第五章債務(wù)償還

1債務(wù)償還

RepayingLoans2主要內(nèi)容分期償還法（amortizationmethod）等額變額償債基金法（sinkingfundmethod）等額變額抵押貸款（略）3債務(wù)償還的兩種方法分期償還法（amortizationmethod）：借款人分期償還貸款，在每次償還的金額中，包括：當(dāng)期利息一部分本金償債基金法（sinkingfundmethod）：借款人在貸款期間：分期償還利息積累償債基金，到期時一次性償還貸款本金。4一、等額分期償還(levelinstallmentpayments)在等額分期償還法中，需要解決的問題包括：（1）每次償還的金額(loanpayments)是多少？（2）未償還的本金余額（loanbalance，loanoutstanding,principaloutstanding）是多少？（3）在每次償還的金額中，利息和本金分別是多少？51．每次償還的金額貸款的本金是L0期限為n年年實際利率為i每年末等額償還R則每次償還的金額R可表示為（levelloanpayment）62．未償還本金余額問題：假設(shè)貸款的本金是L0，期限為n年，年實際利率為i。每次償還的金額為R。確定第k年末尚未償還的貸款余額。方法：將來法（prospectivemethod）過去法（retrospectivemethod）7方法一：將來法（prospectivemethod）把將來需要償還的金額折算成計算日的現(xiàn)值，即得未償還本金余額。第k年末，將來還需償還(n–k)次，故未償還本金余額為8方法二：過去法（retrospectivemethod）從原始貸款本金的累積值中減去過去已付款項的累積值。原始貸款本金累積到第k年末的價值：已償還的款項累積到第k年末的價值：未償還本金余額：9命題：將來法與過去法等價。證明：

（過去法,第k年末）（將來法）10Example1：Aloanisbeingrepaidwith10paymentsof$2000followedby10paymentsof$1000attheendofeachhalf-year.Ifthenominalrateofinterestconvertiblesemiannuallyis10%,findtheoutstandingloanbalanceimmediatelyafterfivepaymentshavebeenmadebyboththeprospectivemethodandtheretrospectivemethod.10次，每次200010次，每次1000支付5次以后，貸款余額是多少？11解：實際利率為每半年5％；（1）由將來法，未償還貸款余額為

貸款本金為（2）由過去法，未償還貸款余額為12Example2：Aloanisbeingrepaidwith20annualpaymentsof$1000each.Atthetimeofthefifthpayment,theborrowerwishestopayanextra$2000andthenrepaythebalanceover12yearswitharevisedannualpayment.Iftheeffectiverateofinterestis9%,findtheamountofrevisedannualpayment.13解：由將來法，5年后的余額為

如借款人加付2000，則余額成為6060.70。

假設(shè)修正付款額為X，價值方程為故143、每期償還的本金和利息：本息分解基本原理：還款額優(yōu)先支付利息，剩余部分償還本金。設(shè)第t年末的還款額為R，利息部分為It，本金部分為Pt，記Lt為第

t年末的未償還貸款余額，則有t的減函數(shù)t的增函數(shù)15遞減幾何遞增將來法分期償還表16i=0.1n=20v=(1+i)^(-1)I=P=B=NULLfor(kin1:n){I[k]=1-v^(n-k+1)P[k]=v^(n-k+1)B[k]=(1-v^(n-k))/i}dat=cbind(interest=I,principal=P)barplot(t(dat),names.arg=1:20,main='20年期的等額分期償還：利息（深色）遞減，本金（淺色）遞增',xlab='年度',ylab='每年的付款額')17i=0.1n=20v=(1+i)^(-1)I=P=B=NULLfor(kin1:n){ B[k]=(1-v^(n-k))/i}barplot(B,names.arg=1:20,main='20年期的等額分期償還的未償還貸款余額')18例3：一筆貸款的期限為2年，每季度等額償還一次，每年復(fù)利4次的年貸款利率為6%，如果第一年末償還的本金為2000元，請計算在第二年末應(yīng)該償還的本金。解：季度實際利率為i=1.5%

第1年末（第4個季度末）償還的本金：P4=Rv8–4+1=Rv5

第2年末（第8個季度末）償還的本金：P8=Rv8–8+1=Rv

所以P8/P4=v–4=(1+i)4，即

P8=P4(1+i)4=2000(1.015)4=2122.73（元）19Example4：A$1000loanisbeingrepaidbypaymentsof$100attheendofeachquarterforaslongasnecessary,plusasmallerfinalpayment.Ifthenominalrateofinterestconvertiblequarterlyis16%,findtheamountofprincipleandinterestinthefourthpayment.20解：第三次還款后的未償還貸款余額為從而有注意：此例無需算出最后一次付款的時期與金額。注：另一種解法（了解）21Exercise5：Aloanisbeingamortizedbymeansoflevelmonthlypaymentsatanannualeffectiveinterestrateof8%.Theamountofprincipalrepaidinthe12-thpaymentis1000andtheamountofprincipalrepaidinthet-thpaymentis3700.Calculatet.22月實際利率為第12次付款中的本金為（R為每次的付款額，n為付款總次數(shù)）第t次付款中的本金為解上述方程組即得t=21623Exercise6：Aborrows$10,000fromBandagreestorepayitwithequalquarterlyinstallmentofprincipleandinterestat8%,convertiblequarterlyoversixyears.AttheendoftwoyearsBsellstherighttoreceivefuturepaymentstoCataprice,whichproducesayieldrateof10%convertiblequarterlyforC.Findthetotalamountofinterestreceived:(1)byC,and(2)byB.24A收入10000支出528.71…528.71528.71…528.71B收入528.71…528.71X支出10000C收入528.71…528.71支出X2年，8次4年，16次25解：六年中A的每次還款額為C的利息

C的總收入：16(528.71)＝8459.36C的買價（支出）：從而C的利息為：

8459.36-6902.31=1557.0526B的利息

B在前2年的總收入為

8×528.71=4229.68（A償還的金額）

6902.31（從C獲得的資金，賣價）

B在期初借出的資金為10000元故B的利息收入為

4229.68+6902.30-10000=1131.9927Exercise7：Anamountisinvestedatanannualeffectiverateofinterestiwhichisjustsufficienttopay1attheendofeachyearfornyears.Inthefirstyearthefundactuallyearnsrateiand1ispaidattheendofthefirstyear.However,inthesecondyearthefundearnsratej,wherej>i.Findtherevisedpaymentwhichcouldbemadeattheendsofyear2throughn;(1)Assumingtherateearnedrevertsbacktoiagainafterthisoneyear;(2)Assumingtherateearnedremainsjfortherestofn-yearperiod.28(1)第2年末，付款發(fā)生前，下述兩種方法計算的余額相等左邊：未來n-1次付款的現(xiàn)值（含第2年末的1次支付）右邊：第1年末的價值為a(n-1),按j累積1年，即為第2年末的累積值29(2)第1年末，下述兩種方法計算的余額相等即有Y大于1還是小于1？與X比較哪個大？30二、等額償債基金含義：借款人分期償還貸款利息(servicepaymentoftheloan,generallyequalstheamountofinterestdue)，同時積累一筆償債基金，用于到期時償還貸款本金。例：假設(shè)某人從銀行獲得10000元的貸款，期限為５年，年利率為６%。雙方約定：（１）借款人每年末向銀行支付600元利息；（２）借款人在銀行開設(shè)一個存款帳戶，每年末向該帳戶存入1791.76元，該帳戶按5.5％的利率計算利息。到第５年末，該帳戶的累計余額正好是10000元，用于償還貸款本金。借款人在銀行開設(shè)的該帳戶就是償債基金（sinkingfund）。31等額償債基金法需要解決的問題借款人在每年末的付款總金額，包括：向償債基金的儲蓄額支付貸款利息每年末的貸款凈額。借款人每年實際支付的利息。（略）32符號:L0

原始貸款本金i

貸款年利率n

貸款期限I

借款人在每年末名義上支付的利息，即

I=iL0

j

償債基金的利率D

借款人每年末向償債基金的儲蓄額33假設(shè)借款人每年末向償債基金的儲蓄額為D，則因此，借款人在每年末的付款總金額為借款人在每年末的付款總額：34第k年末的貸款凈額為償債基金在第k年末的累積值為每年末的貸款凈額：35償債基金在第k年初的余額（已經(jīng)償還的本金）為它在第k年所產(chǎn)生的利息為借款人在第k年末實際支付的利息金額應(yīng)為借款人每年實際支付的利息(略)：36特例：償債基金利率j=貸款利率i當(dāng)j=i時，借款人在每年末支付的總金額為（等額分期償還金額）因為結(jié)論：當(dāng)j=i時，等額分期償還法=等額償債基金法37問題：對借款人而言，下列哪種貸款的成本低？分期償還法：貸款利率為i償債基金法：貸款利率為i，償債基金利率為j，i>j38例8假設(shè)：兩筆貸款的本金均為10000元，期限均為5年，但償還方式不同：第一筆：采用償債基金方法償還，貸款利率為6%，償債基金利率為5%。第二筆：采用等額分期方法償還。問題：當(dāng)?shù)诙P貸款的利率為多少時，兩筆貸款對借款人而言是等價的。39對于第一筆貸款（償債基金法），借款人在每年末需要支付的金額為40對于第二筆貸款（分期償還法），假設(shè)其利率為r，則借款人在每年末需要支付的金額為令此式等于2409.75，則有r=6.552%注：在兩種方法等價的情況下，等額分期償還法的貸款利率（6.552%）大于償債基金法中的貸款利率（6%）。41等價利率的一種近似解法（略）：與償債基金法等價的分期償還利率r可近似表示為r=i

+0.5(i–j)在上例中，近似的等價利率為r=6%+0.5(6%–5%)=6.5%償債基金法的貸款利率借款人在償債基金中損失的利率。真實利率r=6.552%42SinkingfundloangeneralequationofvalueS:servicepayment,maynotequaltheamountofinterestdue.D:sinkingfundpaymenti:loaninterestratej:sinkingfundinterestrate43Example9(FM,example5.22,P156)Aloanof$10000isrepaidannuallyover10yearsusingthesinkingfundmethod.Interestontheloanischargedatanannualeffectiverateof5%,butthelenderrequiresaservicepaymentof$600attheendofeachyear.Determinethelevelannualsinkingfundpaymentifthesinkingfundcreditsinterestatanannualeffectiveinterestrateof4%.該筆貸款的實際利率為5.52%：>f=function(i)1328.15*(1-(1+i)^(-10))/i-10000>uniroot(f,c(-0.05,0.08))$root[1]0.0552217注：服務(wù)費增加，實際利率會降低。如：增加到800，D=518.62，實際利率為5.37%44等額分期償還與等額償債基金的比較相同點：定期、等額。不同點：已償還本金的計息方式不同。等額分期償還法：已經(jīng)償還的本金按貸款利率i計息。等額償債基金法：已經(jīng)償還的本金（即存入償債基金的金額）按利率j計息。關(guān)系：當(dāng)貸款利率=償債基金的利率時，等額償債基金法=等額分期償還法。45A20-yearloanof20,000mayberepaidunderthefollowingtwomethods:i)amortizationmethodwithequalannualpaymentsatanannualeffectiverateof6.5%ii)sinkingfundmethodinwhichthelenderreceivesanannualeffectiverateof8%andthesinkingfundearnsanannualeffectiverateofj.BothmethodsrequireapaymentofXtobemadeattheendofeachyearfor20years.Calculatej.Exercise10:46Solution:20000=X

,每年支付的金額：X=1815.13.償債基金法中每年支付的利息：0.08(20000)=1600每年向償債基金支付：X–1600=3=20000.j=14.18%.47Johnborrows10,000for10yearsatanannualeffectiveinterestrateof10%.Hecanrepaythisloanusingtheamortizationmethodwithpaymentsof1,627.45attheendofeachyear.Instead,Johnrepaysthe10,000usingasinkingfundthatpaysanannualeffectiveinterestrateof14%.Thedepositstothesinkingfundareequalto1,627.45minustheinterestontheloanandaremadeattheendofeachyearfor10years.Determinethebalanceinthesinkingfundimmediatelyafterrepaymentoftheloan.Exercise11：48Solution:已知每年支付額為1627.45每年支付的利息為：0.10(10000)=1000.因此向償債基金支付：1627.45-1000=627.45償債基金在10年末的價值為（扣除本金10000之后）：627.45-10000=213349四、變額分期償還假設(shè)原始貸款金額為L0，每期末償還的金額為Rt（t=1，2，…，n）則有下面通過幾個例子說明變額分期償還的應(yīng)用：（1）等額本金（2）算術(shù)級數(shù)變化（3）幾何級數(shù)變化

50例12（等額本金償還）：一筆10000元的貸款，期限為5年，年實際利率為5%，每年末償還2000元本金。試構(gòu)造分期償還表（amortizationschedule）。年份償還本金未償還本金余額支付當(dāng)年利息（5％）每年末償還的總金額(1)(2)(3)(4)(5)=(2)+(4)0100001200080005002500220006000400240032000400030023004200020002002200520000100210051例13（償還額按算術(shù)級數(shù)變化）：假設(shè)貸款期限為5年，年實際利率為6%。借款人在每年末分期償還，每年末的償還金額依次為2000元，1800元，1600元，1400元，1200元。請計算（1）貸款本金為多少？（2）第三年末償還的利息和本金分別為多少？52貸款本金L0應(yīng)該等于上述年金的現(xiàn)值，因此有第三年初（即第二年末）未償還的本金為（將來法）第三年支付的利息為

I3=iL2=0.06×3762.97=225.78第三年末償還的本金為P3=R3–I3=1600–225.78=1374.2153A10-yearloanof2000istoberepaidwithpaymentsattheendofeachyear.Itcanberepaidunderthefollowingtwooptions:(i)Equalannualpaymentsatanannualeffectiverateof8.07%.(ii)Installmentsof200eachyearplusinterestontheunpaidbalanceatanannualeffectiverateofi.Thesumofthepaymentsunderoption(i)equalsthesumofthepaymentsunderoption(ii).Determinei.Exercise14:54Solution:Option1:R=299?Totalpayments=2990Option2:Interestneedstobe2990-2000=990990=i[2000+1800+1600+…+200]=i[11,000]

i=0.0955例15（償還額按幾何級數(shù)變化）：一筆10000元的貸款，年實際利率為10%，期限為6年，每年末償還一次，每次的償還金額以50%的速度遞增。請構(gòu)造分期償還表。解：假設(shè)第一年末的償還金額為R1，則有其中所以R1=736.69元。56第一年末應(yīng)該支付的利息為

I1=10000×0.1=1000（元）顯然，第一年償還的總金額736.69元還不足以支付當(dāng)年的利息1000元，故第一年償還的本金為負(fù)P1=R1–I1=736.69–1000=–263.31（元）所以第一年末的未償還本金余額將會增加，即增加為

L1=L0–P1=10000+263.31=10263.31（元）57第二年應(yīng)該支付的利息為I2=iL1=0.1×10263.31=1026.33（元）按照幾何級數(shù)計算，借款人在第二年末償還的總金額為R2=1.5R1=736.69×1.5=1105.04（元）所以第二年償還的本金為P2=R2–I2=1105.04–1026.33=78.71（元）第二年末的未償還本金余額為L2=L1–P2=10263.31–78.71=10184.6（元）依此類推，其他各年的計算結(jié)果如下表所示。58變額分期償還表（單位：元）

注：最后結(jié)果有0.07的舍入誤差。年份償還總金額利息本金未償還本金余額0100001736.691000–263.3110263.3121105.041026.3378.7110184.6031657.551018.46639.099545.5142486.33954.551531.788013.7353729.49801.372928.125085.6165594.24508.565085.68–0.07*參見excel表的計算過程59Aloanisamortizedoverfiveyearswithmonthlypaymentsatanominalinterestrateof9%compoundedmonthly.Thefirstpaymentis1000andistobepaidonemonthfromthedateoftheloan.Eachsucceedingmonthlypaymentwillbe2%lowerthanthepriorpayment.Calculatetheoutstandingloanbalanceimmediatelyafterthe40thpaymentismade.Exercise16:60Solution:下一次（即第41次）的付款=1000(1+r)40

61五、變額償債基金借款人每期支付的總金額Rt由兩部分構(gòu)成：當(dāng)期的利息：iL0向償債基金的儲蓄：Rt-iL062假設(shè)償債基金的利率為j，借款人在第t期末支付的總金額為Rt（t=1，2，…，n）則在第t期末向償債基金的儲蓄額為Rt–iL0。償債基金在第n期末的累積值必須等于貸款本金L0，故有

L0=(R1–iL0)(1+j)

n–1+(R2–iL0)(1+j)n–2+…+(Rn–iL0)63從上式即可求得原始貸款本金L0的表達(dá)式為前一式的分子和分母分別