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2021-2022學(xué)年湖南省湘潭市第十二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.過(guò)曲線上點(diǎn)處的切線平行于直線點(diǎn)的坐標(biāo)為(
)參考答案:A略2.(不等式選做題)
若正數(shù)a,b滿(mǎn)足ab=a+b+3,則ab的最值范圍為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B3.命題“若?p則q”是真命題,則p是?q的()條件.A.充分 B.充分非必要 C.必要 D.必要非充分參考答案:C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想;綜合法;簡(jiǎn)易邏輯.【分析】原命題和其逆否命題同真假,故只需找出命題“若?p,則q”的逆否命題即可.【解答】解:四種命題中原命題和其逆否命題同真假,而“若¬p,則q”的逆否命題為“若¬q,則p”即¬q?p,p是¬q的必要條件,故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查四種命題的關(guān)系及復(fù)合命題真假判斷,難度不大.4.若集合,,則A. B. C. D.參考答案:A5.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,下圖為某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為 (
)A.16
B.
C.12
D.參考答案:B6.若關(guān)于的方程在區(qū)間(0,1)上有解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(
)(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:A7.已知雙曲線(a>0)的離心率為,則a的值為(
) A. B. C. D.參考答案:B考點(diǎn):雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).專(zhuān)題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析:直接利用雙曲線求出半焦距,利用離心率求出a即可.解答: 解:雙曲線,可得c=1,雙曲線的離心率為:,∴,解得a=.故選:B.點(diǎn)評(píng):本題考查雙曲線的離心率的求法,雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.8.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)向量
若,C點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是
()
參考答案:答案:A9.命題“?x≥0,|x|+x≥0”的否定是(
) A.?x≥0,|x0|+x0<0 B.?x<0,|x|+x≥0 C.?x0≥0,|x0|+x0<0 D.?x0<0,|x|+x≥0參考答案:C考點(diǎn):命題的否定.專(zhuān)題:簡(jiǎn)易邏輯.分析:直接利用全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題寫(xiě)出結(jié)果即可.解答: 解:因?yàn)槿Q(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題,所以命題“?x≥0,|x|+x≥0”的否定是:?x0≥0,|x0|+x0<0.故選:C.點(diǎn)評(píng):本題考查全稱(chēng)命題的否定,基本知識(shí)的考查.10.已知函數(shù)f(x)=且f(a)=﹣3,則f(6﹣a)=(
)A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣參考答案:A【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用;函數(shù)的零點(diǎn).【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】由f(a)=﹣3,結(jié)合指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),求得a=7,再由分段函數(shù)求得f(6﹣a)的值.【解答】解:函數(shù)f(x)=且f(a)=﹣3,若a≤1,則2a﹣1﹣2=﹣3,即有2a﹣1=﹣1<0,方程無(wú)解;若a>1,則﹣log2(a+1)=﹣3,解得a=7,則f(6﹣a)=f(﹣1)=2﹣1﹣1﹣2=﹣.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用:求函數(shù)值,主要考查指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),屬于中檔題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若向量與垂直,則m=_____.參考答案:5【分析】根據(jù)向量垂直得,進(jìn)行數(shù)量積得坐標(biāo)運(yùn)算便可求出m的值?!驹斀狻拷猓合蛄颗c垂直,.解得.故答案為:5.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件,以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示。12.某校高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為1500人,1200人和1000人,為了了解學(xué)生的視力狀況現(xiàn)采用按年級(jí)分層抽樣法,已知在高一年級(jí)抽查了75人,則這次調(diào)查該校一共抽查了________人.參考答案:18513.在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)m,n,則關(guān)于函數(shù)f(x)=-nx+1在[1,+∞)上為增函數(shù)的概率為_(kāi)_____.參考答案:略14.已知A.
B.
C.
D.參考答案:D15.直線與拋物線相交于不同兩點(diǎn),若是中點(diǎn),則直線的斜率
.參考答案:16.(幾何證明選講選做題)在平行四邊形中,點(diǎn)在線段上,且,連接,與相交于點(diǎn),若△的面積為cm,則△的面積為
cm.參考答案:17.長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,2的長(zhǎng)方體的每個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為.參考答案:9π【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體;球的體積和表面積.【專(zhuān)題】計(jì)算題;方程思想;綜合法;立體幾何.【分析】先求長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度,就是球的直徑,然后求出它的表面積.【解答】解:長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)是:=3球的半徑是:這個(gè)球的表面積:4π=9π故答案為:9π【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的內(nèi)接體,球的表面積,考查空間想象能力,是基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),討論的極值情況;(2)若,求的值.參考答案:(1).因?yàn)?,由得,或.①?dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,故無(wú)極值.②當(dāng)時(shí),.,,的關(guān)系如下表:+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故有極大值,極小值.③當(dāng)時(shí),.,,的關(guān)系如下表:+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故有極大值,極小值.綜上:當(dāng)時(shí),有極大值,極小值;當(dāng)時(shí),無(wú)極值;當(dāng)時(shí),有極大值,極小值.(2)令,則.(i)當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以,此時(shí),不滿(mǎn)足題意.(ii)由于與有相同的單調(diào)性,因此,由(Ⅰ)知:①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故當(dāng)時(shí),恒有,滿(mǎn)足題意.②當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),,此時(shí),不滿(mǎn)足題意.③當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),,此時(shí),不滿(mǎn)足題意.綜上所述:.19.(10分)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的單位長(zhǎng)度.已知直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1),傾斜角.(I)寫(xiě)出直線L的參數(shù)方程;(II)設(shè)L與圓相交與兩點(diǎn)A、B,求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積.參考答案:(I)直線的參數(shù)方程是(II)因?yàn)辄c(diǎn)A,B都在直線l上,所以可設(shè)它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1和t2,則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為.圓化為直角坐標(biāo)系的方程.以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到
①
因?yàn)閠1和t2是方程①的解,從而t1t2=-2.所以|PA|·|PB|=|t1t2|=|-2|=2.20.巳知函數(shù),,其中.(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求的值;(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的取值范圍;(3)記,求證:.參考答案:(1)由,得,∵是函數(shù)的極值點(diǎn),
∴,解得,
經(jīng)檢驗(yàn)為函數(shù)的極值點(diǎn),所以.-------------------------5分(2)∵在區(qū)間上單調(diào)遞增,∴在區(qū)間上恒成立,
∴對(duì)區(qū)間恒成立,
令,則
當(dāng)時(shí),,有,
∴的取值范圍為.--------------------------------------------------10分(3)解法1:
,令,則
令,則,顯然在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,則,
故.--------------------------------------------------------16分解法2:
則表示上一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)距離的平方.由得,讓?zhuān)獾?,∴直線與的圖象相切于點(diǎn),(另解:令,則,可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,則,直線與的圖象相切于點(diǎn)),點(diǎn)(1,0)到直線的距離為,則21.(本小題滿(mǎn)分14分)在數(shù)列
(1)求證:;
(2)求證:;
(3)若參考答案:證明:(1)①當(dāng)結(jié)論成立;
(1分)②假設(shè)成立
由
(4分)由①、②知,對(duì)于
(5分)
(2)由得(3)若
(10分)將上述n個(gè)式子相乘得
(11分)下面反證法證明:假設(shè)與已知矛盾。所以假設(shè)不成立,原結(jié)論成立,即當(dāng)
(14分)略22.已知函數(shù)(I)求函數(shù)的最大值;(II)若的取值范圍.參考答案:解:(Ⅰ),
…………
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