2021-2022學(xué)年吉林省長春市農(nóng)安縣伏龍泉鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年吉林省長春市農(nóng)安縣伏龍泉鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)圖象一定過點

(

)

A（1,1）

B（1,3）

C（2,0）

D（4,0）參考答案：B略2.已知以下三視圖中有三個同時表示某一個三棱錐，則不是該三棱錐的三視圖是A.

B．

C．

D．參考答案：D略3.過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于兩點,它們到直線的距離之和等于5,則這樣的直線

A．有且僅有一條

B．有且僅有兩條

C．有無窮多條

D．不存在參考答案：B略4.設(shè)為平面，為直線，則的一個充分不必要條件為（

）A.

B.C.

D.

參考答案：D略5.若定義在R上的二次函數(shù)在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．或參考答案：A6.已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列滿足:,,則使其前n項和成立的最大自然數(shù)n是（）.

A.4017

B.4014

C.4016

D.4018參考答案：答案：C7.已知角為第二象限角，且，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是減函數(shù)的是(

)A.

B．

C．D．

參考答案：C9.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（A）12π

（B）

（C）8π

（D）4π參考答案：A因為正方體的體積為8，所以正方體的體對角線長為，所以正方體的外接球的半徑為，所以球面的表面積為，故選A.10.設(shè)全集是實數(shù)集R,，則等于

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)，函數(shù)有最大值，則不等式的解集為

參考答案：（2，3）12.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截正方體所得的截面為S，當時，S的面積為

．參考答案：當CQ=1時，Q與C1重合，取A1D1的中點F，連接AF，可證PC1∥AF，且PC1=AF，

可知截面為APC1F為菱形，故其面積為.

13.在四邊形ABCD中，，，△ACD為等邊三角形，則△ABC的外接圓與△ACD的內(nèi)切圓的公共弦長=___________.參考答案：1解析法：以為軸，的中點為坐標原點建立坐標系，利用解析法即可得。作圖法：可以看出的公共弦即的中位線。14.已知冪函數(shù)過點（2，），則此函數(shù)f(x)＝________.參考答案：略15.某班共46人，從A，B，C，D，E五位候選人中選班長，全班每人只投一票，且每票只選一人．投票結(jié)束后（沒人棄權(quán)）：若A得25票，B得票數(shù)占第二位，C、D得票同樣多，得票最少的E只得4票，那么B得票的票數(shù)為

．參考答案：7【考點】F4：進行簡單的合情推理．【分析】根據(jù)條件先計算B，C，D三者得票總和，然后分別進行討論即可．【解答】解：∵A得25票，E只得4票，∴B，C，D共得46﹣25﹣4=17（票），∵C、D得票同樣多，要大于4票，∴若C，D是5票，則B是7票，若C，D是6票，則B是5票，不滿足條件．，若C，D是7票，則B是3票，不滿足條件．若C，D是8票，則B是1票，不滿足條件．故滿足條件的B是7票．故答案為：716.．空間直角坐標系中，已知點，點關(guān)于平面的對稱點為，則=

；參考答案：6易知點關(guān)于平面的對稱點為（1,2，-3），所以?！敬鸢浮俊窘馕觥柯?7.數(shù)列{an}中，已知對任意n∈N*，a1+a2+a3+…+an=3n﹣1，則=．參考答案：【考點】數(shù)列的求和．【分析】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則，當n≥2時，．即可得出an=Sn﹣Sn﹣1．進而得到，再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．【解答】解：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則，當n≥2時，．∴an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣1﹣（3n﹣1﹣1）=2×3n﹣1，當n=1時也成立．∴=（2×3n﹣1）2=4×9n﹣1．∴=4（90+91+…+9n﹣1）==．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知梯形中，∥，，

，、分別是、上的點，∥，，是的中點.沿將梯形翻折，使平面⊥平面(如圖).(Ⅰ)當時，求證：⊥；(Ⅱ)若以、、、為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；(Ⅲ)當取得最大值時，求二面角的余弦值.參考答案：（Ⅰ）作于，連，由平面平面知

平面而平面，故又四邊形為正方形

∴

又，故平面而平面

∴.

（Ⅱ）∵，面面

∴面又由（Ⅰ）平面

∴

所以＝

即時有最大值為．（Ⅲ）設(shè)平面的法向量為∵

,，，

∴

則

即取

則

∴

面的一個法向量為則<>由于所求二面角的平面角為鈍角所以，此二面角的余弦值為－.

19.（本小題滿分14分）已知圓的切線與橢圓相交于，兩點．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求面積的最大值.參考答案：見解析考點：圓錐曲線綜合橢圓解：（Ⅰ）由題意可知，，所以．所以．所以橢圓的離心率為．

（Ⅱ）若切線的斜率不存在，則．

在中令得．不妨設(shè)，則．所以．

同理，當時，也有．

若切線的斜率存在，設(shè)，依題意，即．由，得．顯然．設(shè)，,則，．所以.所以

．

所以．綜上所述，總有成立．（Ⅲ）因為直線與圓相切，則圓半徑即為的高，

當?shù)男甭什淮嬖跁r，由（Ⅱ）可知．則.當?shù)男甭蚀嬖跁r，由（Ⅱ）可知，．所以（當且僅當時，等號成立）．所以．此時,.綜上所述，當且僅當時，面積的最大值為．20.（本題滿分12分）為了某項大型活動能夠安全進行，警方從武警訓(xùn)練基地挑選防爆警察，從體能、射擊、反應(yīng)三項指標進行檢測，如果這三項中至少有兩項通過即可入選。假定某基地有4名武警戰(zhàn)士（分別記為、、、）擬參加挑選，且每人能通過體能、射擊、反應(yīng)的概率分別為.這三項測試能否通過相互之間沒有影響.（Ⅰ）求能夠入選的概率； （II）規(guī)定：按入選人數(shù)得訓(xùn)練經(jīng)費（每入選1人，則相應(yīng)的訓(xùn)練基地得到3000元的訓(xùn)練經(jīng)費），求該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考答案：（I）設(shè)通過體能、射擊、反應(yīng)分別記為事件M、N、P則能夠入選包含以下幾個互斥事件：

（4分）（Ⅱ）記表示該訓(xùn)練基地得到的訓(xùn)練經(jīng)費,則的取值為0、3000、6000、9000、12000.

030006000900012000P的分布列為（元）

（12分）21.（本小題滿分12分）設(shè),函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若無零點,求實數(shù)的取值范圍；(3)若有兩個相異零點,求證:參考答案：在區(qū)間（0，+∞）上，f′(x)＝．

（1）當a=2時，f′（1）=1-2=-1，則切線方程為y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0

（2）①若a＜0，則f′（x）＞0，f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)，

∵f（1）=-a＞0，f（）=a-a=a（1-）＜0，

∴f（1）?f（）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）有唯一零點．

②若a=0，f（x）=lnx有唯一零點x=1．③若a＞0，令f′（x）=0得：x＝.在區(qū)間（0，）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；

在區(qū)間（，+∞）上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)；

故在區(qū)間（0，+∞）上，f（x）的極大值為f（）=?lna?1．

由于f（x）無零點，須使f（）=?lna?10．解得：a＞故所求實數(shù)a的取值范圍是（）

（3）設(shè)＞＞0，∵f（）=0，f（）=0，∴l(xiāng)n-a=0，ln-a=0，

∴l(xiāng)n-ln=a（-），ln+ln=a（+）

原不等式?＞等價于ln+ln＞2?a（+）＞2??ln＞令＝t，則t＞1，于是ln＞?lnt＞．

設(shè)函數(shù)g(t)＝lnt?，