高中數學蘇教版2逆變換與逆矩陣

章末分層突破一、求逆矩陣求逆矩陣是逆變換與逆矩陣的重點內容，其方法有兩種：法一：用代數方法：即待定矩陣法和行列式法求解；法二：從幾何變換的角度求解.已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(45,－13))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－12,31))，求(AB)－1.【導學號：30650045】【解】法一∵AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(45,－13))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－12,31))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－1）×4＋5×32×4＋5×1,（－1）×（－1）＋3×3（－1）×2＋3×1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1113,101))，∴det(AB)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1113,101))＝11－130＝－119.∴(AB)－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,119)\f(13,119),\f(10,119)－\f(11,119))).法二∵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(45,－13))，∴det(A)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(45,－13))＝12＋5＝17，A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,17)－\f(5,17),\f(1,17)\f(4,17)))；又∵B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－12,31))，∴det(B)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－12,31))＝－1－6＝－7.∴B－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)\f(2,7),\f(3,7)\f(1,7))).∴(AB)－1＝B－1A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)\f(2,7),\f(3,7)\f(1,7)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,17)－\f(5,17),\f(1,17)\f(4,17)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)×\f(3,17)＋\f(2,7)×\f(1,17)－\f(1,7)×（－\f(5,17)）＋\f(2,7)×\f(4,17),\f(3,7)×\f(3,17)＋\f(1,7)×\f(1,17)\f(3,7)×（－\f(5,17)）＋\f(1,7)×\f(4,17)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,119)\f(13,119),\f(10,119)－\f(11,119))).二、二元一次方程組的解的情況的判定及求解方法1.二元一次方程組的解的情況的判定.常用兩種方法：法一：利用det(A)與0的大小情況判定.法二：從幾何變換的角度判定.2.二元一次方程組的求解常用兩種方法：(1)用行列式法求解記D＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))，Dx＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(mb,nd))，Dy＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(am,cn))，于是方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(Dx,D)，,y＝\f(Dy,D).))(2)用逆矩陣法求解寫出系數矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則det(A)＝ad－bc，若det(A)＝0，判定方程組解的情況；若det(A)≠0，方程組有惟一解，求出A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(d,det（A）)\f(－b,det（A）),\f(－c,det（A）)\f(a,det（A）)))，令eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α,β))＝A－1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(m,n))，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝α，,y＝β.))即為方程組的解.解二元一次方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7，,2x＋3y＝6.))【解】法一方程組可寫為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,23))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7,6)).因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(11,23))＝1×3－1×2＝1≠0，所以方程組有惟一解.利用矩陣求逆公式得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,23))eq\s\up12(－1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－1,－21)).所以原方程組的解為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－1,－21))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7,6))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3×7－1×6,－2×7＋1×6))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(15,－8))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝15，,y＝－8.))法二記D＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(11,23))＝1×3－1×2＝1≠0，Dx＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(71,63))＝7×3－6×1＝15，Dy＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(17,26))＝1×6－2×7＝－8.∴方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝15，,y＝－8.))三、函數方程思想本章中求矩陣的逆矩陣及解二元一次方程體現(xiàn)了函數方程思想的廣泛應用.已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,11))，求A－1.【解】法一設A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xy,zw))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,11))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xy,zw))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－zy－w,x＋zy＋w))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－z＝1，,y－w＝0，,x＋z＝0，,y＋w＝1.))解得x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝－eq\f(1,2)，w＝eq\f(1,2)，故A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(1,2),－\f(1,2)\f(1,2))).法二矩陣A表示的變換為線性變換，且eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))→eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))滿足條件eq\b\lc\{(\a\v