云南省曲靖市宣威市楊柳鄉(xiāng)第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

云南省曲靖市宣威市楊柳鄉(xiāng)第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C2.在等差數(shù)列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（）A．4 B．5 C．6 D．7參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】法一：設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知有5a1+10d=20，所以a3=4．法二：因?yàn)閍1+a5=a2+a4=2a3，所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，故a3=4．【解答】解：法一：∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知有5a1+10d=20，∴a1+2d=4，即a3=4．故選A．法二在等差數(shù)列中，∵a1+a5=a2+a4=2a3，∴由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，∴a3=4．故選A．3.已知，則

（）A.

B.

C.

D.參考答案：B4.已知sinx+cosx=，則cos（﹣x）=(

)A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：D【考點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù)．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】利用兩角和公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可．【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=2cos（﹣x）=，∴cos（﹣x）=，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．5.命題“存在R，0”的否定是（

）A．不存在R,>0

B．存在R,0

C．對(duì)任意的R,0

D．對(duì)任意的R,>0參考答案：D略6.關(guān)于直線以及平面,下列命題中正確的是(

)A.若，則 B.若，則

C.若，則 D.若，則參考答案：D7.某同學(xué)同時(shí)拋擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a、b，則雙曲線的離心率的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A由題意知本題是一個(gè)古典概型，∵試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，共有6×6=36種結(jié)果滿足條件的事件是e=∴b＞a，符合b＞a的情況有：當(dāng)a=1時(shí)，有b=3，4，5，6四種情況；當(dāng)b=2時(shí)，有a=5，6兩種情況，總共有6種情況．∴概率為．故選A

8.已知函數(shù)f(x)=|log2x|,正實(shí)數(shù)m、n滿足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在區(qū)間[m2,n]上的最大值為2,則m+n等于

()A.-1

B.

C.1

D.2

參考答案：B略9.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且c=2a，則cosB=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】余弦定理；等比數(shù)列．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得b=a，將c、b與a的關(guān)系結(jié)合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比數(shù)列，則b2=ac，由c=2a，則b=a，=，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的運(yùn)用，要牢記余弦定理的兩種形式，并能熟練應(yīng)用．10.若集合，則是的

A、充分不必要條件

B、必要不充分條件C、充要條件

D、既不充分也不必要條件參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一份共3道題的測(cè)試卷，全班得3分、2分、1分和0分的學(xué)生所占比例分別為30%、50%、10%和10%，若班級(jí)共有50名學(xué)生，則班級(jí)平均分為

．參考答案：2【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】根據(jù)題意，利用平均數(shù)的定義即可求出平均分．【解答】解：根據(jù)題意，全班得3分、2分、1分和0分的學(xué)生所占的比例分別為30%，50%，10%和10%，所以班級(jí)平均分為3×30%+2×50%+1×10%+0×10%=2．故答案為：2．12.平面上兩條直線，如果這兩條直線將平面劃分為三部分，則實(shí)數(shù)的取值為

▲

.參考答案：13.已知球面上有A、B、C三點(diǎn)，如果AB=AC=BC=2，球心到面ABC的距離為1，那么球的體積

．參考答案：【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】由題意可知三角形ACB是等邊三角形，球心到平面ABC的距離為1，可求出球的半徑，然后求球的體積．【解答】解：由題意，AB=AC=BC=2，所以△ABC的外接圓的半徑為2，因?yàn)榍蛐牡狡矫鍭BC的距離為1，所以球的半徑是：R=，球的體積是：πR3=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的內(nèi)接體問題，考查學(xué)生空間想象能力，是中檔題．利用球半徑與球心O到平面ABC的距離的關(guān)系，是解好本題的前提．14.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是___________________參考答案：略15.已知，，則

.參考答案：

16.為了了解某地參加計(jì)算機(jī)水平測(cè)試的5008名學(xué)生的成績，從中抽取了200名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。運(yùn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取樣本時(shí)，每組的容量為

。參考答案：2517.雙曲線的離心率等于

；漸近線方程為

．參考答案：2，y=x．【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，分別求出a，b，c，再由離心率和漸近線的定義進(jìn)行求解．【解答】解：雙曲線中，a=2，b=2，c==4，∴e===2．漸近線方程為：y=±=x．故答案為：2，y=x．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一個(gè)頂點(diǎn)，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，過且斜率為的直線交橢圓于、，求的面積.參考答案：解：（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意， ∴橢圓的方程為

（2），設(shè)，則直線的方程為．

由，消得

∴∴

∴

=

略19.若直線l：與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。(1)當(dāng)m=－1,c=－2時(shí)，求證：OA⊥OB；

(2)若OA⊥OB，求證：直線l恒過定點(diǎn)；并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)。(3)當(dāng)OA⊥OB時(shí)，試問△OAB的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。

參考答案：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，由得可知y1+y2=－2m

y1y2=2c

∴x1+x2=2m2—2c

x1x2=c2,(1)當(dāng)m=－1,c=－2時(shí)，x1x2+y1y2=0所以O(shè)A⊥OB.(2)當(dāng)OA⊥OB時(shí)，x1x2+y1y2=0于是c2+2c=0∴c=－2(c=0不合題意),此時(shí)，直線l：過定點(diǎn)(2,0).(3)由題意AB的中點(diǎn)D(就是△OAB外接圓圓心)到原點(diǎn)的距離就是外接圓的半徑。而(m2—c+)2－[(m2—c)2+m2]=

由(2)知c=－2

∴圓心到準(zhǔn)線的距離大于半徑,故△OAB的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相離。20.如圖，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）求三棱錐A′﹣MNC的體積．（椎體體積公式V=Sh，其中S為底面面積，h為高）參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專題】綜合題．【分析】（Ⅰ）證法一，連接AB′，AC′，通過證明MN∥AC′證明MN∥平面A′ACC′．證法二，通過證出MP∥AA′，PN∥A′C′．證出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，即能證明平面MPN∥平面A′ACC′后證明MN∥平面A′ACC′．（Ⅱ）解法一，連接BN，則VA′﹣MNC=VN﹣A′MC=VN﹣A′BC=VA′﹣NBC=．解法二，VA′﹣MNC=VA′﹣NBC﹣VM﹣NBC=VA′﹣NBC=．【解答】（Ⅰ）（證法一）連接AB′，AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′為直三棱柱，所以M為AB′的中點(diǎn)，又因?yàn)镹為B′C′中點(diǎn)，所以MN∥AC′，又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′；（證法二）取A′B′中點(diǎn)，連接MP，NP．而M，N分別為AB′，B′C′中點(diǎn)，所以MP∥AA′，PN∥A′C′．所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′；又MP∩PN=P，所以平面MPN∥平面A′ACC′，而MN?平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）（解法一）連接BN，由題意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′，所以A′N⊥平面NBC，又A′N=B′C′=1，故VA′﹣MNC=VN﹣A′MC=VN﹣A′BC=VA′﹣NBC=．（解法二）VA′﹣MNC=VA′﹣NBC﹣VM﹣NBC=VA′﹣NBC=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面關(guān)系，體積求解，考查空間想象能力、思維能力、推理論證能力、轉(zhuǎn)化、計(jì)算等能力．21.已知橢圓的長軸長為4，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，記直線和的斜率為分別為和，且.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）當(dāng)為直角時(shí)，求的面積.

參考答案：解：（Ⅰ）由已知，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程消去可得：，則，即.設(shè)，，，由韋達(dá)定理可得：，點(diǎn)為中點(diǎn)，則，，故，由得，所以，故橢圓方程為：.（Ⅱ）直線，聯(lián)立橢圓方程消去可得：，則，點(diǎn)，∴.∵為直角，∴，可解得.故.22.(13分)某種汽