2021-2022學(xué)年廣西壯族自治區(qū)南寧市兩江鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年廣西壯族自治區(qū)南寧市兩江鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的最小正周期為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】由三角恒等變換得，再求其周期即可.【詳解】解：函數(shù)，則該函數(shù)的最小正周期為，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換及三角函數(shù)的周期，屬基礎(chǔ)題.2.已知是兩個(gè)平面，是兩條直線，以下四個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)為（

）①若

②若③若

④若A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：A3.設(shè)z=x+y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足，若z的最大值為12，則z的最小值為（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6參考答案：B【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先畫出可行域，得到角點(diǎn)坐標(biāo)．再利用z的最大值為12，通過平移直線z=x+y得到最大值點(diǎn)A，求出k值，即可得到答案．【解答】解：可行域如圖：由得：A（k，k），目標(biāo)函數(shù)z=x+y在x=k，y=k時(shí)取最大值，即直線z=x+y在y軸上的截距z最大，此時(shí)，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目標(biāo)函數(shù)z=x+y在x=﹣12，y=6時(shí)取最小值，此時(shí)，z的最小值為z=﹣12+6=﹣6，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義．4.雙曲線y2﹣=1的漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±7x C．y=±x D．y=±x參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】雙曲線y2﹣=1的漸近線方程為y2﹣=0，整理后就得到雙曲線的漸近線方程．【解答】解：∵雙曲線y2﹣=1，∴雙曲線y2﹣=1的漸近線方程為y2﹣=0，即y=±x．故選C．5.下列說法中正確的是

(

)A．“”是直線“與直線平行”的充要條件；B．命題“”的否定是“”；C．命題“若，則方程有實(shí)數(shù)根”的逆否命題為：“若方程無實(shí)數(shù)根，則”；D．若為假命題，則p,q均為假命題。參考答案：C略6.若橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（2，3），且焦點(diǎn)為F1(－2,0),F2(2,0)，則這個(gè)橢圓的離心率等于

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.在同一坐標(biāo)系中，方程與的曲線大致是參考答案：D略8.在平行六面體,是上底面的中心，設(shè),,,則=

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是（）A．a(chǎn)2+b2＞2ab B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】基本不等式．【專題】綜合題．【分析】利用基本不等式需注意：各數(shù)必須是正數(shù)．不等式a2+b2≥2ab的使用條件是a，b∈R．【解答】解：對(duì)于A；a2+b2≥2ab所以A錯(cuò)對(duì)于B，C，雖然ab＞0，只能說明a，b同號(hào)，若a，b都小于0時(shí)，所以B，C錯(cuò)∵ab＞0∴故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，必須注意滿足的條件：已知、二定、三相等．10.雙曲線的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（）A．

B．2

C．

D．4參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.f（x）=x3+x﹣8在（1，﹣6）處的切線方程為

．參考答案：4x﹣y﹣10=0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程．【解答】解：f（x）=x3+x﹣8的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2+1，可得切線的斜率為k=3+1=4，即有切線的方程為y+6=4（x﹣1），化為4x﹣y﹣10=0．故答案為：4x﹣y﹣10=0．12.圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值與最小值的和為___________．參考答案：略13.棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為

．參考答案：27π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】正方體的對(duì)角線就是球的直徑，求出后，即可求出球的表面積．【解答】解：正方體的對(duì)角線就是球的直徑，設(shè)其體對(duì)角線的長(zhǎng)為l，則l==3，故答案為：27π．14.如圖在四面體OABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，且OB=OC=3，OA=4，給出如下判斷：①存在點(diǎn)D（O點(diǎn)除外），使得四面體DABC有三個(gè)面是直角三角形；②存在點(diǎn)D，使得點(diǎn)O在四面體DABC外接球的球面上；③存在唯一的點(diǎn)D使得OD⊥平面ABC；④存在點(diǎn)D，使得四面體DABC是正棱錐；⑤存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使得AD與BC垂直且相等．其中正確命題的序號(hào)是（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)填上）．參考答案：①②④⑤【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】①，取D為長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)，使得A，B，C是與D相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)，則可使四面體ABCD有3個(gè)面是直角三角形；②，取同①的點(diǎn)D，使得點(diǎn)O與D為相對(duì)的兩個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，利用長(zhǎng)方體一定有外接球即可得出；③，過O可以作一條直線與面ABC垂直，點(diǎn)D可以是該直線上任意點(diǎn)；④，作△CBD為正三角形，使得AD=DB，則點(diǎn)D使四面體ABCD是正三棱錐．⑤過點(diǎn)A作BC的垂面，垂面內(nèi)過AD的每一條都垂直BC，；【解答】解：對(duì)于①，取D為長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)，使得A，B，C是與D相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)，則可使四面體ABCD有3個(gè)面是直角三角形，故正確；對(duì)于②，∵二面角C﹣OA﹣B為直二面角，∴∠BOC=Rt∠，再取同①的點(diǎn)D，使得點(diǎn)O與D為相對(duì)的兩個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，則點(diǎn)O在四面體ABCD的外接球球面上，故正確；對(duì)于③，過O可以作一條直線與面ABC垂直，點(diǎn)D可以是該直線上任意點(diǎn)，故錯(cuò)④作△CBD為正三角形，使得AD=DB，則點(diǎn)D使四面體ABCD是正三棱錐，故正確．⑤過點(diǎn)A作BC的垂面，垂面內(nèi)過AD的每一條都垂直BC，故正確；故答案為：①②④⑤15.若過點(diǎn)（1，2）總可以作兩條直線和圓相切，則實(shí)數(shù)k的取值構(gòu)成的集合是_________________.參考答案：16.若函數(shù)，則

。參考答案：略17.若正整數(shù)滿足，則的取值范圍是____________.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.(1)若f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，且x1x2＝1，求實(shí)數(shù)a的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．參考答案：略19.經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X（單位：t，100≤X≤150）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T（單位：元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)．（Ⅰ）將T表示為X的函數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率．參考答案：【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（I）由題意先分段寫出，當(dāng)X∈的頻率為0.7，利用樣本估計(jì)總體的方法得出下一個(gè)銷售季度的利潤(rùn)T不少于57000元的概率的估計(jì)值．【解答】解：（I）由題意得，當(dāng)X∈時(shí)，T=500×130=65000，∴T=．（II）由（I）知，利潤(rùn)T不少于57000元，當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150．由直方圖知需求量X∈的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度的利潤(rùn)T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布及識(shí)圖的能力，求解的重點(diǎn)是對(duì)題設(shè)條件及直方圖的理解，了解直方圖中每個(gè)小矩形的面積的意義．20.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值.參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）由于長(zhǎng)方體中，因此只要證，這由中位線定理可得，從而可得線面平行；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，由法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)可得．【詳解】（1）證明：連接，∵分別為的中點(diǎn)，∴∵長(zhǎng)方體中，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴∵平面，平面，∴平面（2）解：在長(zhǎng)方體中，分別以為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，∴，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，則同樣可求出平面的一個(gè)法向量∴∴二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查用空間向量法求二面角．本題屬于基礎(chǔ)題型．21.

已知點(diǎn)是某直線上的點(diǎn)，以為圓心作圓．所作的圓與軸交于和兩點(diǎn)，記、的橫坐標(biāo)分別為、．其中（1）證明是常數(shù)，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若l的方程為中是否存在直角三角形，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案：解：（1）因這頂點(diǎn)的等腰三角形，（1）從而由（2）—（1）得，顯然分別成等差數(shù)列．（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，．作軸于

要使（※）當(dāng)時(shí)，方程（※）無解．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有．綜上所述