2021-2022學(xué)年福建省福州市私立星華中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

2021-2022學(xué)年福建省福州市私立星華中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.直線截圓得到的劣弧所對圓心角等于（

）A．

B．

C．

D． 參考答案：C2.在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是A．119

B．120

C．121

D．720參考答案：B3.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：﹣=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（，）在此雙曲線上，且PF1⊥PF2，則雙曲線C的離心率P等于(

) A． B． C． D．參考答案：B考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：點(diǎn)P在雙曲線上，所以帶入雙曲線方程可得

①，而根據(jù)PF1⊥PF2得到

②，所以由①②再結(jié)合b2=c2﹣a2即可求出a，c，從而求出離心率．解答： 解：根據(jù)已知條件得：；解得；∴解得；∴雙曲線C的離心率為：．故選B．點(diǎn)評：考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)在曲線上時，點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線方程的關(guān)系，以及兩點(diǎn)間的距離公式，c2=a2+b2．4.設(shè)是邊長為l的等邊三角形，是邊上的一點(diǎn)，從作垂足為從作垂足為從作垂足為如此繼續(xù)下去，得到點(diǎn)列當(dāng)時，點(diǎn)的極限位置是點(diǎn)，則

(

)A.l∶l

B.2∶1

C.1∶2

D.1∶3

參考答案：C略5.函數(shù)的圖象大致為（

）

參考答案：A6.已知銳角α終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2sin3，-2cos3),則角α的弧度數(shù)為

（

）A．3

B．π-3

C．3-

D．-3參考答案：C7.函數(shù)是(

) A．奇函數(shù)且在上是減函數(shù)

B．奇函數(shù)且在上是增函數(shù)

C．偶函數(shù)且在上是減函數(shù)

D．偶函數(shù)且在上是增函數(shù)參考答案：B8.tan150°的值為()A.B．－

C.

D．－參考答案：B略9.已知下面四個命題：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（

）A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：C試題分析：由于，，,,所以正確命題有①，②，④，選．考點(diǎn)：1．平面向量的線性運(yùn)算；2．平面向量的數(shù)量積．10.某同學(xué)為了研究函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個邊長為的正方形和，點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)，設(shè)，則．那么可推知方程解的個數(shù)是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如右圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，

用一段鐵絲從幾何體的A處纏繞幾何體兩周到達(dá)B處，則鐵絲的最短長度為________________．參考答案：略12.已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且，當(dāng):c>0時，，則不等式的解集為

．參考答案：13.i是虛數(shù)單位，計算等于

。參考答案：略14.己知x，y滿足約束條件的最小值是

.參考答案：

15.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式組的解集用區(qū)間表示為

．參考答案：(－5,0)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f(x)=-f(-x)=-x2-4x＞x解得

16.若點(diǎn)（4，2）在冪函數(shù)f（x）的圖象上，則函數(shù)f（x）的反函數(shù)f﹣1（x）=．參考答案：x2（x≥0）

考點(diǎn)：冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域；反函數(shù)．專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：通過函數(shù)經(jīng)過的點(diǎn)求出冪函數(shù)解析式，利用反函數(shù)的求法求出反函數(shù)即可．解答：解：因?yàn)辄c(diǎn)（4，2）在冪函數(shù)f（x）的圖象上，所以2=4a，所以a=，所求冪函數(shù)為：y=，x≥0，則x=y2，所以原函數(shù)的反函數(shù)為：f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案為：x2（x≥0）點(diǎn)評：本題考查冪函數(shù)解析式的求法，反函數(shù)的求法，基本知識的應(yīng)用．17.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為_____。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=BC=1，E是PC的中點(diǎn)，面PAC⊥面ABCD．（Ⅰ）證明：ED∥面PAB；（Ⅱ）若PC=2，PA=，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．參考答案：【分析】（Ⅰ）取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形．得到DE∥AF，再由線面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，由題意證得A在以BC為直徑的圓上，可得AB⊥AC，找出二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解三角形可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值．法二、由題意證得AB⊥AC．又面PAC⊥平面ABCD，可得AB⊥面PAC．以A為原點(diǎn)，方向分別為x軸正方向，y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．求出P的坐標(biāo)，再求出平面PDC的一個法向量，由圖可得為面PAC的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF．∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，則四邊形ADEF是平行四邊形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB；（Ⅱ）解：法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．∴AB⊥AC，可得．過D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．過G作GH⊥PC于H，則PC⊥面GHD，連接DH，則PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，連接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．法二、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC，且AD=MC．∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如圖以A為原點(diǎn)，方向分別為x軸正方向，y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．可得，．設(shè)P（x，0，z），（z＞0），依題意有，，解得．則，，．設(shè)面PDC的一個法向量為，由，取x0=1，得．為面PAC的一個法向量，且，設(shè)二面角A﹣PC﹣D的大小為θ，則有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．19.（本小題滿分12分）如圖，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O為CD的中點(diǎn)，沿AO將三角形AOD折起，使.（Ⅰ）求證：平面AOD⊥ABCO；（Ⅱ）求直線BC與平面ABD所成角的正弦值.參考答案：（Ⅰ）∵在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O為CD中點(diǎn)，

∴△AOD，△BOC為等腰直角三角形，

∴∠AOB=90o,即OB⊥OA.………………（1分）

取AO中點(diǎn)H，連結(jié)DH，BH，則OH=DH=，

在Rt△BOH中，BH2=BO2+OH2=,

在△BHD中，DH2+BH2=又DB2=3，

∴DH2+BH2=DB2，∴DH⊥BH.…………（2分）

又DH⊥OA,OA∩BH=H……………（3分）

∴DH⊥面ABCO，……………………（4分）

而DH∈平面AOD，…………………（5分）

∴平面AOD⊥平面ABCO.…………（6分）（Ⅱ）解：分別以直線OA，OB為x軸和y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.∴……（7分）設(shè)平面ABD的一個法向量為由得即令則，取………………（9分）設(shè)為直線BC與平面ABD所成的角，則

………（11分）即直線BC與平面ABD所成角的正弦值為………（12分）20.（12分）已知函數(shù)．（1）若a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：f(x)只有一個零點(diǎn)．參考答案：解：（1）當(dāng)a=3時，f（x）=，f′（x）=．令f′（x）=0解得x=或x=．當(dāng)x∈（–∞，）∪（，+∞）時，f′（x）>0；當(dāng)x∈（，）時，f′（x）<0．故f（x）在（–∞，），（，+∞）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減．（2）由于，所以等價于．設(shè)=，則g′（x）=≥0，僅當(dāng)x=0時g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調(diào)遞增．故g（x）至多有一個零點(diǎn)，從而f（x）至多有一個零點(diǎn)．又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個零點(diǎn)．綜上，f（x）只有一個零點(diǎn)．21.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)F1(0，－2)，且離心率e滿足：，e，成等比數(shù)列．拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在橢圓的右頂點(diǎn)(1)求橢圓及拋物線C的方程；(2)若圓M的圓心在拋物線C上，且與兩坐標(biāo)軸都相切，求圓M的方程

參考答案：22.（1）已知a，b都是正數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2；（2）已知a，b，c都是正數(shù)，求證：≥abc．參考答案：考點(diǎn)：不等式的證明．專題：證明題；不等式．分析：（1）由條件a≠b推出：a2﹣2ab+b2＞0，通過變形，應(yīng)用不等式的性質(zhì)可證出結(jié)論；（2）利用基本不等式，再相加，即可證明結(jié)論．解答： 證明：（1）∵a≠b，∴a﹣b≠0，∴a2﹣2ab+b2＞0，∴a2﹣ab+b2＞ab．而a，b均為