高中數(shù)學北師大版1第二章圓錐曲線與方程 第2章7

第二章§2第二課時一、選擇題(每小題5分，共20分)1．設P為雙曲線x2－eq\f(y2,12)＝1上的一點，F(xiàn)1、F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，則△PF1F2的面積為()A．6eq\r(3) B．12C．12eq\r(3) D．24解析：由已知得2a|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝2eq\r(13).由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(62＋42－52,2×6×4)＝0.∴三角形為直角三角形．∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)×6×4＝12.答案：B2．中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線的實軸與虛軸相等，一個焦點到一條漸近線的距離為eq\r(2)，則雙曲線方程為()A．x2－y2＝1B．x2－y2＝2或x2－y2＝－2C．x2－y2＝eq\r(2)D．x2－y2＝eq\f(1,2)或x2－y2＝－eq\f(1,2)解析：由題意，設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1(a＞0)，則c＝eq\r(2)a，漸近線為y＝x，∴eq\f(|\r(2)a|,\r(2))＝eq\r(2)，∴a2＝2.∴雙曲線方程為x2－y2＝2.若焦點在y軸上，雙曲線方程為x2－y2＝－2.答案：B3．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩漸近線含實軸的夾角為θ，離心率e∈[eq\r(2)，2]，則θ的取值范圍是()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))解析：由e2＝eq\f(c2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)∈[2,4]，可得1≤eq\f(b,a)≤eq\r(3)，故兩漸近線含實軸的夾角范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))).答案：C4．過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右頂點A作斜率為－1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，則雙曲線的離心率是()\r(2) B．eq\r(3)\r(5) D．eq\r(10)解析：對于A(a,0)，則直線方程為x＋y－a＝0，直線與兩漸近線的交點為B、C，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a＋b)，\f(ab,a＋b)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a－b)，－\f(ab,a－b)))，則有eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a2b,a2－b2)，－\f(2a2b,a2－b2)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(ab,a＋b)，\f(ab,a＋b)))，∵2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴4a2＝b2，∴e＝eq\r(5).答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．設F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則|PF1|·|PF2|＝________.解析：∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→)).又||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝20－2|PF1|·|PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2.答案：26．已知雙曲線C：x2－y2＝1，F(xiàn)是其右焦點，過F的直線l與雙曲線有唯一的交點，則直線l的斜率等于________．解析：要使過右焦點F的直線l與雙曲線有唯一的交點，則直線l應平行于雙曲線的漸近線，又雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，故直線l的斜率為±1.答案：±1三、解答題(每小題10分，共20分)7．已知雙曲線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1共焦點，它們的離心率之和為eq\f(14,5)，求雙曲線方程．解析：由于橢圓焦點為F(0，±4)，離心率為e＝eq\f(4,5)，所以雙曲線的焦點為F(0，±4)，離心率為2，從而c＝4，a＝2，b＝2eq\r(3)，所以所求雙曲線方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,12)＝1.8．已知雙曲線中心在原點，以坐標軸為對稱軸，并且與圓x2＋y2＝17相交于A(4，－1)，若圓在點A的切線與雙曲線的漸近線平行，求雙曲線的方程．解析：∵圓x2＋y2＝17在點(4，－1)處的切線方程為4x－y＝17，∴雙曲線的漸近線為y＝4x，(1)當雙曲線的焦點在x軸上時，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝4,\f(16,a2)－\f(1,b2)＝1))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(255,16),b2＝255))，∴雙曲線方程為eq\f(x2,\f(255,16))－eq\f(y2,255)＝1.(2)當雙曲線的焦點在y軸上時，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＝4,\f(1,a2)－\f(16,b2)＝1))無解．綜上，雙曲線方程為eq\f(x2,\f(255,16))－eq\f(y2,255)＝1.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)設雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個不同的點A、B.(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)設直線l與y軸的交點為P，取eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，求a的值．解析：(1)將y＝－x＋1代入雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0,Δ＝4a4＋8a21－a2＞0，))又a＞0，∴0＜a＜eq\r(2)且a≠1.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因為eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，所以(x1，y1－1)＝eq\f(5,12)(x2，y2－1)．由此得x1＝eq\f(5,12)x2.由于x1，x2是方