河北省承德市隆化縣郭家屯鎮(zhèn)中學(xué)2022年度高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

河北省承德市隆化縣郭家屯鎮(zhèn)中學(xué)2022年度高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，假設(shè)正確的是（） A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度 B． 假設(shè)三內(nèi)角都大于60度 C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度 D． 假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度參考答案：B2.設(shè)是函數(shù)定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間，若存在，使，則稱(chēng)是的一個(gè)“開(kāi)心點(diǎn)”，也稱(chēng)在區(qū)間上存在開(kāi)心點(diǎn).若函數(shù)在區(qū)間上存在開(kāi)心點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）

參考答案：C3.設(shè)連續(xù)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，定積分的符號(hào)A、一定是正的

B、一定是負(fù)的C、當(dāng)時(shí)是正的，當(dāng)時(shí)是負(fù)的參考答案：C4.已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線左邊一支C．一條射線 D．雙曲線右邊一支參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的定義．【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合．【分析】由于動(dòng)點(diǎn)P滿足|PM|﹣|PN|=4|=|MN|，那么不符合雙曲線的定義（定義要求||PM|﹣|PN||＜|MN|），則利用幾何性質(zhì)易得答案．【解答】解：因?yàn)閨MN|=4，且|PM|﹣|PN|=4，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線定義．5.在三棱錐E-ABD中，已知，，三角形BDE是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐E-ABD的外接球的最小表面積為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用外接球的球心的性質(zhì)可確定出球心的位置，再根據(jù)半徑滿足的不等式組得到半徑的最小值，從而可得外接球的最小表面積.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以球心在過(guò)且垂直于平面的直線上.設(shè)該直線為，設(shè)的中心為，則平面，因平面，所以，在中，有，在中，有，故，當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)等號(hào)成立，所以三棱錐的外接球的最小表面積為.【點(diǎn)睛】三棱錐外接球的球心，可以通過(guò)如下方法來(lái)確定其位置：選擇三棱錐的兩個(gè)面，考慮過(guò)這兩個(gè)三角形的外心且垂直于各自所在平面的垂線，兩個(gè)垂線的交點(diǎn)就是外接球的球心，解題中注意利用這個(gè)性質(zhì)確定球心的位置.6.若雙曲線x2＋ky2＝1的離心率是2，則實(shí)數(shù)k的值是()A．－3

B．－

C．3

D.參考答案：B7.已知都是實(shí)數(shù),則“”是“”的（▲）條件

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要參考答案：D略8.設(shè)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為45°，若直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】直線l的方程為，聯(lián)立，得5x2﹣8+8=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式能求出|AB|．【解答】解：∵直線l經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為45°，∴直線l過(guò)點(diǎn)F（，0），斜率k=tan45°=1，∴直線l的方程為，聯(lián)立，得5x2﹣8+8=0，﹣160=32＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，∴|AB|==．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弦長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．9.已知，由不等式…….,可以推出結(jié)論：=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

(

)(A)

(B)

(C)3

(D)4參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～，且則等于（

）A.

B.

C.1

D.0

參考答案：B12.設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，已知點(diǎn)P在此雙曲線上，且．若此雙曲線的離心率等于，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于

．參考答案：2【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出雙曲線的方程，利用余弦定理、等面積求出P的縱坐標(biāo)，代入雙曲線方程，可得點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離．【解答】解：∵雙曲線的離心率等于，∴，∴a=2，c=．設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，則由余弦定理可得24=m2+n2﹣mn，∴24=（m﹣n）2+mn，∴mn=16．設(shè)P的縱坐標(biāo)為y，則由等面積可得，∴|y|=2，代入雙曲線方程，可得|x|=2，故答案為2．13.古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10……這樣的數(shù)稱(chēng)為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16……這樣的數(shù)稱(chēng)為“正方形數(shù)”.如圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的表達(dá)式是

①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；

④49=18+31；⑤64=28+36

參考答案：③,⑤略14.若，，則

參考答案：略15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)___________。參考答案：略16.已知且，則的最小值為_(kāi)_______________.參考答案：4略17.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本題滿分14分)已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；(3)在(2)的條件下，證明直線與軸相交于定點(diǎn)．

參考答案：解：⑴由題意知，所以，即，又因?yàn)?，所以，故橢圓的方程為：．………4分⑵由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為

①聯(lián)立消去得：，……..6分由得，……….7分又不合題意，所以直線的斜率的取值范圍是或．……….9分⑶設(shè)點(diǎn)，則，直線的方程為令，得，將代入整理，得．

②…………….12分由得①代入②整理，得，所以直線與軸相交于定點(diǎn)．……….14分19.最近，李師傅一家三口就如何將手中的10萬(wàn)元錢(qián)進(jìn)行投資理財(cái)，提出了三種方案：第一種方案：李師傅的兒子認(rèn)為：根據(jù)股市收益大的特點(diǎn)，應(yīng)該將10萬(wàn)元全部用來(lái)買(mǎi)股票。據(jù)分析預(yù)測(cè)：投資股市一年可能獲利40%，也可能虧損20%（只有這兩種可能），且獲利的概率為.第二種方案：李師傅認(rèn)為：現(xiàn)在股市風(fēng)險(xiǎn)大，基金風(fēng)險(xiǎn)小，應(yīng)該將10萬(wàn)元全部用來(lái)買(mǎi)基金.據(jù)分析預(yù)測(cè)：投資基金一年后可能獲利20%，可能虧損10%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為、、.第三種方案：李師傅的妻子認(rèn)為：投入股市、基金均有風(fēng)險(xiǎn)，應(yīng)該將10萬(wàn)元全部存入銀行一年，現(xiàn)在存款年利率為4%。針對(duì)以上三種投資方案，請(qǐng)你為李師傅家選擇一種合理的理財(cái)方案，并說(shuō)明理由.參考答案：解：若按方案一執(zhí)行，設(shè)收益為ξ萬(wàn)元，則其分配分布列為

…

2分

E（ξ）=4×+（-2）×=1

…

3分

若按方案二執(zhí)行，設(shè)收益為萬(wàn)元，則其分配分布列為 20-1P

…5分

E（）=2×+0×+（-1）×=1.

…

6分

若按方案三執(zhí)行，收益

y=10×4%=0.4（萬(wàn)元）.

…

8分

又E(ξ)=E()>y,

D(ξ)=9×+9×=9

D()=1×+1×+4×=.

由上知D(ξ)>D(),這說(shuō)明雖然方案一、方案二收益相等，但方案二更穩(wěn)妥，所以，建議李師傅家選擇方案二投資較為合理.

…12分20.（本題滿分12分）甲、乙兩家商場(chǎng)對(duì)同一種商品開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，兩家商場(chǎng)對(duì)購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：甲商場(chǎng)：顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示圓盤(pán)，當(dāng)指針指向陰影部分(圖中四個(gè)陰影部分均為扇形，且每個(gè)扇形圓心角均為20°，邊界忽略不計(jì))即為中獎(jiǎng)．乙商場(chǎng)：從裝有3個(gè)白球2個(gè)紅球1個(gè)黃球的盒子中一次性隨機(jī)地摸出2個(gè)球，如果摸到的是2個(gè)紅球，即為中獎(jiǎng)．問(wèn)：購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大？參考答案：設(shè)甲、乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的事件分別為，則

……4分

對(duì)乙商場(chǎng)：設(shè)三個(gè)白球分別為、黃球?yàn)?、二個(gè)紅球分別為，從盒中隨機(jī)地摸出個(gè)球的結(jié)果共種：………8分其中是2個(gè)紅球的結(jié)果共種，………………10分，即在購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客在甲商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大?！?2分21.已知等差數(shù)列{an}滿足．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：（1）（2）【分析】（1）根據(jù)基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，列方程組，解方程組可求得的值.并由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用（1）的結(jié)論求得的值，根據(jù)基本元的思想，，將其轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得的值，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解：（1）設(shè)的公差為，則由得,故的通項(xiàng)公式，即．（2）由（1）得．設(shè)的公比為，則，從而，故的前項(xiàng)和．【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本元的思想解有關(guān)等差數(shù)列和等比數(shù)列的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.22.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為