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湖南省岳陽市市中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足的x的取值范圍是A.[-2,2]
B.[-1,1]
C.[0,4]
D.[1,3]參考答案:D2.已知,動(dòng)點(diǎn)滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于A.
B.
C.
D.
參考答案:B略3.已知向量=(cosa,sina),=(cosb,sinb),若|-|=,則和的夾角為(
)A.60°
B.90°
C.120°
D.150°參考答案:B4.已知點(diǎn)A是拋物線x2=4y的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),P在拋物線上且滿足|PA|=m|PF|,當(dāng)m取最大值時(shí)|PA|的值為()A.1 B. C. D.2參考答案:D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】過P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為N,則由拋物線的定義,結(jié)合|PA|=m|PF|,設(shè)PA的傾斜角為α,則當(dāng)m取得最大值時(shí),sinα最小,此時(shí)直線PA與拋物線相切,求出P的坐標(biāo),即可求得|PA|的值.【解答】解:拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y,則拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=﹣1,過P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為N,則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|,∵|PA|=m|PF|,∴|PA|=m|PN|,設(shè)PA的傾斜角為α,則sinα=,當(dāng)m取得最大值時(shí),sinα最小,此時(shí)直線PA與拋物線相切,設(shè)直線PA的方程為y=kx﹣1,代入x2=4y,可得x2=4(kx﹣1),即x2﹣4kx+4=0,∴△=16k2﹣16=0,∴k=±1,∴P(2,1),∴|PA|==2.故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì),考查拋物線的定義,考查學(xué)生分析解決問題的能力,解答此題的關(guān)鍵是明確當(dāng)m取得最大值時(shí),sinα最小,此時(shí)直線PA與拋物線相切,屬中檔題.5.設(shè),則=
(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D6.執(zhí)行下圖的程序框圖,若輸入的分別為1,2,3,則輸出的=.
.
.
.參考答案:D輸入;時(shí):;時(shí):;時(shí):;時(shí):輸出.
選D.7.曲線在點(diǎn)(2,8)處的切線方程為
A.B.C.D.參考答案:B8.2019年5月22日具有“國(guó)家戰(zhàn)略”意義的“長(zhǎng)三角一體化”會(huì)議在蕪湖舉行;長(zhǎng)三角城市群包括:上海市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市,簡(jiǎn)稱“三省一市”.現(xiàn)有4名高三學(xué)生準(zhǔn)備高考后到上海市、江蘇省、浙江省、安徽省四個(gè)地方旅游,假設(shè)每名同學(xué)均從這四個(gè)地方中任意選取一個(gè)去旅游,則恰有一個(gè)地方未被選中的概率為A. B. C. D.參考答案:B9.圖1是某高三學(xué)生進(jìn)入高中三年的數(shù)學(xué)考試成績(jī)的莖葉圖,圖中第1次到14次的考試成績(jī)依次記為圖2是統(tǒng)計(jì)莖葉圖中成績(jī)?cè)谝欢ǚ秶鷥?nèi)考試次數(shù)的一個(gè)算法流程圖.那么算法流程圖輸出的結(jié)果是(
)A.
B.
C.
D. 參考答案:D略10.(5分)把函數(shù)y=sin3x的圖象適當(dāng)變化就可以得y=(sin3x﹣cos3x)的圖象,這個(gè)變化可以是()A.沿x軸方向向右平移B.沿x軸方向向右平移C.沿x軸方向向左平移D.沿x軸方向向左平移參考答案:B【考點(diǎn)】:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.【專題】:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】:由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,可得結(jié)論.解:y=(sin3x﹣cos3x)=sin(3x﹣)=sin3(x﹣),故把函數(shù)y=sin3x的圖象沿x軸方向向右平移個(gè)單位,即可得到y(tǒng)=(sin3x﹣cos3x)的圖象,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】:本題主要考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線x+y+1=0的傾斜角是
.參考答案:12.若集合A={x|lgx<1},B={y|y=sinx,x∈R},則A∩B=.參考答案:(0,1]分析: 由對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)求出集合A、B,再由交集的運(yùn)算求出A∩B.解答: 解:由lgx<1=lg10得,0<x<10,則集合A={x|0<x<10}=(0,10),由﹣1≤sinx≤1得,集合B={y|﹣1≤y≤1}=[﹣1,1],所以A∩B=(0,1],故答案為:(0,1].點(diǎn)評(píng): 本題考查了交集及其運(yùn)算,以及對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.13.給出下列四個(gè)命題,其中不正確命題的序號(hào)是
。①若;②函數(shù)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱;③函數(shù)為偶函數(shù),④函數(shù)是周期函數(shù),且周期為2。參考答案:答案:1,2,414.函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義,若對(duì)任意x1,x2∈[a,b],有f()≤[f(x1)+f(x2)],則稱f(x)在[a,b]上具有性質(zhì)P.設(shè)f(x)在[1,2015]上具有性質(zhì)P.現(xiàn)給出如下命題:①f(x)在[1,2015]上不可能為一次函數(shù);②若f+f≥2016;③對(duì)任意x1,x2,x3,x4∈[1,2015],有f()≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)];④函數(shù)f(x)在[1,]上具有性質(zhì)P.其中真命題的序號(hào)是
.參考答案:②③④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.【分析】若f(x)在[a,b]上具有性質(zhì)P,則函數(shù)(x)在[a,b]上不是凸函數(shù),進(jìn)而分析四個(gè)結(jié)論的真假,可得答案.【解答】解:若f(x)在[a,b]上具有性質(zhì)P,則函數(shù)(x)在[a,b]上不是凸函數(shù),故:①f(x)在[1,2015]上不可能為一次函數(shù),錯(cuò)誤;②若f+f]≥f+f≥2016,正確;③對(duì)任意x1,x2,x3,x4∈[1,2015],有f()≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],正確;④[1,]?[1,2015],故函數(shù)f(x)在[1,]上一定具有性質(zhì)P.故真命題的序號(hào)為:②③④,故答案為:②③④15.若曲線f(x)=3x+ax3在點(diǎn)(1,a+3)處的切線與直線y=6x平行,則a=.參考答案:1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】求出f(x)的導(dǎo)數(shù),求出切線的斜率,由兩直線平行的條件:斜率相等,解方程可得a=1.【解答】解:f(x)=3x+ax3的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3+3ax2,即有在點(diǎn)(1,a+3)處的切線斜率為k=3+3a,由切線與直線y=6x平行,可得3+3a=6,解得a=1.故答案為:1.16.已知滿足約束條件,那么的最大值為
.參考答案:試題分析:畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖,結(jié)合圖形可以看出當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過交點(diǎn)時(shí),動(dòng)直線在軸上的截距最小,此時(shí)的值最大,即,故應(yīng)填.考點(diǎn):線性規(guī)劃等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)及綜合運(yùn)用.解答時(shí)先依據(jù)題設(shè)條件畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖,借助題設(shè)條件搞清楚的幾何意義是動(dòng)直線在軸上的截距,然后數(shù)形結(jié)合,平行移動(dòng)動(dòng)直線,通過觀察可以看出當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過時(shí),動(dòng)直線在軸上的截距最小,此時(shí)的值最大,最大值為.17.若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是底面半徑的倍,則該圓錐的側(cè)面積是底面積的
倍.參考答案:3三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本題滿分10分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)若的最小值為3,求值;(Ⅱ)求不等式的解集.參考答案:⑴因?yàn)橐驗(yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故為所求.……4分⑵不等式即不等式,①當(dāng)時(shí),原不等式可化為即所以,當(dāng)時(shí),原不等式成立.②當(dāng)時(shí),原不等式可化為即所以,當(dāng)時(shí),原不等式成立.③當(dāng)時(shí),原不等式可化為即由于時(shí)所以,當(dāng)時(shí),原不等式成立.綜合①②③可知:不等式的解集為……10分19.已知F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),O為拋物線的頂點(diǎn),準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M,點(diǎn)N在拋物線上.(1)求直線MN的斜率的取值范圍,記λ=,求λ的取值范圍;(2)過點(diǎn)N的拋物線的切線交x軸于點(diǎn)P,則xN+xP是否為定值?(3)在給定的拋物線上過已知定點(diǎn)P,給出用圓規(guī)與直尺作過點(diǎn)P的切線的作法.參考答案:【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】(1)直線,聯(lián)立y2=2px,利用判別式求直線MN的斜率的取值范圍,記λ=,并求λ的取值范圍;(2)設(shè)切線方程為y﹣yN=k(x﹣xN),聯(lián)立y2=2px,利用判別式可得xP=﹣xN,即可確定xN+xP=0;(3)過P做x軸垂線,交x軸于點(diǎn)Q,在x軸負(fù)半軸上截取ON=OQ,連接NP即可.【解答】解:(1)直線,聯(lián)立y2=2px得,△≥0,解得,∴.(2)設(shè)切線方程為y﹣yN=k(x﹣xN),聯(lián)立y2=2px得,,∴2k2xN+p=2kyN,即,∴kyN=p,,即xN+xP=0.(3)過P做x軸垂線,交x軸于點(diǎn)Q,在x軸負(fù)半軸上截取ON=OQ,連接NP,即為切線.20.已知函數(shù)的最小值等于3.(1)求m的值;(2)若正數(shù)a、b、c滿足,求的最大值.參考答案:(1);(2)3.【分析】(1)分、、三種情況討論,分析函數(shù)的單調(diào)性,可得出函數(shù)的最小值,進(jìn)而可求得的值;(2)利用柯西不等式得出,由此可得出的最大值.【詳解】(1).當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,則;當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,則;當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則綜上所述,,解得;(2)由(1)可得,且、、均為正數(shù),由柯西不等式得,即,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因此,的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值函數(shù)最值的求解,同時(shí)也考查了利用柯西不等式求三元代數(shù)式的最值,考查分類討論思想以及計(jì)算能力,屬于中等題.21.已知函數(shù).(1)若,求的最小值;(2)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;(3)若,求證:.參考答案:(1);(2);(3)詳見解析.【分析】(1)先求出,再用求導(dǎo)的方法求出單調(diào)區(qū)間,極值,從而求出最值;(2)問題轉(zhuǎn)化為在恒成立,方法有二:解法一:對(duì)分類討論,求出;解法二:分離出參數(shù),構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的最值關(guān)系;(3)應(yīng)用二次求導(dǎo),先確定,要證,轉(zhuǎn)為證,利用函數(shù)的單調(diào)性證轉(zhuǎn)為證的大小關(guān)系,構(gòu)造函數(shù),通過研究函數(shù)的最值,從而得到結(jié)論.【詳解】解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,?/p>
若,記,則
的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.
的最小值為
(2)在上單調(diào)遞增,當(dāng)且僅當(dāng)在區(qū)間恒成立,即在區(qū)間恒成立,
(I)
若,由(1)知在定義域上單調(diào)遞增,滿足條件
(II)若,令,所以取有,不合題意綜上所述,若在上單調(diào)遞增,則的取值范圍是
(2)法二:記,則記,則在上單調(diào)遞減(根據(jù)洛比塔法則)
.
(3)
若,,∴在上單減,當(dāng)時(shí),在(0,1)上單增;當(dāng)時(shí),在(1,+)上單減;令,則其中令當(dāng)時(shí),在單減,在(0,1)上單增,又在上單調(diào)遞減【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的最值,考查分類討論數(shù)學(xué)思想,合理構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵,屬于難題.22.(12分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足(a﹣b)(sinA﹣sinB)=csinC﹣asinB.(1)求角C的大小;(2)若c=,a>b,且△ABC的面積為,求的值.參考答案:考點(diǎn): 正弦定理;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.專題: 解三角形.分析: (1)△ABC中,由條件利用正弦定理求得a2+b2﹣c2=ab.再利
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