2021-2022學(xué)年湖北省襄陽(yáng)市宜城一中寄宿制學(xué)校高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年湖北省襄陽(yáng)市宜城一中寄宿制學(xué)校高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，過C1作C1H⊥底面ABC，垂足為H，則點(diǎn)H在（）A．直線AC上 B．直線AB上 C．直線BC上 D．△ABC內(nèi)部參考答案：B【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】由條件，根據(jù)線面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC內(nèi)，根據(jù)面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，在平面ABC1內(nèi)一點(diǎn)C1向平面ABC作垂線，垂足必落在交線AB上．【解答】解：如圖：∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，∴AC⊥BC1，而BC1、AB為平面ABC1的兩條相交直線，根據(jù)線面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC內(nèi)，根據(jù)面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，在平面ABC1內(nèi)一點(diǎn)C1向平面ABC作垂線，垂足必落在交線AB上．故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間中線面垂直、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，屬于中檔題．2.若x是第一象限角,則的最小值為(

)A.

B.2

C.2

D.4參考答案：B3.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為（

）A．i

B．－1

C．－i

D．1參考答案：D4.已知函數(shù)

若，則（

）A．

B．

C．或

D．1或參考答案：C5.下列命題正確的是（

）A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則

參考答案：D，選項(xiàng)A中忽略了當(dāng)?shù)那闆r，故A錯(cuò)；選項(xiàng)B的結(jié)論中不等號(hào)方向沒改變，故B錯(cuò)；選項(xiàng)C中忽略了的情況，故C錯(cuò).6.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)初等函數(shù)圖象可排除；利用導(dǎo)數(shù)來判斷選項(xiàng)，可得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)圖象可知：選項(xiàng)：；選項(xiàng)：在上單調(diào)遞減，可排除；選項(xiàng)：，因?yàn)?，所以，可知函?shù)在上單調(diào)遞增，則正確；選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，可排除.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性的判斷，涉及到初等函數(shù)的知識(shí)、利用導(dǎo)數(shù)來求解單調(diào)性的問題.7.設(shè)，經(jīng)計(jì)算可得

.觀察上述結(jié)果，可得出的一般結(jié)論是（）Ａ．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．參考答案：C略8.某幾何體的三視圖如右圖所示，它的體積為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲，乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是（

）A．21.5分鐘

B．分鐘 C． 分鐘 D．2.15分鐘參考答案：C略10.如右圖所示，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為（） A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）把x=﹣1輸入如圖所示的流程圖可得輸出y的值是．參考答案：1∵框圖的作用是計(jì)算分段函數(shù)的值y=，∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，不滿足條件x＜0，故y=1．故答案為：1．12.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是B1C1和C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)A1到平面DBEF的距離為________________．參考答案：1【分析】以D點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量，代入向量點(diǎn)到平面的距離公式，即可求解?！驹斀狻恳詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，，設(shè)

是平面的法向量，則，即，令，可得，故，設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，連接，則是平面的斜線段，所以點(diǎn)到平面的距離．【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量在求解距離中的應(yīng)用，對(duì)于利用空間向量求解點(diǎn)到平面的距離的步驟通常為：①求平面的法向量；②求斜線段對(duì)應(yīng)的向量在法向量上的投影的絕對(duì)值，即為點(diǎn)到平面的距離．空間中其他距離問題一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解．著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.函數(shù)的定義域和值域均為(0,+∞)，的導(dǎo)數(shù)為，且，則的范圍是______．參考答案：【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)數(shù)判斷出在上為增函數(shù)，由得.構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)數(shù)判斷出在上為減函數(shù)，由得.綜上所述可得的取值范圍.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)則，又由，則，則函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，變形可得，設(shè)則，又由，則，則函數(shù)在上為減函數(shù)，則，即，變形可得，綜合可得：，即的范圍是；故答案為：．【點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法求表達(dá)式的取值范圍，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.14.如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若，且，則此拋物線的方程為_____________參考答案：15.已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t均為正實(shí)數(shù)），則類比以上等式，可推測(cè)a，t的值，a+t=．參考答案：41【考點(diǎn)】類比推理．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】觀察所給的等式，等號(hào)右邊是，，…第n個(gè)應(yīng)該是，左邊的式子，寫出結(jié)果．【解答】解：觀察下列等式=2，=3，=4，…照此規(guī)律，第5個(gè)等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案為：41．【點(diǎn)評(píng)】本題考查歸納推理，考查對(duì)于所給的式子的理解，主要看清楚式子中的項(xiàng)與項(xiàng)的數(shù)目與式子的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，本題是一個(gè)易錯(cuò)題．16.定義：曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值稱為曲線到直線的距離；現(xiàn)已知曲線到直線的距離等于，則實(shí)數(shù)的值為

.參考答案：略17.用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí),從“到”左邊需增加的代數(shù)式是______________________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an+Sn=4．（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）是否存在正整數(shù)k，使>2成立．參考答案：（1）由題意，Sn+an=4，Sn+1+an+1=4，∴（Sn+1+an+1）－（Sn+an）=0即2an+1－an=0，an+1=an，又2a1=S1+a1=4，∴a1=2．∴數(shù)列{an}是以首項(xiàng)a1=2，公比為q=的等比數(shù)列．（2）不存在這樣的k，使不等式成立略19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)的極小值大于零,其中

，(Ⅰ)求的取值范圍.(Ⅱ)若在(Ⅰ)中的取值范圍內(nèi)的任意,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.（Ⅲ）設(shè),,若,求證參考答案：（Ⅰ）

令

則

x

0

+

0

_

0

+

極大值

極小值

…….6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知內(nèi)為增函數(shù)

或

….10分（Ⅲ）證明：假設(shè)則

,

或

矛盾

假設(shè)不成立…………….14分略20.設(shè)函數(shù)f（x）=2xlnx﹣1．（1）求函數(shù)f（x）的最小值及曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極值、最值；求得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；（2）由題意可得a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx﹣﹣，h′（x）=﹣+=﹣，求解最大值，即可求解a的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=2xlnx﹣1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2（lnx+1），當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有x=取得極小值，也為最小值，且為﹣﹣1；可得曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=f′（1）=2，切點(diǎn)為（1，﹣1），曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+1=2（x﹣1），即為2x﹣y﹣3=0；（2）不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，可得：a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，設(shè)h（x）=lnx﹣﹣，h′（x）=﹣+=﹣，h′（x）=0，得：x=1，x=﹣（舍去），當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）max=﹣2，∴a≥﹣2，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍：[﹣2，+∞）．21.如圖5所示，在四棱錐中，平面，，，是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)且，為△中邊上的高.（1）證明：平面；（2）若，，，求三棱錐的體積；（3）證明：平面.參考答案：1）證明：因?yàn)槠矫?，所以。因?yàn)闉椤髦羞吷系母?，所以?/p>

因?yàn)椋?/p>

所以平面。（2）連結(jié)，取中