2022年度北京左家莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022年度北京左家莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為

A. B.4C. D.8參考答案：C【分析】先還原幾何體，再根據(jù)正方體以及三棱錐體積公式求結(jié)果.【詳解】本題的多面體是從長為2的正方體中，在上底的四個(gè)角處，分別切割四個(gè)相同的三棱錐余下的部分.正方體體積為8，割去部分的體積為，故該多面體的體積為.選C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及三棱錐體積公式，考查基本分析求解能力，屬基本題.2.已知向量，，，，，則（

）A．1

B．13

C．

D．4

參考答案：C試題分析：考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積.3.設(shè)，則A.

B.

C.

D.2參考答案：B4.若命題，；命題，.則下面結(jié)論正確的是A.是假命題

B.是真命題

C.是假命題

D.是真命題參考答案：D5.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第四象限

B．第三象限

C．第二象限

D．第一象限參考答案：D6.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則a的值為（）A.-5

B.1C.2

D.3參考答案：D略7.若不等式對于一切成立，則a的取值范圍是 A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若點(diǎn)恰好在的垂直平分線上，則的長度為A.

B.

C.

D.參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線【試題解析】由題知：F（1，0），若點(diǎn)恰好在的垂直平分線上，則FA=PF，

所以所以。

所以PA=

9.雙曲線的實(shí)軸長是虛軸長的2倍，則=（

）A．4B．2C．D．參考答案：A試題分析：由題可知，雙曲線的實(shí)軸長是虛軸長的2倍，則有，于是，在雙曲線中，，，即，；考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì)10.下列命題中正確的是

（

）

A．

B．設(shè)則必有

C．設(shè)則函數(shù)是奇函數(shù)

D．設(shè)，則參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若且則的取值范圍為

參考答案：略12.若滿足條件的最大值為__________．參考答案：7由題,畫出可行域?yàn)槿鐖D區(qū)域，，當(dāng)在處時(shí)，.13.已知函數(shù)，則

.參考答案：9【測量目標(biāo)】數(shù)學(xué)基本知識和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學(xué)中有關(guān)函數(shù)與分析的基本知識.【知識內(nèi)容】函數(shù)與分析/指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)/反函數(shù)；方程與代數(shù)/矩陣與行列式初步/二階、三階行列式.【試題分析】函數(shù)，令，解得.根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系可知，故答案為9.7.設(shè)常數(shù)a∈R.若的二項(xiàng)展開式中x7項(xiàng)的系數(shù)為-10，則a=

.參考答案：-215.若數(shù)列滿足，，則

；前5項(xiàng)的和

.參考答案：由，得數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以，。16.在三棱錐P﹣ABC中，PB=6，AC=3，G為△PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于直線PB和AC，則截面的周長為．參考答案：解：如圖所示，過點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)過點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N．由作圖可知：EN∥FM，∴四點(diǎn)EFMN共面可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM．∴=，可得EF=MN=2．同理可得：EN=FM=2．∴截面的周長為8．故答案為：8．考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：如圖所示，過G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)．過點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N．由作圖可知：四點(diǎn)EFMN共面．可得=，EF=MN=2．同理可得：EN=FM=2．解答：解：如圖所示，過點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)過點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N．由作圖可知：EN∥FM，∴四點(diǎn)EFMN共面可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM．∴=，可得EF=MN=2．同理可得：EN=FM=2．∴截面的周長為8．故答案為：8．點(diǎn)評：本題考查了三角形重心的性質(zhì)、線面平行的判定與性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理，考查了推理能力用途計(jì)算能力，屬于中檔題17.a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成角時(shí)，AB與b成角；②當(dāng)直線AB與a成角時(shí)，AB與b成角；③直線AB與a所成角的最小值為；④直線AB與a所成角的最大值為．其中正確的是________（填寫所有正確結(jié)論的編號）參考答案：②③由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則，，直線的方向單位向量，．點(diǎn)起始坐標(biāo)為，直線的方向單位向量，．設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動過程中的坐標(biāo)，其中為與的夾角，．那么在運(yùn)動過程中的向量，．設(shè)與所成夾角為，則．故，所以③正確，④錯(cuò)誤．設(shè)與所成夾角為，.當(dāng)與夾角為時(shí)，即，．∵，∴．∴．∵．∴，此時(shí)與夾角為．∴②正確，①錯(cuò)誤．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數(shù)f(x)＝若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案：－2<a<1.當(dāng)x≥0時(shí)f(x)＝x2＋4x，可知f(x)在[0，＋∞)上遞增，當(dāng)x<0時(shí)f(x)＝4x－x2，可判斷f(x)在(－∞，0)上遞增，故f(2－a2)>f(a)?2－a2>a，即a2＋a－2<0.解得－2<a<1.19.如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，⊙O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）證明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半徑，且AE=MN=2，求四邊形EBCF的面積．參考答案：【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】開放型；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）通過AD是∠CAB的角平分線及圓O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，利用相似的性質(zhì)即得結(jié)論；（2）通過（1）知AD是EF的垂直平分線，連結(jié)OE、OM，則OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF計(jì)算即可．【解答】（1）證明：∵△ABC為等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分線，又∵圓O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分線，又∵EF為圓O的弦，∴O在AD上，連結(jié)OE、OM，則OE⊥AE，由AG等于圓O的半徑可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC與△AEF都是等邊三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四邊形EBCF的面積為×﹣××=．【點(diǎn)評】本題考查空間中線與線之間的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，注意解題方法的積累，屬于中檔題．20.已知平面直角坐標(biāo)系xOy，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，P點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，），曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）．（1）寫出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若Q為曲線C上的動點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距離的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（1）P點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，），利用互化公式可得：點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．由，利用平方關(guān)系可得普通方程．（2）曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），對于直線l的極坐標(biāo)利用互化公式可得直線l的普通方程．設(shè)，則，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)M到直線l的距離，再利用三角函數(shù)的值域即可得出．【解答】解：（1）P點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，），利用互化公式可得：點(diǎn)P的直角坐標(biāo)，由，得，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為．（2）曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0可得直線l的普通方程為x+2y+1=0，設(shè)，則，則點(diǎn)M到直線l的距離，∴點(diǎn)M到直線l的最小距離為．【點(diǎn)評】本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的值域、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|+|x+1|（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的最小值；（2）如果關(guān)于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對值三角不等式；絕對值不等式的解法．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式．【分析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|=3，當(dāng)（x﹣2）（x+1）≤0時(shí)，取等號，由此f（x）的最小值是3．（2）關(guān)于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，只需|a+1|＜2，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|=3，當(dāng)（x﹣2）（x+1）≤0，即﹣1≤x≤2時(shí)，取等號，∴f（x）的最小值是3．（2）∵f（x）=|x﹣a|+|x+1|≥|（x﹣a）﹣（x+1）|=|a+1|，當(dāng)（x﹣a）（x+1）≤0時(shí)取等號，∴若關(guān)于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，只需|a+1|＜2，解得﹣3＜a＜1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣3，1）．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意含絕對值不等式的性質(zhì)的合理運(yùn)用．22.（12分）已知橢圓的離心率為，且短軸長為，是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若直線過，傾斜角為,交橢圓于兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）求的周長與面積.參考答案：【知識點(diǎn)】橢圓及其幾何性質(zhì)H5【答案解析】（1）

（2）8；（1）∵離心率為，且短軸長為2，∴解得：c2=，a2=6，b2=3，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1；

（2）設(shè)△ABF1的周長為l，

則l=|AB|+||BF1|+|AF1|=|AF2|+|BF2|+|BF1|+|AF1|=4a=8，F(xiàn)2（1，0），