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北京首都師范大學(xué)附屬延慶中學(xué)2022高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知是實數(shù),則“且”是“”的
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件參考答案:A2.下列三個結(jié)論:①設(shè)為向量,若,則∥恒成立;②命題“若,則x=0”的逆命題為“若x≠0,則”;③“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件;其中正確的結(jié)論的個數(shù)為(
)A.1個 B.2個 C.3個 D.0個參考答案:A試題分析:對于①設(shè)為向量,若,從而,即和的夾角是,則∥恒成立,則①對;對于②,命題“若,則”的逆否命題為“若,則”而不是逆命題,則②錯;對于③,命題為真,則,中至少有一個為真,不能推出為真,反之成立,則應(yīng)為必要不充分條件,則③錯;故選:A.考點:復(fù)合命題的真假.3.若實數(shù)a、b滿足且,則稱a與b互補,記,那么是a與b互補的
(
)
A.必要而不充分的條件
B.充分而不必要的條件
C.充要條件
D.即不充分也不必要的條件參考答案:C4.若實數(shù)滿足,則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是()A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)參考答案:B5.設(shè)集合,,則的子集的個數(shù)是
(
)
A.4
B.3
C.2
D.1參考答案:A6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的表達式是(
)A.
B.C.
D.參考答案:【知識點】的圖像和性質(zhì)。C4
【答案解析】A
解析:從圖可知,且,得,故,將點的坐標(biāo)代入函數(shù),且得所以函數(shù)的表達式為.故選A.【思路點撥】先由圖形得到振幅A,然后結(jié)合半周期求出周期,故而得到,將點的坐標(biāo)代入函數(shù),得,所以函數(shù)的表達式為。7.設(shè)函數(shù)f(x)=,則不等式f(x)>f(1)的解集是()A.(﹣3,1)∪(2,+∞) B.(﹣3,1)∪(3,+∞) C.(﹣1,1)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(1,3)參考答案:B【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).【分析】先計算f(1)的值,再按分段函數(shù)討論求出不等式f(x)>f(1)的解集.【解答】解:∵f(x)=,∴f(1)=1﹣4+6=3;當(dāng)x≥0時,有x2﹣4x+6>3,解得x>3,或x<1,即0≤x<1,或x>3;當(dāng)x<0時,x+6>3,解得x>﹣3,即﹣3<x<0;綜上,不等式f(x)>f(1)的解集是:{x|﹣3<x<1,或x>3};故選:B.8.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則(
)A.1
B.
C.
D.2參考答案:C
考點:復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)的模.9.已知:均為正數(shù),,則使恒成立的的取值范圍是(
) ()
B. C. D.參考答案:A10.在△ABC中,若B、C的對邊邊長分別為,,則等于A.
B.
C.
D.或參考答案:D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.閱讀如圖的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,則輸出T的值為
.參考答案:120【考點】程序框圖.【分析】根據(jù)已知中的程序框圖可得,該程序的功能是計算并輸出變量T的值,模擬程序的運行過程,可得答案.【解答】解:第1次執(zhí)行循環(huán)體后,T=1,不滿足退出循環(huán)的條件,故k=3;第2次執(zhí)行循環(huán)體后,T=4,不滿足退出循環(huán)的條件,故k=7;第3次執(zhí)行循環(huán)體后,T=11,不滿足退出循環(huán)的條件,故k=15;第4次執(zhí)行循環(huán)體后,T=26,不滿足退出循環(huán)的條件,故k=31;第5次執(zhí)行循環(huán)體后,T=57,不滿足退出循環(huán)的條件,故k=63;第6次執(zhí)行循環(huán)體后,T=120,滿足退出循環(huán)的條件,故輸出的T值為:120,故答案為:120【點評】本題考查的知識點是程序框圖,當(dāng)程序的運行次數(shù)不多或有規(guī)律時,可采用模擬運行的辦法解答.12.已知實數(shù),且,那么的最小值為________.參考答案:【知識點】基本不等式.E5【答案解析】﹣1
解析:由于ab=1,則又由a<0,b<0,則,故,當(dāng)且僅當(dāng)﹣a=﹣b即a=b=﹣1時,取“=”故答案為﹣1.【思路點撥】將整理得到,利用基本不等式即可求得的最大值.13.已知與的夾角為120°,若(+)⊥(﹣2)且||=2,則在上的投影為
.參考答案:﹣【考點】平面向量數(shù)量積的運算.【專題】平面向量及應(yīng)用.【分析】因為向量與的夾角為120°,所以在上的投影為cos120°=﹣,問題轉(zhuǎn)化為求.【解答】解:∵與的夾角為120°,若(+)⊥(﹣2)且||=2,∴(+)?(﹣2)=0,即﹣﹣22=0,∴4+﹣22=0,解得=,∴在上的投影為cos120°=﹣=﹣×=﹣.故答案為:﹣.【點評】本題考查在上的投影的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量垂直的性質(zhì)的合理運用.14.已知數(shù)列為一個等差數(shù)列,,則公差的值為
參考答案:2或-215.已知函數(shù)f(x)=,若存在實數(shù)a,b,c,d,滿足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),其中d>c>b>a>0,則abcd的取值范圍是
.參考答案:(21,24)【考點】對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】由題意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8,可得log3(ab)=0,ab=1.結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象,在區(qū)間[3,+∞)時,令f(x)=1可得c=3、d=7、cd=21.令f(x)=0可得c=4d=6、cd=24.由此求得abcd的范圍.【解答】解:由題意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8,可得log3(ab)=0,故ab=1.結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象,在區(qū)間[3,+∞)上,令f(x)=1可得c=3、d=7、cd=21.令f(x)=0可得c=4、d=6、cd=24.故有21<abcd<24,故答案為(21,24).【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.16.由直線x=0,x=,y=0與曲線y=2sinx所圍成的圖形的面積等于
.參考答案:3考點:定積分.專題:數(shù)形結(jié)合;數(shù)形結(jié)合法;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.分析:由題意可得S=,計算可得.解:由題意和定積分的意義可得所求面積S==﹣2cosx=﹣2(cos﹣cos0)=﹣2(﹣﹣1)=3故答案為:3【點評】本題考查定積分的求解,屬基礎(chǔ)題.17.如圖,在△ABC中,已知點D在BC邊上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,則BD的長為.參考答案:【考點】余弦定理.【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠DAC=90°,得到∠BAC=∠BAD+90°,代入并利用誘導(dǎo)公式化簡sin∠BAC,求出cos∠BAD的值,在三角形ABD中,由AB,AD及cos∠BAD的值,利用余弦定理即可求出BD的長.【解答】解:∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°,∴sin∠BAC=sin(∠BAD+90°)=cos∠BAD=,在△ABD中,AB=3,AD=3,根據(jù)余弦定理得:BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cos∠BAD=18+9﹣24=3,則BD=.故答案為:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(1)求不等式的解集;(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.參考答案:(1);(2).19.已知動圓與圓相切,且與圓相內(nèi)切,記圓心的軌跡為曲線;設(shè)為曲線上的一個不在軸上的動點,為坐標(biāo)原點,過點作的平行線交曲線于兩個不同的點.(Ⅰ)求曲線的方程;(Ⅱ)試探究和的比值能否為一個常數(shù)?若能,求出這個常數(shù),若不能,請說明理由;(Ⅲ)記的面積為,的面積為,令,求的最大值.參考答案:解:(I)設(shè)圓心的坐標(biāo)為,半徑為由于動圓與圓相切,且與圓相內(nèi)切,所以動圓與圓只能內(nèi)切………2分圓心的軌跡為以為焦點的橢圓,其中,故圓心的軌跡:…………4分(II)設(shè),直線,則直線由可得:,……………6分由可得:………………8分和的比值為一個常數(shù),這個常數(shù)為……9分(III),的面積的面積,到直線的距離…………11分令,則(當(dāng)且僅當(dāng),即,亦即時取等號)當(dāng)時,取最大值……………………13分
略20.
如圖,在直二面角E-AB-C中,四邊形ABCD和四邊形ABEF都是矩形,AB=AF=4,AD=2,點P、Q、G分別是AC、BC、AF的中點;(Ⅰ)求FB與PG所成角的正切值:(Ⅱ)求二面角G-PQ-A,的平面角的正切值。參考答案:解:(I)取AB的中點為M,又G為AF的中點,則所以是FB與PG所成角……………3分由知又二面角E-AB-C是直二面角即中平面平面ABEF,交線是AB,所以平面ABEF,所以于是是直角三角形,
…7分(Ⅱ)延長QP交AD于K,由平面平面知平面ABCD,又而所以是二面角G-PQ-A的平面角…….10分則中,……………….13分
略21.已知橢圓上有n個不同的點P1、P2、……、Pn,其中點,橢圓的右焦點為F,記,數(shù)列{an}構(gòu)成以d為公差的等差數(shù)列,.(1)若,求點P3的坐標(biāo);(2)若公差d為常數(shù)且,求n的最大值;(3)對于給定的正整數(shù),當(dāng)公差d變化時,求Sn的最大值.參考答案:解析:對于橢圓,有,所以,右準(zhǔn)線設(shè),于是由定義知,即…2分(1)∵,所以由,∴故
……4分(2)由橢圓范圍可知,∴
∵是等差數(shù)列,且∴,∴,即的最大值為200……9分(3)由(2)知,,∴,∴
由,∵,∴是關(guān)于的增函數(shù)
∴的最大值為……14分22.(本小題滿分12分)國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定的空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表:空氣質(zhì)量指數(shù)0-5051-100101-150151-200201-300
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