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浙江省嘉興市油車港鎮(zhèn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖所示,過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B,交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C,若|BC|=2|BF|,|AF|=3,則此拋物線的方程為(
)A.y2=3x
B.y2=x
C.y2=x
D.y2=9x參考答案:A略2.已知正四面體A-BCD的內(nèi)切球的表面積為36π,過(guò)該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體A-BCD,則所得截面的面積為(
)A.27 B.27 C.54 D.54參考答案:C【分析】先由內(nèi)切球表面積求出其半徑,結(jié)合圖像,找出球心半徑,用相似三角形列方程求出正四面體邊長(zhǎng),再求出所需截面即可.【詳解】解:由內(nèi)切球的表面積,得內(nèi)切球半徑如圖,過(guò)點(diǎn)作平面,則點(diǎn)為等邊的中心連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),且點(diǎn)為中點(diǎn),連接記內(nèi)切球球心為O,過(guò)O作,設(shè)正四面體邊長(zhǎng)為則,,,又因?yàn)?,所以由,得,即,解得因?yàn)檫^(guò)棱和球心O,所以即為所求截面且故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的內(nèi)切球,找到球心求出半徑是解題關(guān)鍵.3.已知向量=(2,﹣1),=(1,7),則下列結(jié)論正確的是()A.⊥ B.∥ C.⊥(+) D.⊥(﹣)參考答案:C【考點(diǎn)】9J:平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.【分析】求出+,然后通過(guò)向量的數(shù)量積求解即可.【解答】解:向量=(2,﹣1),=(1,7),+=(3,6).?(+)=6﹣6=0.⊥(+)=0.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的共線與垂直,考查計(jì)算能力.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為21,則判斷框中應(yīng)填()A.i<5 B.i<6 C.i<7 D.i<8參考答案:C【考點(diǎn)】程序框圖.【專題】算法和程序框圖.【分析】根據(jù)題意,模擬程序框圖的執(zhí)行過(guò)程,計(jì)算輸出結(jié)果即可.【解答】解:模擬程序框圖執(zhí)行過(guò)程,如下;開始,i=1,s=0,不輸出,進(jìn)入循環(huán),1是奇數(shù)?是,s=0﹣12=﹣1,i=1+1=2,不輸出,進(jìn)入循環(huán),2是奇數(shù)?否,s=﹣1+22=3,i=2+1=3,不輸出,進(jìn)入循環(huán),3是奇數(shù)?是,s=3﹣32=﹣6,i=3+1=4,不輸出,進(jìn)入循環(huán),4是奇數(shù)?否s=﹣6+42=10,i=4+1=5,不輸出,進(jìn)入循環(huán),5是奇數(shù)?是,s=10﹣52=﹣15,i=5+1=6,不輸出,進(jìn)入循環(huán),6是奇數(shù)?否,s=﹣15+62=21,i=6+1=7,退出循環(huán),輸出21,∴判斷框中的條件是:i<7?故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的執(zhí)行結(jié)果的問(wèn)題,解題時(shí)應(yīng)模擬程序的執(zhí)行過(guò)程,是基礎(chǔ)題.5.的定義域?yàn)?
)A. B. C. D.參考答案:C【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】由f(x)中被開方數(shù)大于或等于0以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得f(x)的定義域.【解答】解:∵f(x)=,被開方數(shù)大于0,∴l(xiāng)og0.5(4x﹣1)≥0,又指數(shù)函數(shù)y=log0.54x﹣1是減函數(shù),∴0<4x﹣1≤1,解得<x≤,∴f(x)的定義域?yàn)椋ǎ琞;故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)的定義域問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.6.下列函數(shù)中,在上有零點(diǎn)的函數(shù)是(
▲
)A.
B.
C.
D.參考答案:D7..已知,i為虛數(shù)單位,若,則(
)A.
B.
C.3
D.參考答案:D,則8.復(fù)數(shù)
A.
B.
C.
D.參考答案:C略9.設(shè)函數(shù)滿足,,則時(shí)(
)
(A)有極大值,無(wú)極小值
(B)有極小值,無(wú)極大值
(C)既有極大值又有極小值
(D)既無(wú)極大值也無(wú)極小值參考答案:D10.(5分)(2015?陜西校級(jí)二模)已知=(cos40°,sin40°),=(cos80°,﹣sin80°),則?=()A.1B.C.﹣D.參考答案:C【考點(diǎn)】:兩角和與差的正弦函數(shù);平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【專題】:三角函數(shù)的求值.【分析】:由平面向量的數(shù)量積公式,可得?=cos40°?cos80°﹣sin40°?sin80°,再由兩角和的余弦公式,可得答案.解:∵=(cos40°,sin40°),=(cos80°,﹣sin80°),∴?=cos40°?cos80°﹣sin40°?sin80°=cos(40°+80°)=cos120°=﹣,故選:C【點(diǎn)評(píng)】:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩角和與差的余弦公式,平面向量的數(shù)量積公式,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列的前項(xiàng)組成集合,從集合中任取個(gè)數(shù),其所有可能的個(gè)數(shù)的乘積的和為(若只取一個(gè)數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),記.例如當(dāng)時(shí),,,;當(dāng)時(shí),,,,.則當(dāng)時(shí),
;試寫出
.參考答案:63;12.若兩個(gè)非零向量滿足,則向量與的夾角是
參考答案:13.已知雙曲線﹣=1(a>0)的一條漸近線方程為y=2x,則a=
.參考答案:3【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】根據(jù)題意,由雙曲線的方程可得其漸近線方程為y=±x,結(jié)合題意可得=2,解可得a的值,即可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,雙曲線的方程為:﹣=1(a>0),則其漸近線方程為:y=±x,若其一條漸近線方程為y=2x,則有=2,解可得a=3;故答案為:3.14.已知函數(shù),且關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
;參考答案:15.閱讀右邊的框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出的值為________.
參考答案:-4.16.有下列各式:,
……則按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為:_________________________.參考答案:17.以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心,且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程為_______________.參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.如圖,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l經(jīng)過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F.(Ⅰ)若點(diǎn)O到直線l的距離為,求直線l的方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A是直線l與拋物線C在第一象限的交點(diǎn).點(diǎn)B是以點(diǎn)F為圓心,|FA|為半徑的圓與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn).試判斷直線AB與拋物線C的位置關(guān)系,并給出證明.參考答案:考點(diǎn):直線與圓錐曲線的關(guān)系;拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.專題:綜合題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析:法一:(Ⅰ)拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),即x=1不符合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為:y=k(x﹣1),所以,由此能求出直線l的方程.(Ⅱ)直線AB與拋物線相切.設(shè)A(x0,y0),則.因?yàn)閨BF|=|AF|=x0+1,所以B(﹣x0,0),由此能夠證明直線AB與拋物線相切.法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)直線AB與拋物線相切,設(shè)A(x0,y0),則.設(shè)圓的方程為:由此能夠證明直線AB與拋物線相切.解答: 解法一:(Ⅰ)拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),…當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),即x=1不符合題意.…當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為:y=k(x﹣1),即kx﹣y﹣k=0.…所以,,解得:.…故直線l的方程為:,即.…(Ⅱ)直線AB與拋物線相切,證明如下:…(法一):設(shè)A(x0,y0),則.…因?yàn)閨BF|=|AF|=x0+1,所以B(﹣x0,0).…所以直線AB的方程為:,整理得:…(1)把方程(1)代入y2=4x得:,…,所以直線AB與拋物線相切.…解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)直線AB與拋物線相切,證明如下:…設(shè)A(x0,y0),則.…設(shè)圓的方程為:,…當(dāng)y=0時(shí),得x=1±(x0+1),因?yàn)辄c(diǎn)B在x軸負(fù)半軸,所以B(﹣x0,0).…所以直線AB的方程為,整理得:…(1)把方程(1)代入y2=4x得:,…,所以直線AB與拋物線相切.…點(diǎn)評(píng):本小題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等.19.已知函數(shù)(I)當(dāng)時(shí),求的解集;(II)若不等式的解集包含,求a的取值范圍.參考答案:(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),不等式即f(x)=|x﹣1|≥|x+1|+1,即|x﹣1|﹣|x+1|≥1.由于|x﹣1|﹣|x+1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到﹣1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離,由﹣0.5到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到﹣1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離正好等于1,故不等式的解集為
…………5分(Ⅱ)不等式f(x)+3x≤0,即|x﹣a|+3x≤0,即|x﹣a|≤﹣3x(x≤0),即3x≤x﹣a≤﹣3x,求得x≤﹣,且x≤.當(dāng)a≥0時(shí),可得它的解集為{x|x≤﹣};再根據(jù)它的解集包含{x|x≤﹣1},可得﹣≥﹣1,求得a≤2,故有0≤a≤2.當(dāng)a<0時(shí),可得它的解集為{x|x≤};再根據(jù)它的解集包含{x|x≤﹣1},可得≥﹣1,求得a≥﹣4,故有﹣4≤a<0.綜上可得,要求的a的取值范圍為[0,2]∪[﹣4,0)=[﹣4,2].
…………10分法二:不等式f(x)+3x≤0,即|x﹣a|+3x≤0,即|x﹣a|≤﹣3x(x≤0),即3x≤x﹣a≤﹣3x即在上恒成立所以有即…………10分20.(本小題滿分12分)為了解高中生環(huán)保意識(shí),某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生,進(jìn)行一次環(huán)保知識(shí)測(cè)試,按考試成績(jī)分組如下:第一組[65,70),第二組[70,75),第三組[75,80),第四組[80,85),第五組[85,90)(假設(shè)考試成績(jī)均在[65,90)內(nèi)),得到頻率分布直方圖如圖:
(I)求第四組頻率;
(Ⅱ)從第三、四、五組同學(xué)中用分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)為環(huán)保志愿者在校內(nèi)進(jìn)行環(huán)保宣傳,并在這6名環(huán)保志愿者中隨機(jī)選取2名評(píng)為環(huán)保標(biāo)兵,求第四組至少有一名被評(píng)為環(huán)保標(biāo)兵的概率.參考答案:21.變換是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換,對(duì)應(yīng)的變換矩陣是;變換對(duì)應(yīng)用的變換矩陣是。(1)求點(diǎn)在作用下的點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求函數(shù)的圖象依次在,變換的作用下所得曲線的方程.參考答案:(1),所以點(diǎn)在作
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