2021-2022學(xué)年遼寧省朝陽(yáng)市建平縣白山鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題

2021-2022學(xué)年遼寧省朝陽(yáng)市建平縣白山鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在中,,，為的中點(diǎn),則=（

）A．3

B．

C．-3

D．參考答案：D2.下列4個(gè)命題：①命題“若x2﹣x=0，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則x2﹣x≠0”；②若“?p或q”是假命題，則“p且?q”是真命題；③若p：x（x﹣2）≤0，q：log2x≤1，則p是q的充要條件；④若命題p：存在x∈R，使得2x＜x2，則?p：任意x∈R，均有2x≥x2；其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】直接寫(xiě)出命題的逆否命題判斷①；由復(fù)合命題的真假判斷判定②；求解不等式，然后結(jié)合充要條件的判斷方法判斷③；直接寫(xiě)出特稱命題的否定判斷④．【解答】解：①命題“若x2﹣x=0，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則x2﹣x≠0”，①正確；②若“?p或q”是假命題，則?p、q均為假命題，∴p、?q均為真命題，“p且?q”是真命題，②正確；③由p：x（x﹣2）≤0，得0≤x≤2，由q：log2x≤1，得0＜x≤2，則p是q的必要不充分條件，③錯(cuò)誤；④若命題p：存在x∈R，使得2x＜x2，則?p：任意x∈R，均有2x≥x2，④正確．∴正確的命題有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了命題的否定、逆否命題，訓(xùn)練了充分必要條件的判斷方法，是基礎(chǔ)題．3.sin120?的值為A. B.－1 C. D.－參考答案：C4.若數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對(duì)于任意正整數(shù)都有成立，則稱數(shù)列為周期數(shù)列，周期為.已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A.若m=，則a5＝3

B若a3=2，則m可以取3個(gè)不同的值C.若，則數(shù)列是周期為的數(shù)列D.且，數(shù)列是周期數(shù)列參考答案：D5.△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，則△ABC的面積等于（） A． B． C． D． 參考答案：D略6.如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.拋物線y2=8x的焦點(diǎn)到直線x﹣y=0的距離是（）A． B．2 C．2 D．1參考答案：A【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算可得答案．【解答】解：拋物線的方程為y2=8x，焦點(diǎn)為（2，0），焦點(diǎn)到直線x﹣y=0的距離d==；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．8.設(shè)集合，，則A∩B=（

）A．{0,1}

B．{0,1,2}

C．{0,1,2,3}

D．{－1,0,1,2}參考答案：B9.已知拋物線y2＝2px（p＞0）與雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為A．＋2

B．＋1

C．＋1

D．＋1參考答案：D略10.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.(2,4) B.(－∞,2] C.(－∞,4] D.[4,+∞)參考答案：B試題分析：∵，令，由得，依題意有在是減函數(shù)，∴，即，故選B．考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及二次函數(shù)的單調(diào)性.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)集合，則_______.參考答案：12.若不等式對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：13.圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)最上面的球（如圖所示），則球的半徑是

cm。參考答案：4試題分析：設(shè)球半徑為r，則由可得，解得．考點(diǎn)：1．組合幾何體的面積、體積．【思路點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積，考查學(xué)生空間想象能力，解答時(shí)，首先設(shè)出球的半徑，然后再利用三個(gè)球的體積和水的體積之和，等于柱體的體積，求解即可．14.有五名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不能站在最左端，而乙必須站在丙的左側(cè)（不一定相鄰），則不同的站法種數(shù)為

．(用數(shù)字作答）參考答案：48

15.如果實(shí)數(shù)滿足條件，則的最大值為_(kāi)________．參考答案：考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．16.已知在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，點(diǎn)在線段上，且.若，則

．參考答案：，有正弦定理得，則，所有。由題意，是角平分線，，設(shè)，則，由，所有，，由得，，解得，所以。

17.對(duì)于區(qū)間，我們定義其長(zhǎng)度為，若已知函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?則區(qū)間長(zhǎng)度的最大值為

▲

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本題滿分12分)已知分別是橢圓：的左右頂點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，,離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上異于的任意一點(diǎn)，且，為垂足，延長(zhǎng)到點(diǎn)使得,連接,并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，為中點(diǎn)，求的值，并判斷以為圓心，為半徑的圓與直線的位置關(guān)系.參考答案：

……4分（2）設(shè)點(diǎn)，

……5分

……6分

……7分……8分

……9分

…11分.

…………12分19.拋物線在點(diǎn)，處的切線垂直相交于點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)的距離；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，試問(wèn)：

是否存在直線，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案：解：（I）拋物線的焦點(diǎn)，

………1分橢圓的左焦點(diǎn)，

………2分

則．

………3分（II）設(shè)直線，，，，，由，得，

………4分故，．

由，得，故切線，的斜率分別為，，

再由，得，

即，

故，這說(shuō)明直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．

………7分由，得，,即．

………8分于是點(diǎn)到直線的距離.

………9分由，得，

………10分從而，

………11分同理，．

………12分若，，成等比數(shù)列，則，

………13分即，化簡(jiǎn)整理，得，此方程無(wú)實(shí)根，所以不存在直線，使得，，成等比數(shù)列．

………15分

略20.（本題滿分12分）已知數(shù)列滿足，且（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.參考答案：（Ⅰ）證明：①當(dāng)時(shí)，，②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，則當(dāng)時(shí)，

又綜上①②可知………………6分（Ⅱ）由可得：

即……8分

令，則

又

∴是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，，即………12分21.某工藝品廠要設(shè)計(jì)一個(gè)如圖1所示的工藝品，現(xiàn)有某種型號(hào)的長(zhǎng)方形材料如圖2所示，其周長(zhǎng)為4m，這種材料沿其對(duì)角線折疊后就出現(xiàn)圖1的情況．如圖，ABCD（AB＞AD）為長(zhǎng)方形的材料，沿AC折疊后交DC于點(diǎn)P，設(shè)△ADP的面積為，折疊后重合部分△ACP的面積為．（Ⅰ）設(shè)m，用表示圖中的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出的取值范圍；（Ⅱ）求面積最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬？（Ⅲ）求面積最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬？參考答案：（Ⅰ）由題意，,，.…………1分設(shè)，則，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，由PA2=AD2+DP2，得即：..…………3分（Ⅱ）記△ADP的面積為，則.…………5分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值．故當(dāng)材料長(zhǎng)為，寬為時(shí)，最大．….…………7分（Ⅲ）于是令.…………9分關(guān)于的函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值．故當(dāng)材料長(zhǎng)為，寬為時(shí)，最大．.…………12分22.（本小題滿分14分）如圖，四棱錐中，底面為正方形，，平面，為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：//平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．參考答案：（Ⅰ）證明：連接與相交于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為中點(diǎn)．因?yàn)闉槔庵悬c(diǎn)．

所以．

………………3分因?yàn)槠矫妫矫?，所以直線//平面．

………………4分

（Ⅱ）證明：因?yàn)槠矫妫裕?/p>

………………5分因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所以平面?/p>

………………7分

所以平面平面．

………………8分

（Ⅲ）解法一：在平面內(nèi)過(guò)作直線．因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫蓛蓛纱怪?，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．…………9分設(shè)，則．

所以，．

設(shè)平面的法向量為，則有所以

取，得．

………………11分

易知平面的法向量為．

………………12分

所以．

………………13分由圖可知二面角的平面角是鈍角，

所以二面角的余弦值為．

………………14分解法二：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，．因?yàn)闉檎叫?，所以．由（Ⅱ）可得平面．因?yàn)?，所以．由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

………………9