2021-2022學(xué)年河南省洛陽(yáng)市伊川縣第四高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題

2021-2022學(xué)年河南省洛陽(yáng)市伊川縣第四高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)是半徑為1的圓上的三點(diǎn)，且，則的最大值是（

）A．

B．

C.

D．1參考答案：A2.設(shè)集合，，，且，則A．1

B．2

C．3

D．9參考答案：B3.一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來(lái)的正方體中（

）A．AB∥CD

B．AB與CD相交

C．AB⊥CD

D．AB與CD所成的角為60°參考答案：D將正方體的展開(kāi)圖，還原為正方體，AB，CD為相鄰表面，且無(wú)公共頂點(diǎn)的兩條面上的對(duì)角線∴AB與CD所成的角為60°故選D．4.某班的全體學(xué)生參加消防安全知識(shí)競(jìng)賽，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是A．45

B．50

C．55

D．60參考答案：B5.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民數(shù)學(xué)的智慧，其中第六章“均輸”中，有一竹節(jié)容量問(wèn)題，某教師根據(jù)這一問(wèn)題的思想設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，若輸出的m的值為35，則輸入的a的值為（）A．4 B．5 C．7 D．11參考答案：A【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，求出運(yùn)算結(jié)果即可．【解答】解：起始階段有m=2a﹣3，i=1，第一次循環(huán)后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9，i=2，第二次循環(huán)后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21，i=3，第三次循環(huán)后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45，i=4，第四次循環(huán)后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93，跳出循環(huán)，輸出m=32a﹣93=35，解得a=4，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，以便得出正確的答案，是基礎(chǔ)題．6.已知函數(shù)，若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：7.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題為

（

）①若②的最小正周期是；③在區(qū)間上是增函數(shù)；④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；⑤當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/p>

A．①②④

B．③④⑤

C．②③

D．③④參考答案：D8.點(diǎn)集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的圖形是一條封閉的曲線，這條封閉曲線所圍成的區(qū)域面積是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】曲線與方程．【專題】綜合題；推理和證明．【分析】由曲線的方程可得，曲線關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸及原點(diǎn)都是對(duì)稱的，故畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象求得圍成的曲線的面積．【解答】解：點(diǎn)集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的圖形是一條封閉的曲線，關(guān)于x，y軸對(duì)稱，如圖所示．由圖可得面積S==+=+2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段的方程特點(diǎn)，由曲線的方程研究曲線的對(duì)稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．9.設(shè)集合,則滿足的集合的個(gè)數(shù)是（

）A．1

B．3

C．4

D．8參考答案：C略10.（2009江西卷理）若函數(shù)，，則的最大值為A．1

B．

C．

D．參考答案：B解析：因?yàn)?=當(dāng)是，函數(shù)取得最大值為2.故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若tan（α+）=，則tanα=．參考答案：略12.已知函數(shù)f（x）=則方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[，）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由題意，方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，又a表示直線y=ax的斜率，求出a的取值范圍．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，∴y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，又∵a表示直線y=ax的斜率，∴y′=，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），k=，∴切線方程為y﹣y0=（x﹣x0），而切線過(guò)原點(diǎn)，∴y0=1，x0=e，k=，∴直線l1的斜率為，又∵直線l2與y=x+1平行，∴直線l2的斜率為，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，）故答案為：[，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，考查函數(shù)與方程的關(guān)系，是易錯(cuò)題．13.設(shè)數(shù)列，都是正項(xiàng)等比數(shù)列，，分別為數(shù)列與的前n項(xiàng)和，且，則

．參考答案：14.已知實(shí)數(shù)、滿足，則－3的最大值是____．參考答案：-115.設(shè)二次函數(shù),當(dāng)時(shí)，的所有整數(shù)值的個(gè)數(shù)為

(用表示）參考答案：16.設(shè)函數(shù)，若，則以為坐標(biāo)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積是______________．參考答案：略17.如圖所示的流程圖是將一系列指令和問(wèn)題用框圖的形式排列而成，箭頭將告訴你下一步到哪一個(gè)框圖．閱讀右邊的流程圖，并回答下面問(wèn)題：若，則輸出的數(shù)是．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一點(diǎn)A（2，4）．（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn)，且BC=OA，求直線l的方程；（3）設(shè)點(diǎn)T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得+=，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】圓的一般方程；直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）設(shè)N（6，n），則圓N為：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，從而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）由題意得OA=2，kOA=2，設(shè)l：y=2x+b，則圓心M到直線l的距離：d=，由此能求出直線l的方程．（3）=，即||=，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，對(duì)于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為，由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．【解答】解：（1）∵N在直線x=6上，∴設(shè)N（6，n），∵圓N與x軸相切，∴圓N為：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圓N與圓M外切，圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圓M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由題意得OA=2，kOA=2，設(shè)l：y=2x+b，則圓心M到直線l的距離：d==，則|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直線l的方程為：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即||=||，||=，又||≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2，2+2]，對(duì)于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，此時(shí)，||≤10，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為，必然與圓交于P、Q兩點(diǎn)，此時(shí)||=||，即，因此實(shí)數(shù)t的取值范圍為t∈[2﹣2，2+2]，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．19.已知集合，.（Ⅰ）在區(qū)間上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，求“”的概率；（Ⅱ）設(shè)為有序?qū)崝?shù)對(duì)，其中是從集合中任取的一個(gè)整數(shù)，是從集合中任取的一個(gè)整數(shù)，求“”的概率．參考答案：解：（Ⅰ）由題意知，，都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，，……2分又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，那么，根據(jù)題意，點(diǎn)落在上，∴，易求得，…………4分∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面…………6分（文）

12分

略20.設(shè)，集合，，。（1）求集合（用區(qū)間表示）（2）求函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)。參考答案：（1）對(duì)于方程判別式因?yàn)?，所以?/p>

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以；②

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，，設(shè)方程的兩根為且，則，③

當(dāng)時(shí)，，，所以此時(shí)，（2），所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間和上為增函數(shù)

①是極點(diǎn)

②是極點(diǎn)

得：時(shí)，函數(shù)極值點(diǎn)為，時(shí)，函數(shù)極值點(diǎn)為與21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，試比較與1的大小；Ks5u

（3）求證：參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域是，，令，得或．

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的極大值是，極小值是．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是或．……………4分

（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋甂s5u

令，

，

在上是增函數(shù)． ①當(dāng)時(shí)，，即；②當(dāng)時(shí)，，即；③當(dāng)時(shí)，，即．

……………8分（3）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．令，則有，

．，．

…………………12分(法二)當(dāng)時(shí)，．，，即時(shí)命題成立．

設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即．Ks5u時(shí)，．根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．令，則有，則有，即時(shí)命題也成立．分因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立略22.（本小題