統(tǒng)編人教A版數(shù)學高中必修第一冊《3.1 函數(shù)的概念及其表示》優(yōu)秀教案教學設計

【新教材】3.1.1函數(shù)的概念（人教版）函數(shù)在高中數(shù)學中占有很重要的比重，因而作為函數(shù)的第一節(jié)內(nèi)容，主要從三個實例出發(fā)，引函數(shù)的概念從就函數(shù)概念的分析判斷函數(shù)，求定義域和函數(shù)值，再結合三要素判斷函數(shù)相.課目理解函數(shù)的定義、函數(shù)的定義域值域及對應法則。掌握判定函數(shù)和函數(shù)相等的方法。學會求函數(shù)的定義域與函數(shù)值。數(shù)學素數(shù)學抽象：通過教材中四個實例總結函數(shù)定義；邏輯推理：相等函數(shù)的判斷；數(shù)學運算：求函數(shù)定義域和求函數(shù)值；數(shù)據(jù)分析：運用分離常數(shù)法和換元法求值域；數(shù)學建模：通過從實際問題中抽象概括出函數(shù)概念的活動，培養(yǎng)學生從“特殊到一般”的分析題的能力，提高學生的抽象概括能力。重：數(shù)的概念，函數(shù)的三要素。難：數(shù)概念及符號y=f(x)的理解。教方：學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。教工：媒體。一、情景導初中已經(jīng)學過：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等，那么在初中函數(shù)是怎樣定的？高中又是怎樣定義？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀.研探二預課本引新閱讀課本60-65頁思考并完成下問題在集合的觀點下函數(shù)是如何定義？函數(shù)有哪三要素？如何用區(qū)間表示數(shù)集？相等函數(shù)是指什么樣的函數(shù)？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三新探究1．函數(shù)的概念(1)函數(shù)的定義：設A，是非的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于合A中任何一個屬x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和對應，那么就稱：→為集A集合的個函數(shù)，記作y=f(x)x.(2)函數(shù)的定義域與值域：函數(shù)y＝)中叫自變量取值范圍叫做函數(shù)的定義域x的值對的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集|}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子．2．區(qū)間概念a，b為數(shù)，且a＜b)定義{a≤x}{a＜x}{a≤x}{a＜x}

名稱閉區(qū)開區(qū)半開閉區(qū)間半開閉區(qū)間

符號[a，b(，b)[，)(，b

數(shù)軸示3．其它區(qū)間的表示R{xa}{xx＞a}{x≤a{x＜a定義()[，＋)

(＋∞)

(－，(－∞a符號四典分、一三題一

函的義例列選項橫軸表示x軸縱表示y軸),表是x函數(shù)的(【答案】解題技巧：（判斷是否為函數(shù)）（圖形判斷是x的數(shù)則函數(shù)圖象與垂直于x軸的直線至多有一個交點.若有兩個或兩個以上交,則不符合函數(shù)的定義所應圖象不是函數(shù)圖.（對應關系判斷對關系是“一對一”或“多對一”的是函數(shù)關系；“一對多”的不是函數(shù)關.跟訓一1.集合A={x|0≤x≤2},列不表示從A到B的函數(shù)的是)【答案】題二

相函例試斷以下各組函數(shù)是否表示同一函:(1)f(x)=(),g(x)=

;y=x與y=1(x≠0);y=2x+1(x∈Z)與∈Z).【答案】見解析【解析因函數(shù)f(x)=()2定義域為{x|x而2的定義域為{x|x∈R},它們的定義域不同,所以它們不表示同一函數(shù)(2)因為y=x要求x≠0,且當x≠0,=1,y=x與y=1(x的定義域和對應關系都相,所xxxxxxxx2它們表示同一函.(3)y=2x+1(x∈Z)與y=2x-1(x∈Z)個函數(shù)的定義域相但對應關系不相同故它們不表示同一函.解題技巧：判函數(shù)相等的方)定義域先則先看定義域，若定義域不同，則函數(shù)不相.若定義域相同，則化簡函數(shù)解析式，看對應關系是否相.跟訓二1.試判斷以下各組函數(shù)是否表示一函:①f(x)=,g(x)=x-1;x②f(x)=,g(x)=;xx③f(x)=(),g(x)=x+3;0f(x)=x+1,g(x)=x+x;汽車勻速運動時路程與時間的函數(shù)關系f(t)=80t(0≤5)一次函數(shù)g(x)=80x(0≤x≤5).其中表示相等函數(shù)的是填上所有正確的序號.【答案】⑤【解析】與g(x)的義域不,不是同一函;f(x)與g(x)的析式不同,不是同一函;f(x)=|x+3|,與g(x)的解析式,不是同一函;f(x)與g(x)的義域不同,不是同一函;f(x)與g(x)的義域、值域?qū)P系皆相是同一函數(shù)題三

區(qū)例知集合A={x|5-x集B={x||x|-3≠0},則A∩B區(qū)間可表示為.【答案】∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]【解析】∵A={x|5-x∴A={x|x∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴A∩B={x|x<-3或3<x<3或3<x≤5},即A∞,-3)∪(3,5].解題技巧：（如何用區(qū)間表示集）1.正確利用區(qū)間表示集,要特注意區(qū)間的端點值能否取即“小括號”和“中括號”的區(qū).0(x+2)2x-1x-,x0(x+2)2x-1x-,x1.1≤x2,且x≠0}-,](2)2.用區(qū)間表示兩集合的交集、并、補集運算應先求出相應集,再用區(qū)間表示跟訓三集合{或2≤11}用區(qū)表示為.若集合A=[2a-1,a+2],則實數(shù)a的值范圍用區(qū)間表示為.【答案】(1)(0,1)∪[2,11](2)(-∞,3)【解析】(2)由區(qū)間的定義知,區(qū)間a,b)([a,b])立的條件是a<b.∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3,∴實數(shù)a的值圍(∞,3).題四

求數(shù)定域例下列函數(shù)的定義域:(1)y=

|x-x

;(2)f(x)=

x1

-【答案】(1)

(-∞,-2)∪(-2,0)

(2)

(-∞,1)∪(1,4]x20,x-,【解析(1)要使函數(shù)有意,自量x的值必須滿足即解x<0,且x≠-2.||x≠0,||≠x故原函數(shù)的定義域為-∞,-2)∪(-2,0).-x0,x,(2)要使函數(shù)有意義,自變量x的值必須滿即故原函數(shù)的定義域為-∞,1)解題方法（求函數(shù)定義域的注意事項）如果函數(shù)f(x)是式那函數(shù)的定義域是實數(shù)集R;如果函數(shù)f(x)是式那函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)組成的集;如果函數(shù)f(x)是次根式那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)組成的集;如果函數(shù)f(x)是兩個或兩個上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構成,那么函數(shù)的定義域是各式子都有意義的自變量的取值集(即求各式子自變量取值集合的交)跟訓四1.求函數(shù)y=2x

1-x

x

的定義域2.已知函數(shù)f(x)的義域是求函數(shù)f(2x+1)定義域.【答案】(1)

{x|-

2的定義域為|-138的定義域為|-138,【解析(1)要使函數(shù)有意,需-,,解得-≤x<2,且x所以函數(shù)y=-

1

,且.(2)已知的義域是即1≤x≤4.故對于f(2x+1)應有-1≤2x+1≤4,∴-2≤2x≤3,≤x≤.∴函數(shù)f(2x+1)的義域是-,題五求數(shù)（）

].例(1)知f(x)＝1+x

(x∈R，且x≠－1)，g(x)＋2(x∈R)則f(2)＝________f(g(2))＝________.(2)求下列函數(shù)的值域：①y＋1；②y＝x－2x＋3，x；③y＝；④y－x.1+x1【答案】（1）

17

（2）①R②[2,6)③{y|y∈R且y≠3}④

，＋∞111【解析】(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝113又∵g(x)＝x＋2，∴g(2)＝2＋2，11∴f(g(2))(6)＝＝.17(2)①(觀察法)因為x∈R，所＋1，即函數(shù)值域是R.②(方法y＝x－2x＋3＝(x－1)＋2∈[0,3)結合函數(shù)的圖(如圖可得函數(shù)的值域為2,6)．3x3x＋3－44③(離常數(shù))y＝＝＝3－.x＋1xx＋1∵

4≠0，∴y≠3，x＋13x－1∴y＝的域為{y|y∈R且≠3}．x＋11④(元法設t＝x－1，則t≥0＝t＋1所以y＝2(t＋1)－t＝2

15＋，由t≥0，再結合函815數(shù)的圖象如圖)，可得函數(shù)的值域，

.解題方法（求函數(shù)值（域)的方）1.已知的達式時只用替換達式中的所有x得f(a)的.22求f(g(a))的應遵循由內(nèi)到外原.求函數(shù)值域常用的4種方觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到；配方法：當所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時，可利用配方法或二次函數(shù)圖求其值域；分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域；（4元即運用新元代換所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)而得原函數(shù)的值域?qū)Γ▁（中a，b，c為常數(shù)，且a0）的函數(shù)常用換元.跟訓五1.求下列函數(shù)的值域：(1)y＝＋1＝.2【答案(1)[1∞【解析】(1)因為2x＋1≥0，以2x＋1＋1≥1即所求函數(shù)的值域[，∞)．1