高中數(shù)學(xué)蘇教版3第二章概率2．3獨立性 第2章條件概率

獨立性2.3.1條件概率1．了解條件概率的概念，掌握條件概率的計算公式．(重點)2．利用條件概率計算公式解決一些簡單的實際問題．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理條件概率閱讀教材P56～P57“例1”以上部分，完成下列問題．1．條件概率一般地，對于兩個事件A和B，在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率，記為P(A|B)．若A，B互斥，則P(A|B)＝P(B|A)＝0.2．條件概率公式(1)一般地，若P(B)＞0，則事件B發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率是P(A|B)＝eq\f(PAB,PB).(2)乘法公式：P(AB)＝P(A|B)P(B)．設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0，若P(AB)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,3)，則P(B|A)＝________.【導(dǎo)學(xué)號：29440042】【解析】由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,3),\f(2,3))＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]利用P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求條件概率(1)設(shè)某種動物能活到20歲的概率為，能活到25歲的概率為，現(xiàn)有一只20歲的這種動物，問它能活到25歲的概率是________．(2)拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，設(shè)事件A為“藍(lán)色骰子的點數(shù)為3或6”，事件B為“兩顆骰子的點數(shù)之和大于8①求P(A)，P(B)，P(AB)；②當(dāng)已知藍(lán)色骰子的點數(shù)為3或6時，求兩顆骰子的點數(shù)之和大于8的概率．【精彩點撥】(1)直接應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解．(2)①利用古典概型求P(A)，P(B)及P(AB)．②借助公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求概率．【自主解答】(1)設(shè)事件A為“能活到20歲”，事件B為“能活到25歲”，則P(A)＝，P(B)＝，而所求概率為P(B|A)，由于B?A，故AB＝B，于是P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f,＝，所以一只20歲的這種動物能活到25歲的概率是.【答案】(2)①設(shè)x為擲紅骰子得到的點數(shù)，y為擲藍(lán)骰子得到的點數(shù)，則所有可能的事件與(x，y)建立對應(yīng)如圖．顯然：P(A)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)，P(AB)＝eq\f(5,36).②P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(5,36),\f(1,3))＝eq\f(5,12).1．用定義法求條件概率P(B|A)的步驟(1)分析題意，弄清概率模型；(2)計算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).2．在(2)題中，首先結(jié)合古典概型分別求出了事件A，B的概率，從而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之間的關(guān)系．[再練一題]1．(1)甲、乙兩市都位于長江下游，根據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，兩地同時下雨占12%，記P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，則P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.(2)有一批種子的發(fā)芽率為，出芽后的幼苗成活率為，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為________．【解析】(1)由公式P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(2,3)，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,5).(2)設(shè)“種子發(fā)芽”為事件A，“種子成長為幼苗”為事件AB(發(fā)芽，又成活為幼苗)，出芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝，又P(A)＝，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.【答案】(1)eq\f(2,3)eq\f(3,5)(2)利用基本事件個數(shù)求條件概率現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求：(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．【精彩點撥】第(1)、(2)問屬古典概型問題，可直接代入公式；第(3)問為條件概率，可以借用前兩問的結(jié)論，也可以直接利用基本事件個數(shù)求解．【自主解答】設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB.(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個的事件數(shù)為n(Ω)＝Aeq\o\al(2,6)＝30，根據(jù)分步計數(shù)原理n(A)＝Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，于是P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).(2)因為n(AB)＝Aeq\o\al(2,4)＝12，于是P(AB)＝eq\f(nAB,nΩ)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5).法二：因為n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).1．本題第(3)問給出了兩種求條件概率的方法，法一為定義法，法二利用基本事件個數(shù)直接作商，是一種重要的求條件概率的方法．2．計算條件概率的方法(1)在縮小后的樣本空間ΩA中計算事件B發(fā)生的概率，即P(B|A)．(2)在原樣本空間Ω中，先計算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)計算求得P(B|A)．(3)條件概率的算法：已知事件A發(fā)生，在此條件下事件B發(fā)生，即事件AB發(fā)生，要求P(B|A)，相當(dāng)于把A看作新的基本事件空間計算事件AB發(fā)生的概率，即P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(\f(nAB,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq\f(PAB,PA).[再練一題]2．盒內(nèi)裝有16個球，其中6個是玻璃球，10個是木質(zhì)球．玻璃球中有2個是紅色的，4個是藍(lán)色的；木質(zhì)球中有3個是紅色的，7個是藍(lán)色的．現(xiàn)從中任取1個，已知取到的是藍(lán)球，問該球是玻璃球的概率是多少？【解】由題意得球的分布如下：玻璃木質(zhì)合計紅235藍(lán)4711合計61016設(shè)A＝{取得藍(lán)球}，B＝{取得玻璃球}，則P(A)＝eq\f(11,16)，P(AB)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,4),\f(11,16))＝eq\f(4,11).[探究共研型]利用條件概率的性質(zhì)求概率探究1擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，有多少個基本事件？它們之間有什么關(guān)系？隨機(jī)事件出現(xiàn)“大于4的點”包含哪些基本事件？【提示】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，可能出現(xiàn)的基本事件有“1點”“2點”“3點”“4點”“5點”“6點”，共6個，它們彼此互斥．“大于4的點”包含“5點”“6點”兩個基本事件．探究2“先后拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子”試驗中，已知第一枚出現(xiàn)4點，則第二枚出現(xiàn)“大于4”的事件，包含哪些基本事件？【提示】“第一枚4點，第二枚5點”“第一枚4點，第二枚6點”．探究3先后拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子，已知第一枚出現(xiàn)4點，如何利用條件概率的性質(zhì)求第二枚出現(xiàn)“大于4點”的概率？【提示】設(shè)第一枚出現(xiàn)4點為事件A，第二枚出現(xiàn)5點為事件B，第二枚出現(xiàn)6點為事件C.則所求事件為(B＋C)|A.∴P((B＋C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).將外形相同的球分裝三個盒子，每盒10個．其中，第一個盒子中有7個球標(biāo)有字母A,3個球標(biāo)有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個．試驗按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個盒子中任取一個球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個盒子中任取一個球．如果第二次取出的是紅球，則試驗成功．求試驗成功的概率．【精彩點撥】設(shè)出基本事件，求出相應(yīng)的概率，再用基本事件表示出“試驗成功”這件事，求出其概率．【自主解答】設(shè)A＝{從第一個盒子中取得標(biāo)有字母A的球}，B＝{從第一個盒子中取得標(biāo)有字母B的球}，R＝{第二次取出的球是紅球}，W＝{第二次取出的球是白球}，則容易求得P(A)＝eq\f(7,10)，P(B)＝eq\f(3,10)，P(R|A)＝eq\f(1,2)，P(W|A)＝eq\f(1,2)，P(R|B)＝eq\f(4,5)，P(W|B)＝eq\f(1,5).事件“試驗成功”表示為RA＋RB，又事件RA與事件RB互斥，所以由概率的加法公式得P(RA＋RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(7,10)＋eq\f(4,5)×eq\f(3,10)＝eq\f(59,100).條件概率的解題策略分解計算，代入求值：為了求比較復(fù)雜事件的概率，一般先把它分解成兩個(或若干個)互不相容的較簡單的事件之和，求出這些簡單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率．[再練一題]3．已知男人中有5%患色盲，女人中有%患色盲，從100個男人和100個女人中任選一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．【解】設(shè)“任選一人是男人”為事件A，“任選一人是女人”為事件B，“任選一人是色盲”為事件C.(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(5,100)×eq\f(100,200)＋eq\f,100)×eq\f(100,200)＝eq\f(21,800).(2)P(A|C)＝eq\f(PAC,PC)＝eq\f(\f(5,200),\f(21,800))＝eq\f(20,21).[構(gòu)建·體系]1．已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(3,5)，則P(A|B)＝________.【解析】P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)2．在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率為________．【解析】設(shè)事件A為“第一次取到不合格品”，事件B為“第二次取到不合格品”，則P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,100))，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(5×4,100×99),\f(5,100))＝eq\f(4,99).【答案】eq\f(4,99)3．把一枚硬幣投擲兩次，事件A＝{第一次出現(xiàn)正面}，B＝{第二次出現(xiàn)正面}，則P(B|A)＝________.【解析】∵P(AB)＝eq\f(1,4)，P(A)＝eq\f(1,2)，∴P(B|A)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4．拋擲骰子2次，每次結(jié)果用(x1，x2)表示，其中x1，x2分別表示第一次、第二次骰子的點數(shù)．若設(shè)A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1>x2}．則P(B|A)＝________.【導(dǎo)學(xué)號：29440043】【解析】∵P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，P(AB)＝eq\f(1,36)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,36),\f(1,12))＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)5．一個口袋內(nèi)裝有2個白球和2個黑球，那么(1)先摸出1個白球不放回，再摸出1個白球的概率是多少？(2)先摸出1個白球后放回，再摸出1個白球的概率是多少？【解】(1)設(shè)“先摸出1個白球不放回”為事件A，“再摸出1個白球”為事件B，則“先