汽車公司的德卡斯特里奧（deCastelijau）也獨(dú)立地研究出與Bezier類似的方法。第三頁，共四十頁，2022年，8月28日

一、Bezier曲線

Bezier曲線的形狀是通過一組多邊折線（特征多邊形）的各頂點(diǎn)唯一地定義出來的。在這組頂點(diǎn)中：

(1)只有第一個頂點(diǎn)和最后一個頂點(diǎn)在曲線上；

(2)其余的頂點(diǎn)則用于定義曲線的導(dǎo)數(shù)、階次和形狀；

(3)第一條邊和最后一條邊則表示了曲線在兩端點(diǎn)處的切線方向。第四頁，共四十頁，2022年，8月28日第五頁，共四十頁，2022年，8月28日

１.Bezier曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式Bezier曲線是由多項(xiàng)式混合函數(shù)推導(dǎo)出來的，通常n+1個頂點(diǎn)定義一個n次多項(xiàng)式。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：(0≤t≤1)式中：Ｐi：為各頂點(diǎn)的位置向量Ｂi,n(t)：為伯恩斯坦基函數(shù)第六頁，共四十頁，2022年，8月28日

伯恩斯坦基函數(shù)的表達(dá)式為：

假如規(guī)定：０＝１，０?。剑保瑒t

t=0:

i=0,Bi,n(t)=1

i0,Bi,n(t)=0

P(0)=P0

第七頁，共四十頁，2022年，8月28日

t=1:i=n,Bi,n(t)=1in,Bi,n(t)=0

P(1)=Pn所以說，“只有第一個頂點(diǎn)和最后一個頂點(diǎn)在曲線上”。即Bezier曲線只通過多邊折線的起點(diǎn)和終點(diǎn)。第八頁，共四十頁，2022年，8月28日

下面我們通過對伯恩斯坦基函數(shù)求導(dǎo)，來分析兩端切矢的情況。

得：

第九頁，共四十頁，2022年，8月28日

討論：

t=0:i=0:Bi-1,n-1(t)=0；Bi,n-1(t)=1。i=1:Bi-1,n-1(t)=1；Bi,n-1(t)=0。·（均出現(xiàn)0的非0次冪）第十頁，共四十頁，2022年，8月28日

t=0

同理可得，當(dāng)t=1時

這兩個式子說明：Bezier曲線在兩端點(diǎn)處的切矢方向與特征多邊形的第一條邊和最后一條邊相一致。且末端切矢的模長分別等于首末邊長的n倍，n為貝塞爾曲線的階次第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日Bezier曲線的性質(zhì)：（1）端點(diǎn)位置：

（2）端點(diǎn)的切線：曲線與P0P1，Pn-1Pn相切，

（3）端點(diǎn)的曲率：第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日（4）對稱性：若保持控制點(diǎn)的位置不變，但次序顛倒，即Pi變?yōu)镻n-i，則Bezier曲線形狀不變。（5）仿射不變性： 即Bezier曲線的形狀、重心及相對位置（與控制多邊形）與選擇的坐標(biāo)無關(guān)。方便圖形變換第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日（6）凸包性：

對于某個t值P(t)是特征多邊形各頂點(diǎn)的加權(quán)平均，權(quán)因子是 。在幾何圖形上，P(t)是各控制點(diǎn)的凸線性組合，并且曲線各點(diǎn)均落在Bezier特征多邊形構(gòu)成的凸包之中。第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日（7）直線再生性：

若控制頂點(diǎn)P0,P1,···,Pn在同一直線上，該Bezier曲線必為一條直線段（8）平面Bezier曲線的保凸性：如控制頂點(diǎn)為凸，則相應(yīng)的Bezier曲線也為凸第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日（9）變差縮減性：平面內(nèi)任一條直線與Bezier曲線的交點(diǎn)數(shù)，不多于此直線與控制多邊形的交點(diǎn)個數(shù)該性質(zhì)說明：Bezier曲線比控制多邊形波動得少，比控制多邊形光順。第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日（10）擬局部性（見程序）當(dāng)移動控制頂點(diǎn)Pi時，對應(yīng)參數(shù)t=i/n的曲線上的點(diǎn)變動最大，遠(yuǎn)離

i/n的曲線上的點(diǎn)變動越來越小Bezier曲線的形狀由其控制多邊形的形狀作較好的刻劃，在設(shè)計(jì)時，一般以控制多邊形的設(shè)計(jì)與修改為基本手段第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日

２.二次和三次Bezier曲線

(1)三個頂點(diǎn)：P0,P1,P2可定義一條二次(n=2)Bezier曲線：其相應(yīng)的混合函數(shù)為：

第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日

所以，根據(jù)式：

二次

Bezier曲線的表達(dá)形式為：P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2

P2

（０≤t≤1)第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日二次貝塞爾曲線的圖形P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2

P2P’(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2P(1/2)=1/2[P1+1/2(P0+P2)]P(0)=2(P1-P0)P(1)=2(P2-P1)P(1/2)=P2-P0第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日

(2)四個頂點(diǎn)P0、P1、P2、P3可定義一條三次Bezier曲線：

***第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日貝塞爾曲線在運(yùn)用中的不足之處

缺乏靈活性一旦確定了特征多邊形的頂點(diǎn)數(shù)(m個)，也就決定了曲

線的階次(m-1次)，無法更改；

控制性差當(dāng)頂點(diǎn)數(shù)較多時，曲線的階次將較高，此時，特征多邊形對曲線形狀的控制將明顯減弱；第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日不易修改由曲線的混合函數(shù)可以看出，其值在開區(qū)間(0,1)內(nèi)均不為零。因此，所定義之曲線在(0<t<1)的區(qū)間內(nèi)的任何一點(diǎn)均要受到全部頂點(diǎn)的影響，這使得對曲線進(jìn)行局部修改成為不可能。（而在外形設(shè)計(jì)中，局部修改是隨時要進(jìn)行的）第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日

二、B樣條曲線為了克服Bezier曲線存在的問題，

Gordon等人拓展了Bezier曲線，就外形設(shè)計(jì)的需求出發(fā)，希望新的曲線要：易于進(jìn)行局部修改；更逼近特征多邊形；是低階次曲線。于是，用n次Ｂ樣條基函數(shù)替換了伯恩斯坦基函數(shù)，構(gòu)造了稱之為Ｂ樣條曲線的新型曲線。第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日Ｂ樣條基函數(shù)

Bi，k（t）的雙下標(biāo)中第二個下標(biāo)k表示次數(shù)，第一個下標(biāo)i表示序號。欲確定第i個k次樣條Bi，k（t），需要用到ti、ti+1、，---，ti+k+1共k+2個點(diǎn)B樣條曲線的方程可表示為第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日B樣條曲線的性質(zhì)(1)局部性由定義可知,樣條基函數(shù)Bi,k只在[ti,ti+1]區(qū)間不為0，該段曲線只與控制頂點(diǎn)Pi-K+1,pi-k+2,……Pi有關(guān)(2)遞推性可根據(jù)遞推公式由低次的B樣條得出高次的B樣條。第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日（3）凸包性B樣條曲線的凸包由每一曲線段對應(yīng)的控制頂點(diǎn)的凸包的并集構(gòu)成。（4）直線再生性若控制頂點(diǎn)落在一條直線上，則該段曲線為直線（5）連續(xù)性（6）幾何不變性。曲線形狀由控制點(diǎn)決定，與坐標(biāo)系的選取無關(guān)（7）磨光性由同一組控制點(diǎn)定義的B樣條曲線，隨著k的增加，越來越光滑。第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日

2.Ｂ樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式Ｂ樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

在上式中，0≤

t≤1；i=0,1,2,…,m所以可以看出：Ｂ樣條曲線是分段定義的。如果給定

m+n+1個頂點(diǎn)Pi(i=0,1,2,…,m+n)，則可定義m+1段n次的參數(shù)曲線。第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日

在以上表達(dá)式中：Fk,n(t)為n次B樣條基函數(shù)，也稱Ｂ樣條分段混合函數(shù)。其表達(dá)式為：

式中：0≤t≤1k=0,1,2,…,n第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日

連接全部曲線段所組成的整條曲線稱為n次Ｂ樣條曲線。依次用線段連接點(diǎn)Pi+k(k=0,1,…,n)所組成的多邊折線稱為Ｂ樣條曲線在第i段的Ｂ特征多邊形。

第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日

３.二次Ｂ樣條曲線在二次Ｂ樣條曲線中，n=2,k=0,1,2故其基函數(shù)形式為：

第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日

有了基函數(shù)，因此可寫出二次Ｂ樣條曲線的分段表達(dá)式為：

(i=0,1,2,…,m)m+1段第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日

寫成一般的矩陣形式為：式中，Ｂk為分段曲線的Ｂ特征多邊形的頂點(diǎn)：P0,P1,P2。對于第i段曲線的Bk即為：Pi,Pi+1,Pi+2連續(xù)的三個頂點(diǎn)。（見下圖）

第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日n=2,二次B樣條曲線m+n+1個頂點(diǎn)，三點(diǎn)一段，共m+1段。i=0P0,2(t)i=1P1,2(t)第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日

二次Ｂ樣條曲線的性質(zhì)先對

P(t)求導(dǎo)得：

然后分別將t=0,t=0.5,t=1

代入

P(t)和P’(t)，可得：P(0)=1/2(B0+B1),P(1)=1/2(B1+B2);P’(0)=B1-B0,P’(1)=B2-B1;P(1/2)=1/2{1/2[P(0)+P(1)]+B1}P’(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)-P(0)第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日

與以上這些式子所表達(dá)的性質(zhì)相符的曲線是何種形狀：（見下圖）

第三十六頁，共四十頁，2022年，8月28日

結(jié)論：分段二次B樣條曲線是一條拋物線；有n個頂點(diǎn)定義的二次B樣條曲線，其實(shí)質(zhì)上是n-2段拋物線（相鄰三點(diǎn)定義）的連接，并在接點(diǎn)處達(dá)到一階連續(xù)。（見下圖）第三十七頁，共四十頁，2022年，8月28日

４.三次Ｂ樣條曲線分段三次Ｂ樣條曲線由相鄰四個頂點(diǎn)定義，其表達(dá)式為：P(t)=F0,3(t)?B0+F1,3(t)?B1+F2,3(t)?B2

+F3,3(t)?B3(0t1)可見，由n個頂點(diǎn)定義的完整的三次Ｂ樣條曲線是由n-3段分段曲線連接而成的