-勾股定理綜合性難題

勾股定理練習(xí)題1、如圖,已知：在ABC中，ACB90，分別以此直角三角形的三邊為直徑畫(huà)半圓，試說(shuō)明圖中暗影部分的面積與直角三角形的面積相等．2、直角三角形的面積為S,斜邊上的中線長(zhǎng)為d,則這個(gè)三角形周長(zhǎng)為(）(A）d2S2d(B)d2Sd（C)2d2S2d（D）2d2Sd3、如下列圖，在RtABC中，BAC90,ACAB,DAE45，且BD3,CE4，求DE的長(zhǎng)。4、如圖在Rt△ABC中，C90,AC4,BC3,在Rt△ABC的外面拼接一個(gè)適合的直角三角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形.如下列圖：要求：在兩個(gè)備用圖中分別畫(huà)出兩種與示例圖不同樣的拼接方法，在圖中注明拼接的直角三角形的三邊長(zhǎng)（請(qǐng)同學(xué)們先用鉛筆劃出草圖,確立后再用0.5mn的黑色簽字筆劃出正確的圖形）15．已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O為△ABC的三條角均分線的交點(diǎn)，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，點(diǎn)D、E、F分別是垂足，且BC=8cm，CA=6cm,則點(diǎn)O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于cmACEDAOBFBCP第5題圖．如圖，在△中，，為上任意一點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明：第6題圖×。6ABCAB=ACPBCAB2－AP2=PBPC7．在一棵樹(shù)的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù)20米處的池塘的A處；另一只爬到樹(shù)頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，若是兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹(shù)高多少米？8．長(zhǎng)為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60°角（如下列圖)，則梯子的頂端沿墻面高升了______m．9．已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，D為AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且DE⊥DF．求證：AE2＋BF2＝EF2．21CB10．已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為CB的四均分點(diǎn)且CE＝4，求證：AF⊥FE．11．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明你的原因．12．已知a、b、c是△ABC的三邊，且a2c2－b2c2＝a4－b4，試判斷三角形的形狀．13．如圖,長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm，高為6cm．若是用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面圍繞一圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要多長(zhǎng)?若是從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面圍繞n圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要多長(zhǎng)？14。三角形的三邊長(zhǎng)為(ab)2c22ab,則這個(gè)三角形是(）（A）等邊三角形（B）鈍角三角形（C）直角三角形（D）銳角三角形。.3勾股定理練習(xí)題答案1、如圖，已知:在ABC中ACB90中暗影部分的面積與直角三角形的面積相等．2、直角三角形的面積為S,斜邊上的中線長(zhǎng)為d,則這個(gè)三角形周長(zhǎng)為（）（A)d2S2d(B）d2Sd（C）2d2S2d（D）2d2SdS1ab由勾股定理，得a2b2c2.解:設(shè)兩直角邊分別為a,b,斜邊為c，則c2d,2。因此a2a22abb2c24d24S.b4S因此ab2d2S.因此abc2d2S2d.應(yīng)選（C）、如下列圖，在RtABC中,BAC90,ACAB,DAE45,且BD3,3CE4，求DE的長(zhǎng).解：如右圖：由于ABC為等腰直角三角形,因此ABDC45。因此把AEC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AFB，則AFBAEC.因此BFEC4,AFAE,ABFC45.連接DF。因此DBF為直角三角形。由勾股定理,得DF2BF2BD2423252。因此DF5.4由于DAE45,因此DAFDABEAC45。因此ADEADFSAS。因此DEDF5。、如圖在Rt△ABC中，C90,AC4,BC3，在Rt△ABC的外面拼接一個(gè)適合的直角4三角形,使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形。如下列圖：要求：在兩個(gè)備用圖中分別畫(huà)出兩種與示例圖不同樣的拼接方法,在圖中注明拼接的直角三角形的三邊長(zhǎng)（請(qǐng)同學(xué)們先用鉛筆劃出草圖，確立后再用0.5mn的黑色簽字筆劃出正確的圖形）解：要在Rt△ABC的外面接一個(gè)適合的直角三角形,使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形,重點(diǎn)是腰與底邊確實(shí)定.要求在圖中注明拼接的直角三角形的三邊長(zhǎng)，這需要用到勾股定理知識(shí).下列圖中的四種拼接方法供參照。105．已知：如圖，△ABC中，∠C=90°,點(diǎn)O為△ABC的三條角均分線的交點(diǎn),OD⊥BC，OEAC，OF⊥AB，點(diǎn)D、E、F分別是垂足，且BC=8cm，CA=6cm，則點(diǎn)O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于cmACEDAOBFBCP第5題圖．如圖在△中，上任意一點(diǎn)2－AP2第6題圖6ABCAB=AC,P為BC,請(qǐng)說(shuō)明：AB=PB×。,PC5作AD⊥BC交BC于D，AB2=BD2+AD2(1)AP2=PD2+AD2（2）(1）—（2）得：AB2-AP2=BD2-PD2，AB2-AP2=（BD+PD)（BD—PD），∵AB=AC，∴D是BC中點(diǎn),BD+PD=PC，BD—PD=PB，∴AB2—AP2=PB·PC7．在一棵樹(shù)的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù)20米處的池塘的A處;另一只爬到樹(shù)頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，若是兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹(shù)高多少米？8．長(zhǎng)為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60°角（如下列圖），則梯子的頂端沿墻面高升了______m．9．已知:如圖,△ABC中，∠C＝90°，D為AB的中點(diǎn),E、F分別在AC、BC上，且DE⊥DF．求證：AE2＋BF2＝EF2．證明：過(guò)點(diǎn)A作AM∥BC，交FD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接EM．∵AM∥BC，∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，∴△ADM≌△BDF．∴AM=BF,MD=DF．又∵DE⊥DF，∴EF=EM．∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．1CB10．已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為CB的四均分點(diǎn)且CE＝4，求證:AF⊥FE．6解：連接AE,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，計(jì)算得出AF，EF，AE的長(zhǎng),由AF2+EF2=AE2得AF⊥FE11．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明你的原因．解：原式變成（a-5)2+（b-12)2+(c—13）2=0因此a=5，b=12，c=13因此a2+b2=c2因此△ABC為直角三角形。12．已知a、b、c是△ABC的三邊，且a2c2－b2c2＝a4－b4，試判斷三角形的形狀．13．如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm，高為6cm．若是用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面圍繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要多長(zhǎng)?若是從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面圍繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要多長(zhǎng)？將長(zhǎng)方體睜開(kāi),連接A、B′，AA′=1+3+1+3