2021-2022學(xué)年河北省唐山市玉田縣亮甲店中學(xué)高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年河北省唐山市玉田縣亮甲店中學(xué)高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.關(guān)于函數(shù)的敘述，正確的是（

）A

在上遞減

偶函數(shù)

B

在（0，1）上遞減

偶函數(shù)

C

在上遞增

奇函數(shù)

D

在（0,1）上遞增

偶函數(shù)參考答案：D2.設(shè)集合,則滿(mǎn)足的集合B的個(gè)數(shù)是（

）A．1

B.3

C.4

D.8參考答案：C3.在平行四邊形ABCD中，E是CD中點(diǎn)，F(xiàn)是BE中點(diǎn)，若，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A連接AE，由于F為BE中點(diǎn)，故.

4.集合{x∈N|x＜5}的另一種表示法是（）A．{1，2，3，4} B．{0，1，2，3，4} C．{1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4，5}參考答案：B【考點(diǎn)】集合的表示法．【分析】找出滿(mǎn)足條件的x，用列舉法表示即可．【解答】解：集合{x∈N|x＜5}表示元素x是自然數(shù)，且x＜5，這樣的數(shù)有：0，1，2，3，4，；∴該集合用列舉法表示為：{0，1，2，3，4}．故選B．5.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且BD=2DC，若，則=（）A． B． C．2 D．參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【分析】根據(jù)向量加減的幾何意義可得，λ=，μ=，問(wèn)題得以解決．【解答】解：∵BD=2DC，∴=+=+=+（﹣）=+，∵，∴λ=，μ=，∴=，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的加減的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．6.函數(shù)是A.最小正周期為π的奇函數(shù) B.最小正周期為π的偶函數(shù)C.最小正周期為奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：A試題分析：因,且,故是周期為的奇函數(shù)，所以應(yīng)選A．考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性和奇偶性．7.如圖所示，已知，，，，，，試用、、、、、表示下列各式：（1）；（2）；（3）.參考答案：（1）；（2）；（3）.【分析】將（1）、（2）、（3）中的每個(gè)向量利用共起點(diǎn)的向量的差向量表示，再利用平面向量加法和減法運(yùn)算可得出結(jié)果.【詳解】（1）；（2）；（3）.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量減法的三角形法則，以及平面向量的加減法運(yùn)算，解題時(shí)要將問(wèn)題的向量利用共起點(diǎn)的向量加以表示，屬于基礎(chǔ)題.8.已知集合，集合，則集合等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A9.如果存在實(shí)數(shù)，使成立，那么實(shí)數(shù)的集合是A.

B.C.

D.參考答案：A10.（5分）已知圓的方程式x2+y2=36，記過(guò)點(diǎn)P（1，2）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AB、CD，則直線AB、CD的斜率之和等于（） A． ﹣1 B． C． 1 D． ﹣參考答案：B考點(diǎn)： 直線與圓相交的性質(zhì)．專(zhuān)題： 直線與圓．分析： 根據(jù)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，以P為中點(diǎn)的弦最短，進(jìn)行求解即可．解答： 圓心坐標(biāo)為O（O，O），當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（1，2）的最長(zhǎng)弦AB過(guò)圓心O時(shí)，AB最長(zhǎng)此時(shí)AB的斜率k=，過(guò)點(diǎn)P（1，2）的弦以P為中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弦CD最短，此時(shí)滿(mǎn)足CD⊥AB．則AB的斜率k=，則直線AB、CD的斜率之和等于+2=，故選：B．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，要求理解最長(zhǎng)弦和最短弦的位置．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)

則不等式的解集為_(kāi)_____________.參考答案：略12.若函數(shù)

的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是

▲

.參考答案：略13.若，則=___________________________參考答案：1略14.圖(2)中實(shí)線圍成的部分是長(zhǎng)方體(圖(l))的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為l的正方形，

若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖內(nèi)的概率是，此長(zhǎng)方體的體積是_______.參考答案：315.在等差數(shù)列中，，則的值是________參考答案：2016.設(shè)函數(shù)，則不等式的解集是（

） A．

B．

C．

D．參考答案：A17.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，，，則角C＝________．參考答案：由1＋＝和正弦定理得，cosA＝，∴A＝60°．由正弦定理得，＝，∴sinC＝．又c<a，∴C<60°，∴C＝45°．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x﹣．（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明；（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，a]上的最大值與最小值之和不小于，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)奇偶性的判斷．【專(zhuān)題】證明題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）可看出f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義證明即可；（2）可設(shè)x1，x2≠0，且x1＜x2，然后作差，通分，提取公因式便可得到，從而可以判斷出x1，x2∈（﹣∞，0），或x1，x2∈（0，+∞）時(shí)都有f（x1）＜f（x2），這樣便可得出f（x）的單調(diào)性；（3）由（2）可知f（x）在[2，a]上單調(diào)遞增，從而可以求出f（x）在[2，a]上的最大、最小值，這樣根據(jù)條件即可建立關(guān)于a的不等式，解不等式便可得出a的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；函數(shù)f（x）的定義域是{x|x≠0，x∈R}；又；∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；（2）設(shè)x1，x2≠0，且x1＜x2，則：==；∵x1＜x2；∴x1﹣x2＜0；∴x1，x2∈（0，+∞），或x1，x2∈（﹣∞，0）時(shí)，；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增；（3）解：∵[2，a]?[0，+∞）；∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，a]上為增函數(shù)；∴；由已知，解得：a≥4；∴a的取值范圍是[4，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】考查奇函數(shù)的定義及判斷方法和過(guò)程，反比例函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性的定義，以及根據(jù)單調(diào)性定義判斷并證明一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法和過(guò)程，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．19.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣（a+1）x+2（a∈R）．（I）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）＞1；（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[﹣1，3]，都有f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）a=2時(shí)，函數(shù)f（x）=2x2﹣3x+2，求不等式f（x）＞1的解集即可；（Ⅱ）討論a=0與a＞0、a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，3]上的最小值是什么，由此建立不等式求出a的集合即可．【解答】解：（Ⅰ）a=2時(shí)，函數(shù)f（x）=2x2﹣3x+2，不等式f（x）＞1化為2x2﹣3x+1＞0，解得x＜或x＞1；所以該不等式的解集為{x|x＜或x＞1}；（Ⅱ）由對(duì)任意x∈[﹣1，3]，都有f（x）≥0成立；討論：①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣x+2在區(qū)間[﹣1，3]上是單調(diào)減函數(shù)，且f（3）=﹣3+2=﹣1＜0，不滿(mǎn)足題意；②當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=+＞，若+＜3，則a＞，函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，3]上的最小值為f（+）≥0，即a2﹣6a+1≤0，解得3﹣2≤a≤3+2，?。糰≤3+2；若+≥3，則0＜a≤，函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，3]上的最小值為f（3）≥0，解得a≥，取≤a≤；當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=+＜，函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，3]上的最小值為f（3）≥0，解得a≥，此時(shí)a不存在；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是≤a≤3+2．20.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)的距離，觀察者找到一個(gè)點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A、B；找到一個(gè)點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A、C；找到一個(gè)點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B、C．并測(cè)量得到以下數(shù)據(jù)，，，，，米，米．求A、B兩點(diǎn)的距離．參考答案：米【分析】在中，求出，利用正弦定理求出，然后在中利用銳角三角函數(shù)定義求出，最后在中，利用余弦定理求出.【詳解】由題意可知，在中，，由正弦定理得，所以米，在中，米，在中，由余弦定理得，所以，米.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦、余弦定理解三角形應(yīng)用題，要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題，并結(jié)合已知元素類(lèi)型選擇正弦、余弦定理解三角形，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.21.（12分）已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）（0＜α＜π）．（1）若|+|=（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求與的夾角；（2）若⊥，求tanα的值．參考答案：考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專(zhuān)題： 平面向量及應(yīng)用．分析： （1）由=（2+cosα，sinα），利用向量模的計(jì)算公式可得（2+cosα）2+sin2α=7，化簡(jiǎn)整理可得，又0＜α＜π，即可解得α．設(shè)與的夾角為θ，θ∈．利用向量夾角公式即可得出．（2），可得=0，cosα+sinα=，又sin2α+cos2α=1，聯(lián)立解得即可．解答： （1）由=（2+cosα，sinα），|+|=，∴（2+cosα）2+sin2α=7，∴4+4cosα+cos2α+sin2α=7，化為，又0＜α＜π，解得．∴=，設(shè)與的夾角為θ，θ∈．則cosθ==，∴．即與的夾角為．（2）∵=（cosα﹣2