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《二項式定理（一）》教學(xué)設(shè)計貴州省高中數(shù)學(xué)李時建名師工作室吳作印一、教學(xué)設(shè)計1.教學(xué)內(nèi)容解析二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運用，是學(xué)習(xí)后一章“隨機(jī)變量及其分布”的基礎(chǔ)。中學(xué)教材中的二項式定理主要包括：二項式定理的推導(dǎo)，通項公式，楊輝三角，二項式系數(shù)的性質(zhì)等。通過二項式定理的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握“猜想-歸納-論證”的數(shù)學(xué)思想，同時在求展開式、其通項、證恒等式、近似計算等方面形成技能；進(jìn)一步體會過程分析與特殊化方法等的運用；二項式定理的證明是一個教學(xué)難點．這是因為，證明中符號比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)剡\用組合數(shù)的性質(zhì)。本節(jié)課起到了承上啟下的作用，是對之前所學(xué)計數(shù)原理的鞏固，也是對之后隨機(jī)變量及其分布（特別是超幾何分布）作鋪墊。而在高等數(shù)學(xué)中它是許多重要公式的共同基礎(chǔ)，根據(jù)二項式定理的展開，可以得到優(yōu)美的=e≈……2.學(xué)生學(xué)情分析二項式定理是初中學(xué)習(xí)的多項式乘法的繼續(xù)，它所研究的是一類特殊的多項式，表現(xiàn)為二項式的乘方的展開式，也是解決某些整除、近似計算等問題的重要方法之一。學(xué)生在初中是以多項式的乘法展開為載體，從具體式子感知多項式的展開。學(xué)生進(jìn)入高中一年多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，在數(shù)學(xué)符號化、公理化、抽象化等方面得到了有效的鍛煉，邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法得到了訓(xùn)練，特別是，前一節(jié)學(xué)習(xí)了計數(shù)原理后，對該節(jié)課推導(dǎo)二項式定理奠定了基礎(chǔ)。從學(xué)生現(xiàn)階段的思維特點分析，大部分學(xué)生解決展開式采用的是的不完全歸納法(猜想)，與初中學(xué)習(xí)的多項式的展開結(jié)合起來，從、、、……的展開式的形式特點等方面進(jìn)行類比，教師可以因勢利導(dǎo)，讓學(xué)生體會從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法。然而，無窮大時，能保證展開式恒成立嗎？3．教學(xué)策略分析考慮到本節(jié)課要讓學(xué)生在以下幾個方面得到收獲：一是掌握二項式定理的推導(dǎo)過程（生長性）；二是基礎(chǔ)知識，準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念（項、項的系數(shù)、二項式系數(shù)、通項公式等），并能靈活運用數(shù)學(xué)思想方法；三是“猜想—證明——歸納”的一般規(guī)律及方法。基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)思維水平，故本節(jié)課從學(xué)生已有的認(rèn)知作為出發(fā)點，先讓學(xué)生計算……在繁瑣的計算過程中激發(fā)學(xué)生去思考更有效的方法解決該問題。采用了數(shù)學(xué)探究式教學(xué)模式組織教學(xué)，在解決簡單具體問題的基礎(chǔ)上，抽象出解決一般問題的方法，讓學(xué)生親身經(jīng)歷“提出問題—解決問題—總結(jié)規(guī)律”，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)意識和習(xí)慣。更是設(shè)置“問題串”，促進(jìn)學(xué)生深層次思考。在教學(xué)過程中，設(shè)置“創(chuàng)設(shè)問題情境，因疑惑而激趣——親身體驗，探索新知——合作探究，總結(jié)規(guī)律——典型例題分析——強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固提升”讓學(xué)生體會研究問題的方式方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析概括的能力，以及化歸意識。教學(xué)中教師充分發(fā)揮主導(dǎo)作用，營造民主、平等、和諧、積極的課堂氛圍，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，以數(shù)學(xué)問題情境為立足點，為學(xué)生自主探索、合作交流提供足夠的時間和空間，放手讓學(xué)生獨立思考，大膽實踐，在已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上主動建構(gòu)。并由此獲得成功的體驗，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，踐行貴州師范大學(xué)呂傳漢教授“教思考，教體驗，教表達(dá)”的理念。4．教學(xué)目標(biāo)設(shè)置知識與技能：(1)理解并掌握二項式定理，能利組合思想證明二項式定理；(2)能利用通項公式求某一項的系數(shù)。過程與方法：通過學(xué)生參與和探究二項式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式。情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會數(shù)學(xué)語言的簡潔和嚴(yán)謹(jǐn)。教學(xué)重點：用計數(shù)原理分析、的展開式，推導(dǎo)二項式定理；教學(xué)難點：利用計數(shù)原理分析二項式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項式形成單項式之和時各項系數(shù)的規(guī)律。二、教學(xué)過程1.創(chuàng)設(shè)問題情境，因疑惑而激趣教師：請同學(xué)們計算下面兩個題：【教師巡視2分鐘，學(xué)生用初中多項式的乘法展開，……】教師：有的同學(xué)計算得很快哦，要不再來計算一個：【觀察學(xué)生反應(yīng)：只有少部分學(xué)生用初中方法埋頭苦干，大部分學(xué)生停下演算靜靜的思考……】【說明：學(xué)生表示預(yù)設(shè)學(xué)生可能回答或提出的問題】學(xué)生1：就是4個相乘，計算有點麻煩，要算到什么時候去哦！學(xué)生2：我們應(yīng)該尋求一個能代表這些式子的一個通式。學(xué)生3：就像數(shù)列的通項公式嗎？……教師：你能猜想的展開式是什么嗎？【設(shè)計意圖：鼓勵學(xué)生大膽猜想是教學(xué)生數(shù)學(xué)思考問題的開始，也許學(xué)生的猜想沒有道理，甚至是錯誤的，但問題意識的種子卻已在他們的頭腦生根，慢慢發(fā)芽……】教師：同學(xué)們，你們現(xiàn)在的困惑，就是牛頓當(dāng)年的困惑……那是1664年冬，22歲的牛頓在研讀沃利斯博士的《無窮算術(shù)》時，引發(fā)了許多思考…都可以用初中多項式的乘法展開，如果你是牛頓，接下來會思考一個什么問題呢？學(xué)生4：研究這三個式子展開式的規(guī)律，得到一般的規(guī)律。學(xué)生5：一般情形下，當(dāng)時，等于多少？……教師：同學(xué)們很聰明啊，和偉大的牛頓當(dāng)年想的一樣啊。那么，研究規(guī)律的最終目的是想得到什么結(jié)論？今天，就讓我們沿著大數(shù)學(xué)家牛頓的足跡，重溫他探究、發(fā)現(xiàn)二項式定理的過程。教師板書：二項式定理：【設(shè)計意圖】從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)設(shè)置問題情境，在困惑中激發(fā)學(xué)生思考解決問題方法，讓多數(shù)學(xué)生能動手動腦，不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更是調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的積極性。數(shù)學(xué)不是冰冷的美麗，她是來自現(xiàn)實的火熱思考。問題情境中滲透數(shù)學(xué)史，且緊扣本節(jié)課的主題與重點。（點評：與數(shù)學(xué)史情境有機(jī)結(jié)合，把學(xué)生帶入本課時學(xué)習(xí)主題。）2.親身體驗，探索新知教師：接下來我們來研究這個問題，應(yīng)該從哪里入手呢？學(xué)生6：從上面的特殊情況入手，研究、發(fā)現(xiàn)它們展開后的規(guī)律，再推廣到這種一般情況。學(xué)生7：好像每一項都有，只是系數(shù)不同。學(xué)生8：不對！有一項只有，有一項只有。教師：“從特殊到一般”是研究問題的常用方法。同學(xué)們觀察得很仔細(xì)?。。A(yù)設(shè)：學(xué)生應(yīng)該能觀察出展開式中項的規(guī)律，若觀察不出來，教師適當(dāng)點撥。）教師：記得剛才有同學(xué)說，就是四個相乘，剛才求得的展開式是這樣的：。請思考問題：①展開式中各種類型的項是如何得到的？②展開式中各項的系數(shù)是如何確定的？（點評：具有導(dǎo)向性的問題能指引學(xué)生明確研究方向，教師做到了適時點撥）學(xué)生9：分步計數(shù)原理：第一步，第一次取有兩種不同的方法；第二步，第二次取有兩種不同的方法，共四步，共有項。學(xué)生10：但是展開式只有5項……哦，合并同類項了！【設(shè)計意圖】考慮到所任教的學(xué)生是貴州省一類示范高中的實驗班，基礎(chǔ)較扎實，所以直接用課本30頁的探究作為該節(jié)課探究載體。教師確定研究方向后讓學(xué)生自主探究，留給學(xué)生足夠的時間和空間。因為教師提出的兩個問題具有明顯的指向性，預(yù)設(shè)能夠讓學(xué)生回憶計數(shù)原理。若學(xué)生遇到困難，教師可以回到展開式進(jìn)行點撥。【預(yù)設(shè)學(xué)生遇到困難，教師提示】是2個相乘，根據(jù)多項式乘法法則，每個再相乘時有兩種選擇，選或選，而且每個中的或都選定后，才能得到展開式的一項。于是，由分步乘法原理，再合并同類項之前，的展開式有4項，而且每一項都是的形式。每個都不取的情況有1種，即,即前的系數(shù)為；恰有1個取的情況有2種，即，即前的系數(shù)為；恰有2個取的情況有1種，即，即前的系數(shù)為；因此，【設(shè)計意圖】預(yù)設(shè)當(dāng)學(xué)生思維遇阻時，降低難度，讓學(xué)困生體會展開式的項及其各項系數(shù)的由來；引導(dǎo)學(xué)生用計數(shù)原理進(jìn)行再思考，分析各項以及項的個數(shù)，這也為推導(dǎo)的展開式提供了方法，使學(xué)生在后續(xù)的探究“法”。學(xué)生：……教師：同學(xué)們分析得不錯。其實，根據(jù)多項式乘法法則，展開式的每一項都是從這四個括號中各任取一個字母相乘得到的。我們分析的結(jié)論是有五種不同類型的項，第一類：四個括號都取相乘得到；第二類：三個括號都取，一個括號取得到；第三類……，第四類……教師：A同學(xué)，你具體分析有哪幾種情形可以得到？它的系數(shù)4又是如何確定的？學(xué)生A：是這四個括號中一個括號取，另三個括號取相乘得到的，共有四種取法，所以系數(shù)為4。教師：A同學(xué)回答得很好，觀察得很仔細(xì)，很好地回答了問題①②，請坐！教師：接下來我們一起看其他情形。（教師多媒體動畫演示）【設(shè)計意圖】由比課本例題稍微難一點的具體問題啟發(fā)學(xué)生再思考，目的是讓學(xué)生找到二項式展開式的各項及其各項的系數(shù)，對于學(xué)生的發(fā)現(xiàn)及時給予充分的表揚和鼓勵。這個過程讓學(xué)生親身經(jīng)歷了從“繁雜計算之苦”到領(lǐng)悟“分步乘法原理與組合數(shù)的簡潔美”，這也是一個內(nèi)化的過程。（點評：教師動畫演示，加深學(xué)生對展開式來龍去脈的理解，為合作探究作鋪墊。）預(yù)設(shè)：若學(xué)生還是觀察不出其規(guī)律，采取如下方式。可以為歸納二項式定理的通項公式作鋪墊。說明：教師分析展開式每一項特征，并師生共同歸納出其表達(dá)式；，由學(xué)生獨立思考并展示。3.合作探究，總結(jié)規(guī)律教師：接下來我們要牛頓一樣的思考！問題：一般情形下，當(dāng)時，等于多少？【說明】將學(xué)生分成9組，每組7人，2人負(fù)責(zé)展開式書寫并證明；2人負(fù)責(zé)歸納展開式的特征；3人負(fù)責(zé)展開式的記錄、展示。目的是這樣分層提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。學(xué)生小組討論，歸納并總結(jié)。時間是8分鐘?！径嗝襟w展示】共有項；二項式系數(shù)：、、、．．．、、．．．、；通項：注意區(qū)分項，項的系數(shù)，二項式系數(shù)這三個概念?！驹O(shè)計意圖】通過小組合作學(xué)習(xí)，加強(qiáng)師生、生生之間的交流。充分體現(xiàn)教師主導(dǎo)學(xué)生主體地位，學(xué)生深層次的參考與到課堂學(xué)習(xí)，成為課堂的主人，加深對所得結(jié)論的理解，培養(yǎng)學(xué)生自主、合作、交流的能力；讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，做到呂傳漢教授提出的“教思考、教體驗、教表達(dá)”。【問題】各二項式系數(shù)之和是多少？即【教師點撥】（1）將二項式定理左邊、都賦值為1，得；（2）二項式定理給出了一個恒等式，即對兩項、的一切取值都成立，因此對其特殊值也成立，賦值法是解決與二項展開式系數(shù)有關(guān)問題的重要手段。在二項式定理中令，那么二項式定理變成一個關(guān)于的函數(shù)。所有各項系數(shù)和就是。【設(shè)計意圖】適當(dāng)拔高，給學(xué)生提供思考的空間，好的數(shù)學(xué)問題能點燃學(xué)生的激情，好奇心總能激發(fā)學(xué)生有效參與課堂學(xué)習(xí)。4.典型例題分析例1：.【要求】學(xué)生4分鐘自主完成，然后教師投影展示部分學(xué)生成果；預(yù)設(shè)：學(xué)生可能出現(xiàn)的兩種解法：方法一：直接展開；方法二：先化簡后展開。重點強(qiáng)調(diào)方法二，先通分化簡，再運用二項式定理展開，降低計算難度?！咀穯枴坷}中的第二項，第二項系數(shù)，第二項的二項式系數(shù)分別是多少？……（點評：方法的優(yōu)化有助于解決問題的“精、準(zhǔn)、簡”，不斷的追問強(qiáng)化了學(xué)生對容易混淆知識點理解）5.強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固提升A組基礎(chǔ)題（1）求的展開式；（2）求的展開式的第4項的系數(shù)；（3）求的展開式中的系數(shù)；（4）求的展開式的第四項的二項式系數(shù)；【設(shè)計意圖】設(shè)置題目由淺入深，面向全體學(xué)生，鞏固新知，把課本例題2安排在訓(xùn)練題組中。B組提升題（1）若的展開式中的系數(shù)是，則．（2）求的展開式中含x4項的系數(shù)為.【設(shè)計意圖】設(shè)置問題在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，跳一跳，夠得著。知識的靈活運用，對所學(xué)新知識點有效提升。三、歸納總結(jié)（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？（2）你掌握了哪些學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法？【設(shè)計意圖】師生共同就上述問題進(jìn)行討論、交流、總結(jié)，讓學(xué)生充分發(fā)表自己的意見。學(xué)生自己總結(jié)，對知識點進(jìn)行梳理，加深理解。四、作業(yè)布置習(xí)題組第2題（2）；第4題（2）（3）；第5題。五、教學(xué)反思1、教學(xué)設(shè)計中，設(shè)置了“創(chuàng)設(shè)問題情境，因疑惑而激趣—親身體驗，探索新知—合作探究，總結(jié)規(guī)律—典型例題分析—強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固提升”五個環(huán)節(jié)層層深入，環(huán)環(huán)相扣，充分體現(xiàn)師學(xué)、生生的交流互動，在教師主導(dǎo)下，學(xué)生通過動手、動眼、動腦，經(jīng)歷了知識的形成和發(fā)展過程。2、以“問題”為紅線，促進(jìn)學(xué)生深層次參與課堂學(xué)習(xí)。本節(jié)課在精心設(shè)置問題驅(qū)動下，學(xué)生對知識和方法的探究由表及里，逐步深入。以“問題”為主線組織教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生提出問題并解決問題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵。教學(xué)實驗表明，學(xué)生能否提出問題不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷等的影響。本節(jié)課由簡單的兩個問題，開始，接著在，，乃至的困惑下，激發(fā)學(xué)生去思考新的方法解決這個新問題。問題①展開式中各種類型的項是如何得到的？②展開式中各項的系數(shù)是如何確定的？引領(lǐng)學(xué)生直至解決問題的核心。在教學(xué)各個環(huán)節(jié)中以問題為主