第6章 狹義相對(duì)論

第六章狹義相對(duì)論SpecialTheoryofRelativity(2013.06.05)1第六章狹義相對(duì)論Albert·Einstein阿爾伯特·愛因斯坦(1879—1955)2第六章狹義相對(duì)論任何物理規(guī)律都是相對(duì)于一定參考系表述出來的。我們討論了經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的基本理論和有關(guān)規(guī)律，但是討論的范圍限于“靜止”介質(zhì)中的電磁場(chǎng)。本章討論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)。電動(dòng)力學(xué)的幾個(gè)遺留問題：第一麥克斯韋方程組的參考系問題。第三如果運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，那么磁場(chǎng)與電場(chǎng)就應(yīng)該是相對(duì)的。與運(yùn)動(dòng)無關(guān)的電磁量是什么?第二電磁波動(dòng)與機(jī)械波動(dòng)的差異。3第六章狹義相對(duì)論相對(duì)論主要是關(guān)于時(shí)間、空間和物質(zhì)的理論。是現(xiàn)代物理學(xué)的主要理論基礎(chǔ)之一。局限于慣性參考系的理論稱為狹義相對(duì)論，推廣到一般參考系和包括引力場(chǎng)在內(nèi)的理論稱為廣義相對(duì)論。（近來相對(duì)論界的普遍觀點(diǎn)是把狹義和廣義相對(duì)論的分界線定義在平直時(shí)空和彎曲時(shí)空之間）。狹義相對(duì)論包括的主要內(nèi)容：（1）慣性參考系之間的洛倫茲變換及其物理意義。（2）物理規(guī)律在任意慣性系中可表示為相同形式，即物理規(guī)律的協(xié)變性。（3）把電動(dòng)力學(xué)規(guī)律表述為協(xié)變形式。（4）把力學(xué)基本規(guī)律推廣為協(xié)變性的相對(duì)論力學(xué)。4第六章狹義相對(duì)論牛頓力學(xué)熱力學(xué)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論經(jīng)典物理學(xué)三大理論體系使經(jīng)典物理學(xué)已趨于成熟§1狹義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)1.相對(duì)論產(chǎn)生的歷史背景麥?zhǔn)想姶艌?chǎng)理論和波動(dòng)光學(xué)德國(guó)物理學(xué)家普朗克(1858～1947)年輕時(shí)曾向他的老師、德國(guó)物理學(xué)家馮?約里(1809～1884)表示要獻(xiàn)身物理學(xué)，但老師卻勸他說：“年輕人，物理學(xué)是一門已經(jīng)完成了的科學(xué)，不會(huì)再有多大發(fā)展了。將一生獻(xiàn)給這門科學(xué)，太可惜了。”患開爾文、馮?約里等人類似的病的人還有：德國(guó)物理學(xué)家勞厄(1879～1960)、美國(guó)物理學(xué)家邁克爾遜(1852～1931)等。勞厄說，經(jīng)典物理和經(jīng)典力學(xué)已“結(jié)合成一座具有莊嚴(yán)宏偉的建筑體系和動(dòng)人心弦的美麗殿室”；而邁克爾遜則說“絕大多數(shù)重要的基本原理已經(jīng)牢固地確立起來了，下一步的發(fā)展看來主要是把這些原理認(rèn)真地利用”。

5第六章狹義相對(duì)論慣性系：相對(duì)于絕對(duì)空間靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系稱為慣性系。事件：事物的發(fā)展變化、運(yùn)動(dòng)可看作是一連串事件在時(shí)空中的變化過程。在一個(gè)參考系中，通常用三個(gè)空間坐標(biāo)和一個(gè)時(shí)間坐標(biāo)來描述一個(gè)確定的事件p(x,y,z,t

)

。所有時(shí)空點(diǎn)的集合構(gòu)成閔可夫斯基空間。6第六章狹義相對(duì)論伽利略相對(duì)性原理（力學(xué)相對(duì)性原理）：力學(xué)運(yùn)動(dòng)定律從一個(gè)慣性系變換到另一個(gè)慣性系時(shí)，運(yùn)動(dòng)定律的形式保持不變。也就是說，一切機(jī)械運(yùn)動(dòng)對(duì)慣性系是等價(jià)的。伽利略相對(duì)性原理在宏觀、低速的范圍內(nèi)，是與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相一致的。p=(x,y,z,t)=(x’,y’,z’,t’)x,x’0’0zz’y∑y’∑’∑系：{x,y,z,t}∑′:{x',y',z',t')7第六章狹義相對(duì)論p=(x,y,z,t)=(x’,y’,z’,t’)x,x’0’0zz’y∑y’∑’伽利略變換牛頓定律滿足伽里略變換8第六章狹義相對(duì)論事件1和事件2在兩個(gè)慣性參考系中的時(shí)空坐標(biāo)∑系中的時(shí)間間隔由伽利略變換有∑′系中的時(shí)間間隔即兩個(gè)事件的時(shí)間間隔在兩個(gè)慣性參考系中相同。經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為事物發(fā)展的進(jìn)程在任何慣性參考系中都相同9第六章狹義相對(duì)論由伽利略變換有測(cè)量長(zhǎng)度要求得事件1和事件2在兩個(gè)參考系中的時(shí)空坐標(biāo)∑系中的空間間隔∑′系中的空間間隔即兩個(gè)事件的空間間隔在兩個(gè)慣性參考系中相同。經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為事物發(fā)展的間距在任何慣性參考系中都相同10第六章狹義相對(duì)論經(jīng)典（牛頓）時(shí)空觀“時(shí)間和空間是分別獨(dú)立、不相聯(lián)系的?？臻g距離和時(shí)間間隔都不隨參考系的選擇而改變。獨(dú)立于物質(zhì)和物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)時(shí)間均勻流逝。由絕對(duì)剛體保證的空間兩點(diǎn)長(zhǎng)度，在任何參考系中都是絕對(duì)相等的。即不存在受運(yùn)動(dòng)狀態(tài)影響的時(shí)鐘和直尺?！薄霸谒袘T性系中，物體運(yùn)動(dòng)所遵循的力學(xué)規(guī)律是相同的，具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)形式?；蛘哒f，對(duì)于描述力學(xué)現(xiàn)象的規(guī)律而言，所有慣性系是等價(jià)的?！苯^對(duì)時(shí)空和絕對(duì)質(zhì)量構(gòu)成了經(jīng)典物理學(xué)的公理基礎(chǔ)。11第六章狹義相對(duì)論1876年麥克斯韋創(chuàng)立電磁理論，但發(fā)現(xiàn)電磁運(yùn)動(dòng)規(guī)律不滿足伽利略協(xié)變性依據(jù)經(jīng)典時(shí)空觀，伽利略速度疊加原理要求電磁波只能夠?qū)σ粋€(gè)特定的參考系的傳播速度為c，因而麥?zhǔn)戏匠桃簿椭荒軐?duì)該參考系成立。那么經(jīng)典力學(xué)中一切慣性系等價(jià)的相對(duì)性原理對(duì)電磁現(xiàn)象就不成立，由電磁規(guī)律可以確定一個(gè)特殊的參考系，即絕對(duì)參考系，相對(duì)于絕對(duì)參考系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。12第六章狹義相對(duì)論當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為既然聲波、水波等機(jī)械波，都是在某種介質(zhì)中的機(jī)械振動(dòng)的傳播現(xiàn)象，電磁波也應(yīng)該是某種充滿空間的彈性媒質(zhì)內(nèi)的波動(dòng)現(xiàn)象。該彈性介質(zhì)就構(gòu)成電磁波傳播的特殊參考系，電磁波傳播速度c是對(duì)以太這一特殊參考系而言的。也就是說，以太就是那個(gè)經(jīng)典時(shí)空觀中的絕對(duì)參考系。為了找出或證明這個(gè)絕對(duì)空間的存在，邁克爾遜和莫雷于1887年利用靈敏的干涉儀，企圖測(cè)定沿地球不同方向傳播的光速的差異，進(jìn)而確定地球的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。13第六章狹義相對(duì)論2.相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)邁克爾遜—莫雷實(shí)驗(yàn)如果能夠精確測(cè)定各個(gè)方向光速的差異，就可以確定地球相對(duì)于絕對(duì)參考系的運(yùn)動(dòng)，或者說相對(duì)于以太的運(yùn)動(dòng)。假設(shè)太陽(yáng)相對(duì)于以態(tài)靜止，地球以30千米/秒的速度繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，在略去地球自轉(zhuǎn)及其他不均勻運(yùn)動(dòng)所引起的偏差后，地球的運(yùn)動(dòng)在實(shí)驗(yàn)持續(xù)的時(shí)間內(nèi)可以看做是勻速直線運(yùn)動(dòng)，因而地球可看作是一個(gè)慣性系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)時(shí)先使干涉儀的一臂與地球的運(yùn)動(dòng)方向平行，另一臂與地球的運(yùn)動(dòng)方向垂直，按照經(jīng)典的理論，在運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)中，光速應(yīng)該各向不同，因而可看到干涉條紋；再使整個(gè)儀器轉(zhuǎn)過π/2，就應(yīng)該發(fā)現(xiàn)條紋的移動(dòng)。14第六章狹義相對(duì)論實(shí)驗(yàn)裝置:

邁克爾遜干涉儀SlMlM1M2T15第六章狹義相對(duì)論說明：由光源S發(fā)出的光線在半反射鏡M上分為兩束，一束通過M，被M1反射回到M，再被M反射而達(dá)到目鏡T；另一束被M反射到M2，再反射回M而直達(dá)目鏡T。調(diào)整兩臂長(zhǎng)度使有效光程為MM1=MM2=l。設(shè)地球相對(duì)于以太的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)速度v沿MM1方向，則由于光線MM1M與MM2M的傳播時(shí)間不同，因而有光程差，在目鏡T中將觀察到干涉效應(yīng)。16第六章狹義相對(duì)論經(jīng)典速度合成按經(jīng)典速度合成法則，當(dāng)?shù)厍蛳鄬?duì)于以太的速度為v運(yùn)動(dòng)時(shí)，地球上發(fā)出的沿任意方向傳播的光速u與相對(duì)于以太參考系的光速c之間應(yīng)滿足解出u17第六章狹義相對(duì)論地球觀察者所看到的沿方向傳播的光速為地球觀察者所看到的逆方向傳播的光速為地球觀察者所看到的垂直于方向傳播的光速為18第六章狹義相對(duì)論光線MM1M的傳播時(shí)間光線MM2M的傳播時(shí)間兩束光線的時(shí)間差為19第六章狹義相對(duì)論

當(dāng)把儀器繞豎直軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2，則MM2變成沿地球運(yùn)動(dòng)方向，MM1變?yōu)榇怪庇诘厍蜻\(yùn)動(dòng)方向。兩束光總的光程差為Δ′=-Δ，兩種情況總光程差為兩束光傳播距離相同，如果速度不同，則存在光程差在目鏡中應(yīng)該觀察到靜態(tài)的干涉效應(yīng)。20第六章狹義相對(duì)論實(shí)驗(yàn)?。簂=10米，λ=5×10-7米，v=3×104米/秒

c=3×108米/秒當(dāng)光程差的改變量等于光波的一個(gè)波長(zhǎng)時(shí)，就引起一條干涉條紋的移動(dòng)，所以條紋移動(dòng)的總數(shù)為實(shí)驗(yàn)觀察到只有小到移動(dòng)條紋的1/100，但從來也沒有看到過0.4個(gè)條紋的移動(dòng)。得到21第六章狹義相對(duì)論邁克爾遜—莫雷實(shí)驗(yàn)測(cè)不出條紋的移動(dòng)，表明地球上沿各方向的光速相同，地球沒有相對(duì)于以太的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而否定了以太介質(zhì)的存在，因而也就否定了絕對(duì)參考系的存在。(1)堅(jiān)持麥?zhǔn)想姶爬碚?，放棄相?duì)性原理。（洛倫茲）麥?zhǔn)想姶爬碚?相對(duì)性原理=光速不變(2)堅(jiān)持相對(duì)性原理，保留以態(tài)和絕對(duì)空間。（龐加萊）(3)堅(jiān)持相對(duì)性原理和麥?zhǔn)想姶爬碚?，放棄伽里略變換。愛因斯坦認(rèn)為電磁規(guī)律應(yīng)該是普遍規(guī)律，電磁規(guī)律和力學(xué)規(guī)律一樣都應(yīng)遵守相對(duì)性原理，因此相對(duì)性原理和電磁規(guī)律都應(yīng)保留，需要改造的是伽利略變換。以這兩條作為基本假設(shè)，成功地建立了狹義相對(duì)論。22第六章狹義相對(duì)論物理學(xué)晴朗的天空中出現(xiàn)了兩朵烏云

邁克耳遜-莫雷實(shí)驗(yàn)結(jié)果與光行差觀測(cè)結(jié)果矛盾

黑體輻射實(shí)驗(yàn)結(jié)果與能量連續(xù)矛盾相對(duì)論力學(xué)量子力學(xué)19世紀(jì)末~20世紀(jì)初物理學(xué)的三大發(fā)現(xiàn)經(jīng)典力學(xué)近代物理學(xué)的兩大理論基礎(chǔ)1895年發(fā)現(xiàn)X光1896年發(fā)現(xiàn)放射性1897年發(fā)現(xiàn)電子23第六章狹義相對(duì)論

1、狹義相對(duì)論的基本原理(1)狹義相對(duì)性原理一切物理規(guī)律，無論是力學(xué)的，還是電磁學(xué)的，對(duì)于所有慣性系都具有相同的數(shù)學(xué)形式。(2)光速不變?cè)碓谒袘T性系中，真空中的光速在任何方向上都恒為c，并與光源的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。§2狹義相對(duì)論的基本原理洛淪茲變換(2013.06.07)24第六章狹義相對(duì)論光速不變?cè)砼c牛頓時(shí)空觀相矛盾所有最基本的時(shí)空概念，如同時(shí)性、距離、時(shí)間和速度等都要重新加以討論。25第六章狹義相對(duì)論在經(jīng)典時(shí)空觀中同時(shí)性是絕對(duì)的設(shè)在t=t‘=0時(shí)兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，此刻原點(diǎn)處發(fā)出一個(gè)閃光，1秒鐘后閃光到達(dá)x軸上半徑為c的球面上Σ：伽里略變換得即x′軸上兩點(diǎn)接收到閃光仍為同時(shí)事件，即同時(shí)性是絕對(duì)的。Σ′:Δt=0即x軸上與原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)接收到閃光為同時(shí)事件。Δt′=026第六章狹義相對(duì)論在相對(duì)論時(shí)空觀中同時(shí)性是相對(duì)的Σ′:

假設(shè)1秒鐘后x′軸上這兩點(diǎn)的時(shí)空坐標(biāo)為即x′軸上接收到閃光為不同時(shí)事件。所以同時(shí)性是相對(duì)的。Σ：即x軸上兩點(diǎn)接收到閃光為同時(shí)事件。Δt=027第六章狹義相對(duì)論2兩事件的間隔∑：稱為這兩個(gè)事件在∑系中的間隔?？梢宰C明，對(duì)兩個(gè)慣性系，光速不變必然導(dǎo)致間隔不變稱為這兩個(gè)事件在∑′系中的間隔?！啤洌?8第六章狹義相對(duì)論所以無論兩事件有何聯(lián)系或毫無聯(lián)系，均有間隔不變性∑：證明：假設(shè)兩個(gè)事件分別為發(fā)光和收光即由光波聯(lián)系的兩事件間隔在不同慣性系中相同。若這兩個(gè)事件用其他方式聯(lián)系或毫無關(guān)系，由運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，有∑′：29第六章狹義相對(duì)論如果兩事件彼此無限地接近，那么間隔為任意兩個(gè)事件，不論它們是由光訊號(hào)聯(lián)系，或由其它由訊號(hào)聯(lián)系，或根本沒有因果關(guān)系，間隔在所有慣性系里都是一樣的，即當(dāng)由一個(gè)慣性系變換到任何慣性系時(shí)，間隔不變。這是光速不變的數(shù)學(xué)表示。同理有間隔的微分形式30第六章狹義相對(duì)論同一地點(diǎn)相繼發(fā)生的兩個(gè)事件的間隔不同地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件的間隔31第六章狹義相對(duì)論例一（195頁(yè)）解：設(shè)發(fā)出閃光為事件1，收到閃光為事件2。在Σ′中兩個(gè)事件的時(shí)間間隔兩個(gè)事件的空間間隔汽車系中兩個(gè)事件的間隔SM∑∑′MvΔtSS′32第六章狹義相對(duì)論在Σ中觀察，設(shè)兩事件時(shí)間差為Δt，在這時(shí)間內(nèi)光源已運(yùn)動(dòng)了光訊號(hào)傳播滿足兩個(gè)事件的時(shí)間間隔兩個(gè)事件的空間間隔兩個(gè)事件的間隔由于所以33第六章狹義相對(duì)論3洛倫茲變換式

根據(jù)變換的線性要求和間隔不變性導(dǎo)出狹義相對(duì)論的時(shí)空坐標(biāo)變換公式x0’0zz’y∑y’∑’x’對(duì)沿任意方向作勻速相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)慣性系的坐標(biāo)變換34第六章狹義相對(duì)論對(duì)沿x軸方向作勻速相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)慣性系的坐標(biāo)變換由于x軸正方向相同，時(shí)間軸正方向相同，應(yīng)取x0’0zz’y∑y’∑’x’35第六章狹義相對(duì)論把這個(gè)新的變換關(guān)系代入間隔不變的關(guān)系中得到比較等式兩邊系數(shù)得36第六章狹義相對(duì)論由第一式和第三式得到這些系數(shù)都可以由相對(duì)速度v表示出來。在和觀察的運(yùn)動(dòng)，有所以解出37第六章狹義相對(duì)論從而得到即得到Lorentz變換式為：38第六章狹義相對(duì)論根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，如果把該式中的v改成-v，就可得到逆變換的關(guān)系式：39第六章狹義相對(duì)論討論（1）在相對(duì)論中，光速c具有極限速度的特征。當(dāng)v>c時(shí)，γ變?yōu)樘摂?shù)，時(shí)空坐標(biāo)變換失去意義，當(dāng)v=c時(shí)，γ無意義，這與目前為止實(shí)物粒子的實(shí)驗(yàn)事實(shí)相符合。只有真空中的光速等于c，即只有靜質(zhì)量為零的粒子才能以光速運(yùn)動(dòng)。40第六章狹義相對(duì)論（2）對(duì)v<<c，γ=1，則洛變換變?yōu)橘だ锫宰儞Q說明伽利略變換是洛侖茲變換在低速運(yùn)動(dòng)下的一個(gè)近似。（3）以上所得到的洛侖茲變換式，是在一種特殊的運(yùn)動(dòng)條件下所構(gòu)成的時(shí)空變換關(guān)系，即∑′系相對(duì)于∑系沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，而且x′與x平行，如果

∑′系相對(duì)于∑系不是沿x正方向運(yùn)動(dòng)，那么以上洛侖茲變換式不能適用。41第六章狹義相對(duì)論（4）兩個(gè)慣性系的互相表述——坐標(biāo)軸時(shí)空?qǐng)D閔可夫斯基把相對(duì)論寫成四維時(shí)空的形式，他把時(shí)間看作第四維空間，從而把時(shí)空看作一個(gè)整體，用簡(jiǎn)潔的形式重新表述了相對(duì)論。在四維時(shí)空中，任何一個(gè)事件都可以用其中的一個(gè)點(diǎn)來表示，這個(gè)點(diǎn)稱為世界點(diǎn)。事件發(fā)展的過程，用四維時(shí)空中的軌跡線表示，稱為世界線。xt各種世界線xt∑系的等時(shí)線和等地線t'x'∑′系的等時(shí)線和等地線42第六章狹義相對(duì)論三維歐氏空間線元四維歐氏時(shí)空線元四維閔氏時(shí)空線元一維空間和一維時(shí)間構(gòu)成的二維閔氏時(shí)空的線元世界線線長(zhǎng)與固有時(shí)成正比根據(jù)間隔不變性43第六章狹義相對(duì)論二維閔氏時(shí)空中兩個(gè)慣性系的互相表述—坐標(biāo)軸時(shí)空?qǐng)Dxtt'軸：x'=0x-vt=0,t=x/vt'x'x'軸：t'=0t-vx=0,t=vx1）以∑為基準(zhǔn)表述∑′在自然單位制下(c=1)洛變換44第六章狹義相對(duì)論xtt軸：x=0x'+vt'=0,t'=-x'/vt'x'x軸：t=0t'+vx'=0,t'=-vx'2）以∑′為基準(zhǔn)表述∑在自然單位制下洛變換45第六章狹義相對(duì)論3）校準(zhǔn)曲線pO在二維閔氏時(shí)空中與原點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡稱為校準(zhǔn)曲線，l0p=cxt閔氏時(shí)空中校準(zhǔn)曲線是一條雙曲線。雙曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相同。這與歐氏空間完全不同。Q閔氏時(shí)空中的四維線元46第六章狹義相對(duì)論例2(198頁(yè))47第六章狹義相對(duì)論解:48第六章狹義相對(duì)論49第六章狹義相對(duì)論50第六章狹義相對(duì)論1.相對(duì)論時(shí)空結(jié)構(gòu)考慮兩個(gè)事件：O（0,0,0,0）和P（x,y,z,t

)兩事件間隔間隔的分類兩個(gè)事件的空間距離等于光波在時(shí)間t所傳播的距離，如兩事件是電磁信號(hào)聯(lián)系的事件(2)兩個(gè)事件的空間距離小于光波在時(shí)間t所傳播的距離，如兩事件是用小于光速聯(lián)系的事件§3相對(duì)論時(shí)空理論(2013.06.12)51第六章狹義相對(duì)論(3)兩個(gè)事件的空間距離超過了光波在時(shí)間t所傳播的距離，如兩事件是用大于光速聯(lián)系的事件由于從一個(gè)慣性系到另外一個(gè)慣性系的變換中，間隔保持不變，所以間隔的這三種劃分是絕對(duì)的，不因參考系變換而改變。這是相對(duì)論時(shí)空性質(zhì)中的絕對(duì)性。為了說明問題的方便，把三種間隔用一個(gè)三維時(shí)空?qǐng)D形表示出來，事件用一個(gè)三維時(shí)空點(diǎn)P來表示。52第六章狹義相對(duì)論

P點(diǎn)在xy面上的投影表示事件發(fā)生的地點(diǎn)，P點(diǎn)的垂直坐標(biāo)表示事件發(fā)生的時(shí)刻t乘以c。在四維時(shí)空中，任何一個(gè)事件都可以用其中的一個(gè)點(diǎn)來表示，這個(gè)點(diǎn)稱為世界點(diǎn)。事件發(fā)展的過程，用四維時(shí)空中的軌跡線表示，稱為世界線。四維時(shí)空的結(jié)構(gòu)由三個(gè)區(qū)域組成，對(duì)應(yīng)于上述三種情況。xytPo·53第六章狹義相對(duì)論54第六章狹義相對(duì)論時(shí)空區(qū)域的分類(1)若事件P與事件O的間隔是S2=0，則r=ct，因此P點(diǎn)在一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面上，這個(gè)錐面稱為光錐。凡是光錐上的點(diǎn)，都可以與O點(diǎn)用光信號(hào)聯(lián)系。這類型的間隔稱為類光間隔。事件P:收短信事件o:發(fā)短信事件P:7:00:01三十萬公里處出現(xiàn)流星事件o:7：00寢室開燈有因果關(guān)系的兩個(gè)類光事件的間隔無因果關(guān)系的兩個(gè)類光事件的間隔xyct·Po45o55第六章狹義相對(duì)論(2)若事件P與事件O的間隔是

S2>0，則r<ct

，因而P點(diǎn)在光錐之內(nèi)。凡是光錐內(nèi)的點(diǎn)，都可以與O點(diǎn)用小于光信號(hào)的速度聯(lián)系。這類型的間隔稱為類時(shí)間隔。事件P：終點(diǎn)沖刺事件o：短跑發(fā)令槍響事件P：0:05:00寢室外樹葉落地事件o：0:00:00寢室關(guān)燈有因果關(guān)系的兩個(gè)類時(shí)事件的間隔無因果關(guān)系的兩個(gè)類時(shí)事件的間隔xyct·Po45o56第六章狹義相對(duì)論(3)事件P與事件O的間隔S2<0，則r>ct

，因而P點(diǎn)在光錐之外。這時(shí)P點(diǎn)不可能與O點(diǎn)用光信號(hào)或低于光信號(hào)的傳播速度的作用相聯(lián)系。這類型的間隔稱為類空間隔。

事件P：

0:00:01美國(guó)鳳凰號(hào)在火星著陸事件o：0:00:00寢室關(guān)燈兩個(gè)事件的間隔的劃分是絕對(duì)的，不因參考系而轉(zhuǎn)變。xyct·Po45o57第六章狹義相對(duì)論概括起來，事件P相對(duì)于事件O的時(shí)空關(guān)系可作如下的絕對(duì)分類：(1)類光間隔S2=0P點(diǎn)在光錐面上。(2)類時(shí)間隔S2>0a)絕對(duì)將來，即P在O的上半光錐內(nèi)。b)絕對(duì)過去，即P在O的下半光錐內(nèi)。(3)類空間隔S2<0P與O絕對(duì)異地，P點(diǎn)在光錐之外。類時(shí)間隔和類空間隔是兩個(gè)截然不同的時(shí)空關(guān)系。58第六章狹義相對(duì)論設(shè)兩事件∑系

2因果律對(duì)信號(hào)速度的限制如果兩個(gè)事件有因果關(guān)系，那么兩事件的先后次序應(yīng)該是絕對(duì)的，不容顛倒。正確的時(shí)空觀必須反映事物發(fā)展的絕對(duì)因果性。如播種必在收獲之先，人的死亡必在出生之后，收短信在發(fā)短信之后等。因果關(guān)系的絕對(duì)性反映了事物發(fā)展變化的客觀事實(shí)，與參考系的選擇無關(guān)。由Lorentz變換得∑′系59第六章狹義相對(duì)論即如果在∑系中兩事件有因果關(guān)系，且t2>t1，由于它們的秩序在另一慣性系中不可顛倒，即t2-t1與t2′-t1′必須同號(hào)，所以要求即60第六章狹義相對(duì)論∑系中信號(hào)或粒子傳播的速度為則有式中v是兩慣性系之間的相對(duì)速度，由于參考系必須固定在物體上，所以v也是信號(hào)或粒子傳播的速度，這時(shí)相對(duì)論要求u<c屬類時(shí)間隔的兩因果事件的絕對(duì)性要求所有物體運(yùn)動(dòng)速度和信號(hào)傳遞速度都不能超過光速c。這與目前的實(shí)驗(yàn)事實(shí)相吻合。61第六章狹義相對(duì)論50億光年6500萬光年5000光年50億年：太陽(yáng)系誕生6500萬年：恐龍滅絕5000年：人類文明誕生v>c62第六章狹義相對(duì)論3同時(shí)的相對(duì)性現(xiàn)在考察具有類空間隔的兩個(gè)事件1和2∑系

∑′系由有63第六章狹義相對(duì)論即具有類空間隔的兩個(gè)事件，由于不可能發(fā)生因果關(guān)系，其時(shí)間次序的先后，或者同時(shí)，都沒有絕對(duì)意義，因不同參考系而不同。若在∑系中兩事件同時(shí)t2=t1，則t2-t1=0則只要在∑系中兩事件異地x2≠x1，則64第六章狹義相對(duì)論同時(shí)相對(duì)性時(shí)空?qǐng)Dxtt'x'65第六章狹義相對(duì)論例：同時(shí)異地發(fā)生的兩個(gè)事件的間隔小于零，屬類空間隔，兩事件不可能有因果關(guān)系，所以同時(shí)概念必然是相對(duì)的，只能是在高速和廣延范圍顯現(xiàn)。∑′系中為不同時(shí)的事件

∑系中同時(shí)異地事件

66第六章狹義相對(duì)論后門前門車子O.∑O’.∑’地面

一輛作勻速運(yùn)動(dòng)的車子，其前后兩門皆用光信號(hào)控制其開和關(guān)。車上的觀察者看到前后們同時(shí)開關(guān)，車下的觀察者看到前后們不同時(shí)開關(guān)。67第六章狹義相對(duì)論同時(shí)相對(duì)性的時(shí)空?qǐng)Dp1p2Op1p2Op1p2O∑系中的同時(shí)線

∑′系中的同時(shí)線

∑系和∑′系中同時(shí)相對(duì)性

68第六章狹義相對(duì)論對(duì)鐘的時(shí)空?qǐng)DC2C14運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘的延緩—時(shí)間間隔的相對(duì)性xyC2C1在不同的慣性系中觀察同一物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過程所經(jīng)歷的時(shí)間是否相同？同一參考系對(duì)鐘問題不同參考系對(duì)鐘問題xyy′C'C2C1x′69第六章狹義相對(duì)論設(shè)在∑′系中有一靜止時(shí)鐘，在同一地點(diǎn)先后兩次看鐘為兩個(gè)同地不同時(shí)事件，其時(shí)間差稱為固有時(shí)∑′系中兩個(gè)事件的間隔為xyy′C'C2C1x′∑系內(nèi)這兩個(gè)事件的間隔為70第六章狹義相對(duì)論令由間隔不變性得即運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘延緩了，或稱愛因斯坦延緩。71第六章狹義相對(duì)論宇航員乘坐速度為0.9999624C的宇宙飛船飛行，他的一日相當(dāng)于地球上的一年，所以當(dāng)這位宇航員長(zhǎng)了一歲，我們已經(jīng)老了365歲了。據(jù)此通過坐飛機(jī)來長(zhǎng)壽，理論上是可行的，只是效果太微弱了。根據(jù)計(jì)算，如果一個(gè)人一年都在飛機(jī)上飛行，他可以賺得5微秒。假設(shè)他活了80歲，從出生就在飛機(jī)上這樣生活，當(dāng)80歲死去時(shí)一共可以賺得400微秒，即0.0004秒。80年的飛行才賺得連一眨眼都不到的時(shí)間，實(shí)在是有點(diǎn)得不償失。討論(2012.06.21)（1）時(shí)鐘延緩效應(yīng)是真實(shí)的；運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘比靜止時(shí)鐘走得慢。接近光速時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘趨于停止(Δt→∞)。時(shí)鐘延緩效應(yīng)只依賴于速度，而不依賴于加速度。72第六章狹義相對(duì)論（2）當(dāng)局限于慣性運(yùn)動(dòng)時(shí)，時(shí)鐘延緩效應(yīng)是相對(duì)效應(yīng)x,x′yy′C'C2C1x,x′yy′C'C2C1τl/vx,x′yy′C'C2C1x,x′yy′C'C2C1τl/v

參考系∑上看到固定于∑′上的時(shí)鐘變慢；同樣，參考系∑′上看到固定于∑上的時(shí)鐘變慢。在動(dòng)鐘變慢的效應(yīng)中，總是用一個(gè)鐘（動(dòng)鐘）和一系列鐘（靜鐘）比較，變慢的一定是那個(gè)單一的鐘。

73第六章狹義相對(duì)論時(shí)鐘延緩效應(yīng)時(shí)空?qǐng)Dx,x′yy′C'C2C1x,x′yy′C'C2C1τl/vxtt'C2C1C'abx'oc∑系看動(dòng)鐘慢了lob<lcb74第六章狹義相對(duì)論ed∑′系看動(dòng)鐘也慢了lob>ldbδxtt'C2C1C'bx'ocx,x′yy′C'C2C1x,x′yy′C'C2C1l/v-δδl/v75第六章狹義相對(duì)論76第六章狹義相對(duì)論（3）在有非慣性運(yùn)動(dòng)時(shí)，時(shí)間延緩導(dǎo)致絕對(duì)的物理效應(yīng)。雙生子佯謬一對(duì)孿生兄弟A和B

，其中B跨上宇宙飛船作太空旅行，而A則留在地球。結(jié)果當(dāng)旅行者回到地球后，我們發(fā)現(xiàn)B比留在地球的兄弟A更年青。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，從B的角度看A更年青。到底誰更年輕？txpqAB1、在狹義相對(duì)論層次解決

忽略B運(yùn)動(dòng)的加速過程，把B的來回看作慣性運(yùn)動(dòng)，這時(shí)B離開A的運(yùn)動(dòng)等價(jià)于B不動(dòng)A離開B的運(yùn)動(dòng)，兩人都認(rèn)為對(duì)方比自己年輕。之所以出現(xiàn)好象矛盾的結(jié)論，是因?yàn)閮扇颂幱诓煌膽T性系中，各用各的鐘，B的時(shí)間觀念不等于A時(shí)間觀念。77第六章狹義相對(duì)論根據(jù)世界線的性質(zhì)，世界線長(zhǎng)度正比于質(zhì)點(diǎn)經(jīng)歷的固有時(shí)間。比較A和B的壽命就是比較A和B的世界線長(zhǎng)。這個(gè)結(jié)論是絕對(duì)的，是時(shí)空幾何決定的，與參考系的選擇無關(guān)。txpqABA的世界線

B的世界線

2、在廣義相對(duì)論層次解決

78第六章狹義相對(duì)論5、運(yùn)動(dòng)尺度的縮短—空間距離的相對(duì)性測(cè)量物體的長(zhǎng)度往往就是用一根尺子去和物體比較，看物體的兩端與尺子上哪兩點(diǎn)重合，關(guān)鍵在于必須對(duì)物體的兩個(gè)端點(diǎn)進(jìn)行同時(shí)測(cè)量。測(cè)量物體每一端的坐標(biāo)都是一個(gè)事件，同時(shí)測(cè)量意味著是同時(shí)事件。固有長(zhǎng)度xyy′vx′x′1x′2運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度xyy′vx′x1x279第六章狹義相對(duì)論

根據(jù)Lorentz變換式兩式相減，即得80第六章狹義相對(duì)論由于測(cè)量要求t2-t1=0，故有即即運(yùn)動(dòng)著的尺比靜止的尺短，相對(duì)論的這個(gè)結(jié)果稱為L(zhǎng)orentz收縮。81第六章狹義相對(duì)論討論(1)運(yùn)動(dòng)尺度縮短了，趨于光速時(shí)，尺度縮短為零；運(yùn)動(dòng)尺度縮短是一種時(shí)空效應(yīng)，構(gòu)成尺子的原子結(jié)構(gòu)和原子內(nèi)部的電荷分布沒有發(fā)生任何變化。(2)如果物體是任意形狀的，只有沿運(yùn)動(dòng)方向的長(zhǎng)度有上述的縮短，如立方體體積變小。(3)長(zhǎng)度縮短效應(yīng)也是相對(duì)的。82第六章狹義相對(duì)論運(yùn)動(dòng)尺度收縮的時(shí)空?qǐng)Dxoat'tx'b靜尺長(zhǎng)度動(dòng)尺長(zhǎng)度尺頭尺尾無論從哪一個(gè)慣性系看，運(yùn)動(dòng)尺一定會(huì)產(chǎn)生Lorentz收縮。83第六章狹義相對(duì)論車庫(kù)佯謬庫(kù)門庫(kù)墻t'x'車頭車尾

設(shè)汽車與車庫(kù)靜長(zhǎng)相等。汽車勻速進(jìn)庫(kù)時(shí)，司機(jī)想“動(dòng)庫(kù)變短，車放不下”；司庫(kù)想“動(dòng)車收縮，放下有余”，司機(jī)的想法對(duì)還是司庫(kù)的想法對(duì)?使用4維幾何語言可獲得清晰的認(rèn)識(shí)。兩人看法都對(duì)，關(guān)鍵是同時(shí)性的相對(duì)性導(dǎo)致結(jié)論的相對(duì)性。司庫(kù)同時(shí)面司機(jī)同時(shí)面校準(zhǔn)曲線oabcd以司庫(kù)所在慣性系的同時(shí)面衡量，車短于庫(kù)，放下有余以司機(jī)所在慣性系的同時(shí)面衡量，車長(zhǎng)于庫(kù)，不能放下84第六章狹義相對(duì)論6、速度變換式假定∑′系相對(duì)于∑系以速度v沿著x軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子(∑")相對(duì)于∑系、∑′系的速度分別為利用洛侖茲正變換以及其變換是線性的性質(zhì)，微分得到x,x′∑∑′vuu′∑″x″85第六章狹義相對(duì)論用dt′去除dx′

，dy′

，dz′

，則得86第六章狹義相對(duì)論同理得有87第六章狹義相對(duì)論88第六章狹義相對(duì)論討論v是∑′系相對(duì)于∑系沿x軸正方向的速度；u是粒子（∑″系）相對(duì)于∑系的速度；u′是粒子（∑″系）相對(duì)于∑′系的速度；要使用速度變換式，必須要有三個(gè)客體存在，即兩個(gè)觀察者∑和∑′，以及一個(gè)運(yùn)動(dòng)實(shí)體（∑″系）。(1)區(qū)分三種不同的速度(2)在非相對(duì)論極限下c→∞，速度變換式將過渡到經(jīng)典力學(xué)中速度變換式，即x,x′∑∑′vuu′x″∑″89第六章狹義相對(duì)論（3）當(dāng)u′<c，v<c時(shí)，可以證明必有這說明不可能把牽連速度和相對(duì)速度加起來，使它們的合成速度在某一慣性系得出大于c的結(jié)論。u<c綜上所述，相對(duì)論的時(shí)空性質(zhì)不承認(rèn)普適的時(shí)間與不變的空間，而認(rèn)為不同的慣性系有不同的尺和鐘。在這個(gè)意義上它的時(shí)空是“相對(duì)”的，但這種相對(duì)性并不意味著任何主觀任意性。歸根到底，它只不過是光速不變性這一客觀事實(shí)的反映，光速不變性還規(guī)定了事件間的“間隔”是絕對(duì)的，不隨參考系而異，這就是狹義相對(duì)論時(shí)空觀中相對(duì)和絕對(duì)的統(tǒng)一。90第六章狹義相對(duì)論例題1（P208）證明若物體相對(duì)于一個(gè)參考系的運(yùn)動(dòng)速度u<c，則對(duì)于所有參考系亦有u′<c。證明：設(shè)物體在dt時(shí)間內(nèi)發(fā)生了位移，由間隔不變性有由得91第六章狹義相對(duì)論x,x’0’0zz’y∑y’∑’例題2（P208）解:在∑′上觀察,介質(zhì)中的光速沿各方向都等于c/n,沿介質(zhì)運(yùn)動(dòng)方向的光速如果v<<c,得沿介質(zhì)運(yùn)動(dòng)方向的光速92第六章狹義相對(duì)論逆介質(zhì)運(yùn)動(dòng)方向的光速93第六章狹義相對(duì)論例題3用速度變換式證明光速不變?cè)?。證明：設(shè)光子從∑′系發(fā)出沿x′方向運(yùn)動(dòng)，速度為則光子相對(duì)于∑的速度為ΣΣ′vxx′94第六章狹義相對(duì)論例題4兩束電子迎面相對(duì)運(yùn)動(dòng)，每束電子相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室的速度為0.9c，求相對(duì)于一束電子靜止的觀測(cè)者觀察另一束電子的速度。證明：設(shè)實(shí)驗(yàn)室系為∑，向x

正方向運(yùn)動(dòng)的電子為∑′系，向x

負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的電子為∑″系，則兩束電子相對(duì)速度為∑∑′∑″v-v95第六章狹義相對(duì)論例題5設(shè)在6000米高層大氣邊緣產(chǎn)生一個(gè)靜止壽命為Δτ=2×10-6S的μ子。如果μ子以v=0.998c的速度飛向地球，試分別在地球參考系和μ子參考系中計(jì)算它是否能飛躍大氣層到達(dá)地面。解:選擇地球參考系為Σ,μ子參考系為Σ′。Σ′Σ′vxx′96第六章狹義相對(duì)論（1）在地球參考系，由于運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘延緩效應(yīng)，測(cè)得μ子壽命在地球參考系，它能飛越的距離為因而μ子能穿越大氣層。97第六章狹義相對(duì)論（2）在μ子參考系μ子靜止，地球到μ子之間的大氣層向μ子奔來，其有生之年能“穿越”的大氣層厚度為由于尺度縮短效應(yīng)，μ子測(cè)得大氣層厚度收縮為因而μ子能穿越大氣層。

μ子能穿越大氣層這一事實(shí)，在地球參考系描述為μ子的壽命延長(zhǎng)；在μ子參考系則描述為大氣層厚度變薄，兩者從不同角度描述同一個(gè)事實(shí)，但得出的結(jié)論是一致的。98第六章狹義相對(duì)論例題6

(習(xí)題6.2)解：實(shí)驗(yàn)室系∑；1尺系∑′；2尺系∑″在1尺上測(cè)得2尺的速度在1尺上測(cè)得2尺的長(zhǎng)度∑∑′∑″v-v99第六章狹義相對(duì)論例題7(習(xí)題6.3)解：實(shí)驗(yàn)室系∑；小車系∑′；小球系∑″?！啤湎抵星驋伋龅脚霰诘目臻g差和時(shí)間差由洛侖茲變換得地面測(cè)得的小球運(yùn)行時(shí)間為∑∑′∑″100第六章狹義相對(duì)論例題8(習(xí)題6.6)

解：實(shí)驗(yàn)室系∑；觀察者系∑′；物體系∑″在物體系∑″看物體固有長(zhǎng)度觀察者系∑′測(cè)得這兩個(gè)物體的速度∑∑′∑″∑″uv觀察者測(cè)得兩個(gè)物體的距離101第六章狹義相對(duì)論§4相對(duì)論理論的四維形式(2013.06.26)相對(duì)性原理要求任何物理規(guī)律在不同的慣性系中形式相同。而牛頓運(yùn)動(dòng)方程和電磁規(guī)律的矢量表示不滿足洛侖茲變換下不變的要求。因此，我們要對(duì)牛頓力學(xué)規(guī)律和電磁運(yùn)動(dòng)規(guī)律的表述形式加以修改，使它們滿足相對(duì)論的協(xié)變性要求。102第六章狹義相對(duì)論1、三維空間的正交變換二維空間中任一點(diǎn)P在坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)中的變換xx′yy′OPθθ103第六章狹義相對(duì)論變換關(guān)系滿足上式的二維平面上的線性變換稱為正交變換。OP長(zhǎng)度的平方為104第六章狹義相對(duì)論

二維平面矢量在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)下的變換任意平面矢量變換關(guān)系滿足正交變換條件

任意矢量的變換與坐標(biāo)變換具有相同的形式105第六章狹義相對(duì)論三維坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)三維坐標(biāo)線性變換轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)距離保持不變滿足上式的線性變換稱為三維空間的正交變換。空間轉(zhuǎn)動(dòng)屬于正交變換。106第六章狹義相對(duì)論正交變換條件利用利用愛因斯坦規(guī)則，變換式可作簡(jiǎn)寫有107第六章狹義相對(duì)論注意所以比較兩邊得正交變換條件有引入符號(hào)108第六章狹義相對(duì)論反變換式由得反變換109第六章狹義相對(duì)論矩陣形式定義轉(zhuǎn)置矩陣變換系數(shù)可以寫成矩陣形式則有110第六章狹義相對(duì)論111第六章狹義相對(duì)論

標(biāo)量與坐標(biāo)變換無關(guān)，設(shè)在∑系中某標(biāo)量用u

表示，在∑′系中用u′表示，由標(biāo)量不變性得到：2、物理量按空間變換性質(zhì)分類物理量分為標(biāo)量、矢量和張量。這種分類是根據(jù)物理量在空間轉(zhuǎn)動(dòng)下的變換性質(zhì)來規(guī)定的。(1)標(biāo)量（零階張量，三維空間中有30個(gè)分量）若一物理量在空間中沒有取向關(guān)系，僅用一個(gè)數(shù)描述。當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物理量保持不變，則稱此量為標(biāo)量，或零階張量。如質(zhì)量、電荷和溫度等都是標(biāo)量。112第六章狹義相對(duì)論若一物理量在空間中有取向性，它由三個(gè)分量表示。當(dāng)空間轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，分量按與坐標(biāo)變換相同的變換規(guī)則變換，則稱此量為矢量，或一階張量。如電場(chǎng)強(qiáng)度、速度、力和動(dòng)量等。(2)矢量（一階張量，三維空間中有31個(gè)分量）哈密頓算符也具有矢量性質(zhì)，其變換關(guān)系為113第六章狹義相對(duì)論(3)二階張量（通常說的張量,三維空間中有32個(gè)分量）若一物理量在空間的取向比較復(fù)雜，需要用九個(gè)分量描述。每個(gè)分量由兩個(gè)矢量指標(biāo)表示，有九個(gè)分量，在從∑系變換到∑′系過程中，每一分量按與坐標(biāo)變換相同的變換規(guī)則變換，即遵循具有這種變換關(guān)系的物理量稱為二階張量，如電電磁場(chǎng)張量、電四極矩張量等。114第六章狹義相對(duì)論對(duì)稱張量對(duì)稱張量變換后仍然是對(duì)稱張量反對(duì)稱張量反對(duì)稱張量變換后仍然是反對(duì)稱張量.115第六章狹義相對(duì)論張量的跡是一個(gè)標(biāo)量無跡對(duì)稱張量116第六章狹義相對(duì)論二階張量可以分解為三部分張量的跡無跡對(duì)稱張量反對(duì)稱張量電四極矩就是一個(gè)無跡對(duì)稱張量，只有五個(gè)獨(dú)立分量。117第六章狹義相對(duì)論兩個(gè)矢量的標(biāo)積是一個(gè)標(biāo)量一個(gè)張量和一個(gè)矢量的乘積是一個(gè)矢量據(jù)愛因斯坦規(guī)則，重復(fù)指標(biāo)表示求和，稱為指標(biāo)收縮，不重復(fù)的指標(biāo)稱為自由指標(biāo)，物理量有多少個(gè)自由指標(biāo)，就可以判斷它屬于哪一類物理量。118第六章狹義相對(duì)論3、

Lorentz變換式的四維形式Lorentz變換式滿足間隔不變形式上引入第四維虛數(shù)坐標(biāo)三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)是滿足距離不變的線性正交變換119第六章狹義相對(duì)論Lorentz變換是滿足間隔不變性的四維線性正交變換Lorentz變換形式上可以看作四維空間的轉(zhuǎn)動(dòng)。因而三維正交變換的關(guān)系可以形式上推廣到Lorentz變換中去。這四維空間的第四個(gè)坐標(biāo)是虛數(shù)，稱為復(fù)四維空間，它不同于實(shí)的四維歐幾里得空間。構(gòu)成四維閔可夫斯基空間，則間隔不變式表為或120第六章狹義相對(duì)論一個(gè)坐標(biāo)取定的四維閔可夫斯基空間在物理上與一個(gè)慣性系對(duì)應(yīng)。閔可夫斯基空間的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)變換用一個(gè)四維的正交變換矩陣表示，在物理上描述的是慣性系間的一次變換。121第六章狹義相對(duì)論

∑′系相對(duì)于∑系沿x軸正方向以速度v運(yùn)動(dòng)的特殊變換系數(shù)a的矩陣形式其中122第六章狹義相對(duì)論

逆變換系數(shù)a-1的矩陣形式為容易驗(yàn)證123第六章狹義相對(duì)論xx′ctct′OPθθ時(shí)鐘延緩效應(yīng)和長(zhǎng)度縮短效應(yīng)的幾何意義124第六章狹義相對(duì)論4、四維協(xié)變量三維慣性參考系之間的變換相當(dāng)于四維空間的轉(zhuǎn)動(dòng)變換。描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)和屬性的物理量會(huì)反映出時(shí)空變換的特點(diǎn)，故在四維空間中的物理量也應(yīng)該按四維空間轉(zhuǎn)動(dòng)下的變換性質(zhì)進(jìn)行分類。(1)四維標(biāo)量（四維空間中有40個(gè)分量）在Lorentz變換下不變的物理量稱為洛倫茲標(biāo)量。如間隔125第六章狹義相對(duì)論如果∑′系相對(duì)于∑系沿x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于∑′靜止由于間隔不變或126第六章狹義相對(duì)論(2)四維矢量（四維空間中有41個(gè)分量）具有四個(gè)分量的物理量Vμ，在坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，這些數(shù)的變換關(guān)系和坐標(biāo)的變換關(guān)系相同，則稱該物理量為四維矢量，即滿足用矩陣表示為127第六章狹義相對(duì)論

由于四維矢量在坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)是按Lorentz變換改變的，因此一個(gè)物理定律中的物理量若能用四維空間的張量表達(dá)，則此定律具有Lorentz協(xié)變性，即滿足相對(duì)論要求。凡滿足這個(gè)變換式的四個(gè)數(shù)都構(gòu)成一個(gè)四維矢量，四維矢量的前三個(gè)分量是空間分量，第四個(gè)分量是時(shí)間分量。在四維空間中，四維哈密頓矢量算符為128第六章狹義相對(duì)論空間分量為時(shí)間分量為可見將四維速度寫成如下形式四維速度四維速度129第六章狹義相對(duì)論參考系作Lorentz變換時(shí)，四維速度有變換四維速度的前三個(gè)分量和普通速度有關(guān)，當(dāng)130第六章狹義相對(duì)論四維張量（4維空間中有42個(gè)分量）如果一個(gè)物理量Tμν變換滿足關(guān)系則稱該物理量為4維空間中的二階張量，一共有16個(gè)分量。131第六章狹義相對(duì)論四維波矢量是一個(gè)不變量波動(dòng)方程和解都是協(xié)變的，于是有在兩個(gè)慣性系中分別為平面波的電磁場(chǎng)是二階張量，滿足132第六章狹義相對(duì)論考察兩個(gè)事件xxx′x′133第六章狹義相對(duì)論在x′上的時(shí)空坐標(biāo)(x′,t′)可用Lorentz變換求得，而相位同樣是這是因?yàn)槟硞€(gè)波峰通過某一時(shí)空點(diǎn)是一個(gè)物理事件，而相位只是記數(shù)問題，不應(yīng)隨參考系而變。由此可看到相位具有不變性，即134第六章狹義相對(duì)論引入k4=iω/c，故可將其組合成一個(gè)四維矢量，則135第六章狹義相對(duì)論由此得到一個(gè)四維波矢量它們滿足Lorentz變換式136第六章狹義相對(duì)論137第六章狹義相對(duì)論設(shè)波矢量位于xoy平面內(nèi),k和x軸正方向的夾角為θ，k′和x′軸（x′軸與x軸平行）正方向的夾角為θ′，則有x′z′y′θ′θxyz138第六章狹義相對(duì)論由第四式看出這是相對(duì)論中的多普勒效應(yīng)。（1）多普勒效應(yīng)139第六章狹義相對(duì)論若∑′系為光源的靜止參考系，則ω′=ω0，ω0為靜止光源的輻射角頻率，根據(jù)多普勒效應(yīng)，得到運(yùn)動(dòng)光源輻射角頻率為其中，v是光源的運(yùn)動(dòng)速度，θ為∑系上觀察者看到輻射方向與光源運(yùn)動(dòng)方向的夾角。OO’vθα關(guān)于多普勒效應(yīng)的討論140第六章狹義相對(duì)論①當(dāng)電磁波源離開觀測(cè)者（v）時(shí)，射向觀測(cè)者的電磁波θ=π

觀測(cè)到的輻射頻率小于靜止光源的輻射頻率，出現(xiàn)紅移現(xiàn)象。OO′v141第六章狹義相對(duì)論②當(dāng)電磁波源趨向觀測(cè)者（v）時(shí)，射向觀測(cè)者的電磁波θ=0

觀測(cè)到的輻射頻率大于靜止光源的輻射頻率，出現(xiàn)紫移現(xiàn)象。OO’v142第六章狹義相對(duì)論此式為相對(duì)論產(chǎn)生的橫向多普勒效應(yīng)，觀測(cè)到的輻射頻率小于靜止光源的輻射頻率，仍然出現(xiàn)紅移現(xiàn)象。它是相對(duì)論時(shí)鐘延緩效應(yīng)的證據(jù)之一。③在垂直于電磁波源運(yùn)動(dòng)方向（v）觀測(cè)（θ=π/2）OO′vαθ=π/2143第六章狹義相對(duì)論

當(dāng)v<<c時(shí)，γ→1，得到運(yùn)動(dòng)光源的經(jīng)典多普勒效應(yīng)公式為即在經(jīng)典理論中不存在橫向多普勒效應(yīng)。144第六章狹義相對(duì)論（2）光行差由Lorentz變換推出光行差公式這就是相對(duì)論中的光行差公式。

145第六章狹義相對(duì)論由Lorentz速度變換也能推出光行差公式這與用Lorentz變換推出光行差公式相同。

146第六章狹義相對(duì)論

光行差較早被天文學(xué)家Bradly于1728年所測(cè)到。如圖所示。147第六章狹義相對(duì)論設(shè)地球相對(duì)于太陽(yáng)參考系∑的運(yùn)動(dòng)速度為v，在∑系上看到某一恒星發(fā)出的光線的傾角為

在地球上用望遠(yuǎn)鏡觀察該恒星時(shí)，傾角為由于v<<c，故148第六章狹義相對(duì)論天文觀測(cè)值光行差現(xiàn)象的觀察

取觀察者正上方的一顆恒星作理論計(jì)算，α=π/2149第六章狹義相對(duì)論恒星的光行差150第六章狹義相對(duì)論5、物理規(guī)律的協(xié)變性在慣性參考系變換下方程保持不變的性質(zhì)稱為協(xié)變性。設(shè)某方程具有形式若有則方程是協(xié)變的，滿足相對(duì)性原理的要求。而只有把物理量表述成四維形式才有這樣的可能。151第六章狹義相對(duì)論

所謂電磁規(guī)律的協(xié)變性是指，電磁運(yùn)動(dòng)方程，如電荷守恒定律、能量動(dòng)量守恒定律、洛倫茲力密度、麥克斯韋方程和電磁波的波動(dòng)方程等，在不同的慣性系中有相同的形式，即滿足洛倫茲變換的不變性。本節(jié)將電流密度、電荷密度、電磁場(chǎng)強(qiáng)度、矢勢(shì)標(biāo)勢(shì)、洛倫茲力和麥克斯韋方程表示成四維張量形式，使其在不同的慣性系中保持不變，從而證明電磁規(guī)律滿足洛倫茲協(xié)變性?！?電磁規(guī)律的相對(duì)性理論(2013.06.28)152第六章狹義相對(duì)論電荷是一個(gè)洛侖茲標(biāo)量，若相對(duì)某一慣性系靜止若粒子處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則體元有收縮為了保持電荷不變性，電荷密度應(yīng)相應(yīng)的增大1、四維電流密度矢量和電流連續(xù)性方程的協(xié)變式153第六章狹義相對(duì)論電流密度構(gòu)造四維電流密度將電流密度矢量的意義擴(kuò)充到包含靜電荷密度ρ，即假定在某一慣性系中，J和ρ構(gòu)成一個(gè)四維矢量154第六章狹義相對(duì)論Jμ是一個(gè)四維矢量，應(yīng)該滿足四維矢量變換關(guān)系即155第六章狹義相對(duì)論逆變換即156第六章狹義相對(duì)論

各分量為由其中最后一式得157第六章狹義相對(duì)論電流連續(xù)性方程的協(xié)變性這是一個(gè)不變量，因此，只要J和ρ一起構(gòu)成一個(gè)四維矢量，它就是協(xié)變的，他反映出在相對(duì)論時(shí)空觀下物理量的統(tǒng)一性。即158第六章狹義相對(duì)論(1)四維空間算符四維哈密頓算符電流連續(xù)性方程為電流散度達(dá)朗貝爾標(biāo)量算符2、四維勢(shì)矢量159第六章狹義相對(duì)論

麥克斯韋方程可以通過標(biāo)勢(shì)和矢勢(shì)表示出來，在洛倫茲條件下，標(biāo)勢(shì)和矢勢(shì)表為達(dá)朗貝爾方程洛倫茲條件為(1)四維勢(shì)160第六章狹義相對(duì)論

通過四維算符，可將真空中的電磁場(chǎng)的勢(shì)方程(達(dá)朗貝爾方程)寫成即161第六章狹義相對(duì)論兩式合并得在J和ρ一起構(gòu)成一個(gè)四維矢量的啟發(fā)下，推理標(biāo)勢(shì)φ和矢勢(shì)A也應(yīng)該能統(tǒng)一為一個(gè)四維矢量。定義四維矢量Aμ162第六章狹義相對(duì)論上式構(gòu)成四維形式根據(jù)兩邊都是四維協(xié)變量應(yīng)滿足所以達(dá)朗貝爾方程在洛侖茲變換下是協(xié)變的。163第六章狹義相對(duì)論四維勢(shì)滿足協(xié)變關(guān)系164第六章狹義相對(duì)論標(biāo)量方程是協(xié)變的洛侖茲規(guī)范條件的協(xié)變性165第六章狹義相對(duì)論3、麥克斯韋方程組的協(xié)變性(1)電磁場(chǎng)張量電磁場(chǎng)E，B用勢(shì)表示為166第六章狹義相對(duì)論用四維勢(shì)Aμ來表示E，B的各分量167第六章狹義相對(duì)論利用Aμ

的導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè)反對(duì)稱四維二階張量168第六章狹義相對(duì)論其矩陣形式為電磁場(chǎng)張量169第六章狹義相對(duì)論例如170第六章狹義相對(duì)論(2)麥克斯韋方程組的協(xié)變形式分量式首先考慮麥?zhǔn)戏匠探M的非齊次部分171第六章狹義相對(duì)論172第六章狹義相對(duì)論再考慮麥?zhǔn)戏匠探M的齊次方程分量式173第六章狹義相對(duì)論可合起來，寫成四維協(xié)變形式174第六章狹義相對(duì)論由張量變換關(guān)系電磁場(chǎng)的變換關(guān)系式175第六章狹義相對(duì)論176第六章狹義相對(duì)論同理可得反變換177第六章狹義相對(duì)論

如果把電磁場(chǎng)按平行和垂直于相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度